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1、抛 物 线 及其标准方程,生活中存在着各种形式的抛物线,复习回顾： 我们知道,椭圆、双曲线的有共同的几何特征：,都可以看作是,在平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹.,(2) 当e1时，是双曲线;,(1)当0e1时,是椭圆;,(其中定点不在定直线上),那么,当e=1时，它又是什么曲线 ？,问题探究： 当e=1时，即|MF|=|MH| ，点M的轨迹是什么？,几何画板观察,探究？,可以发现,点M随着H运动的过程中,始终有|MF|=|MH|,即点M与点F和定直线l的距离相等.点M生成的轨迹是曲线C的形状.(如图) 我们把这样的一条曲线叫做抛物线.,在平面内,与一个定点F和一
2、条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.,点F叫抛物线的焦点, 直线l 叫抛物线的准线,|MF|=d,d 为 M 到 l 的距离,准线,焦点,d,二、抛物线的定义：,如何建立坐标系呢？,思考：抛物线是轴对称图形吗？怎样建立坐标系,才能使焦点坐标和准线方程更简捷?,三、抛物线的标准方程：,抛物线标准方程,标准方程的推导,标准方程,把方程 y2 = 2px (p0)叫做抛物线的标准方程.其中 p 为正常数,表示焦点在 x 轴正半轴上.,且 p的几何意义是: 焦点到准线的距离,焦点坐标是,准线方程为:,想一想: 坐标系的建立还有没有其它方案也会使抛物线方程的形式简单 ？,方案(1),
3、方案(2),方案(3),方案(4),想一想?,这种坐标系下的抛物线方程形式怎样?,设KF= p,设点M的坐标为（x，y），,由定义可知 |MF|=|MN| 即：,解：设取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，线段KF的中垂线为y轴,N,F,M,K,l,y轴,x轴,y,y,y,x,x,y,一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程有四种形式.,相同点： （1）顶点为原点; （2）对称轴为坐标轴; （3）顶点到焦点的距离等于顶点到准线的距离为p/2.,不同点： （1）一次项变量为x(y)，则对称轴为x(y)轴; （2）一次项系数为正（负），则开口方向坐标轴的正（负）方
4、向.,记忆方法：P永为正，一次项变量为对称轴，一次项变量前系数为开口方向，且开口方向坐标轴的正（负）方向相同,例1(1)已知抛物线的标准方程是y2 = 6x，求它的焦点坐标和准线方程;,(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2),求它的标准方程.,根据标准方程的知识,我们可以确定抛物线的焦点位置及准线方程.,解:(1)因为p=3，所以焦点坐标是 , 准线方程是,练习：,1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：,（1）焦点是F（3，0）；,（2）准线方程 是x = ；,（3）焦点到准线的距离是2。,y2 =12x,y2 =x,y2 =4x、 y2 = -4x、 x2 =4y 或 x2 = -4y,2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： （1）y2 = 20x （2）x2= y （3）2y2 +5x =0 （4）x2 +8y =0,（5，0）,x= -5,（0，-2）,y=2,3.抛物线的标准方程类型与图象特征的 对应关系及判断方法,2.抛物线的标准方程与其焦点、准线,4.注重数形结合、分类讨论思想的应用,1.抛物线的定义,小结,作业 习题2.3第2题,