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1、1 2010 年全国初中数学竞赛复赛试题及参考答案（湖南） 一、选择题（ 57=35） 1、已知 3m1 和 m7 是数p 的平方根，则 p 的值为（） A，100 B，25 C.10 或 5 D. 100 或 25 2、若20 a b ，10 b c ，则 ab bc 的值为（） A. 11 21 B 21 11 C 110 21 D 210 11 3、一列武广高速列车和一列普通列车的车身长分别为400 米和 600 米，它们 相向匀速行驶在平行的轨道上，若坐在高速列车上的乘客看见普通列车驶过窗 口的时间是3 秒，则坐在普通列车上的乘客看见高速列车驶过窗口的时间是 （） A 2 秒B 3 秒
2、C 4 秒D 4.5 秒 4、如图，一个半径为3 的圆 O1 经过一个半径为32的圆 O2 的圆心，则图 中阴影部分的面积为（） A 9 2 B 9 C 9 9 2 D 9 9 2 5、若实数 a、b 满足 21 20 2 aab b ，则 a的 取 值范围是（） A a2 B a4 C a2 或 a4 D 2a4 二、填空题（ 57=35） 6、若干名同学制作迎国庆卡通图片，他们制作的卡通图片张数的条形统计图 如图所示，设他们制作的卡通图片张数的平均数为a ,中位数为 b，众数为 c， 2 则 a 、b、c的大小关系为 7、一副三角板如图所示叠放在一起，则如中BDF 的度数是 8、已知关于
3、x 的方程 22 (2)10x xa 有一个根为 1，设这个方程另一 个根为 m，则 m a 的值为。 9、如图，将一张边长分别为4 和 2 的矩形纸片 ABCD 折叠，使点 C 与点 A 重 合，则折痕 EF 的长为 交于点 E，且 DEBC，已知 AE=2 2，AE=3 2，BC=6，则圆 O 的半径是 三、解答题（其中1114 小题每题 15 分，第 15 题 20 分，共 80 分） 11、如图，在平面直角坐标系xOy 中，正方形 ABCD 的中点为坐标原点，顶 3 点 A 的坐标为 A（1,1） ， y 轴上一点 P（0,2）绕点 A 旋转 180得到点 P1， 点 P1 绕点 B
4、旋转 180得到点 P2，点P2 绕点 C 旋转 180得点 P3，点 P3 绕点D 旋转 180得点 P4，。重复操作依次 得到点 P1，P2，P3， （1） 、求点 P1、P2、P3 的坐标； （2） 、求点 P2010 的坐标。 12、一辆货车、一辆客车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行 驶，在某一时刻，货车在前。小轿车在后，客车在货车与小轿车的中间，过了 10 分钟，小轿车追上了客车； 又过了 5 分钟，小轿车追上了货车； 再过 t 分钟， 客车追上了货车，求t 的值. 13、如图，在平面直角坐标系xOY 中，多边形OABCDE 的顶点坐标分别是 O(0,0),A(0,6)
5、,B(4,6),C(4,4),D(6,4),E(6,0). 若直线l 经过点M(2,3), 且将多边形 4 OABCDE 分割成面积相等的两部分，求直线l 的函数表达式。 14、如图，谢线AM,BN 都垂直于线段AB，点 E 为 AM 上一点，过点A 作 BE 的垂线 AC 分别交 BE、BN 于点 F、C，过顶 C 作品 AM 的垂线 CD，垂 足为 D。若 CD=CF ，求 AE AD 的值。 15、如图，抛 物线 2 ybx ax （a0）与双曲线 k y x 相交于点A，B，已 知点 A 的坐标为（ 1,4） ，点 B 在第三象限内，且 AOB 的面积为 3（O 为原 点） 。 （1）
6、 、求实数 a、b、k 的值； （21） 、过抛物线上点 A 作直线 ACx 轴，交抛物线于另一点C，求所有满足 EOCAOB 的点 E 的坐标。 参考答案 1、D、3m-1 和 m-7 是数 p 的平方根，则 5 3m-1=m-7 或 3m-1+m-7=0 m=3 或 m=2 当 m=-3 时,3m-1=-10 p=100 当 m=2 时,3m-1=5 p=25 2、D、a=20b,b=10c a=200c 20010210210 101111 abCCC bcCCC 3、A、设高速列车和普通列车的车速分别为x 米 8 秒、y 米/秒，则 x+y=6003=200（米/秒） 所以坐在普通列车
7、上的乘客看见高速列车驶过窗口 的时间是： 400200=2（秒） 4、C、连结 O1O2,O1A,O1B,O2A,O2B O1O2=O1A=3,O2A=3 2 222 1 212O OO AO A O2O1A=90同理 O2O1B=90 点 A、O1、B 在同一条直线上，并且AO2B=90 AB 是圆 O1 的直径 S阴影= 1 2 S1S 弓形 AO1B= 1 2 S1(S 扇形 AO2BSAO2B) = 2 211 - 24 3(3 2) 1 3 23 2 2 =9 5、C、方程变形为： 21 20 2 aba b ，b 为实数 = 2 1 4 1 (2) 2 () a a 0 化简得 2
8、 28a a 0 6 (a-4)(a+2) 0 a4 或 a2 6、bac 共有 4+3+3=10 名同学制作图片，制作的张数为4,4,4,4,4,5,5,5,6,6,6 平均数 a= 445363 10 =4.9, 中位数 b=5，众数 c =4 7、 75ABC=45DEF=30 BDE=ABCDEF=15 BDF=EDFBDE=9015=75 8、2根据根与系数的关系可得： 1+m= 2 2 a 1+m=1 m=1,a=22 m a 9、5C 与 A 重合 EF 是 AC 的垂直平分线 CG= 11 2 55 22 AC 可证： CFGAEG FG=EG= 1 2 EF 可证： CFGC
9、AD FG:AD=CG:CD FG:2=5:4 FG= 5 2 EF=5 10、2 3延长 AC 交O 于点 F，连结 DF DEBC DEF=180ACB=90 DF 是O 的直径AB= 2 2 6(3 2) =3 6 DEBC DE:BC=AD:AB=AE:AC DE:6=AD:3 6=2 2 : 3 22: 3DE=4,AD=2 6 7 AD 是切线 2 A E A F AD AF=6 2 DF= 22 7224484 3 AFAD O 的半径 R=2 3 11、 （1）连结 PA并延长交 x 轴于点 M， 则直线 PA 的解析式是： y=-x+2 点 M 的坐标是 M（2,0） 同时
10、MA=PA=2说明点 A 是 PM 的中点 即点 M 是点 P 绕点 A 旋转 180得到 点 M 就是点 P1 P1(2,0) 同样：P2(0,-2) P3(-2,0) (2)重复操作依次是： P4=P8=P,P5=P9=P1,P5=P10=P2,P7=P11=P3 2010=4502+2 P2010=P2 P2010（0，-2） 12、设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为S千米，小轿车、货车、 客车的速度分别为a、b、c（千米 /分） ，并设货车经x 分钟追上客车，由题意 可得： 10(a-b)=S (1) 15(a-c)=2S (2) x(b-c)=S 有（1） （2）得 30（b
11、-c）=S S=30 t =30105=15(分) 13、如图，延长 BC 交 x 轴于点 F， 连结 OB，DF，且相交于点 N 有已知得点 M（2,3） 是 OB、 AF 的中点， 8 即点 M 为矩形 ABFO 的中心，所以直线l 把矩形 ABFO 分成面积相等的两部 分 又因为点 N （5,2） 是矩形 CDEF 的中心，所以过点 N （5,2） 的直线把矩形 CDEF 分成面积相等的两部分。 于是，直线 MN 即为所求的直线L 设直线 l 的解析式为 y=kx+b 则 2k+b=3 5k+b=2 K= 1 3 b= 11 3 因此所求直线 l 的函数表达式是： 111 33 yx 1
12、4、如图，设 CF=m,AF=n 易证： RTAFBRTABC 2 AF AC AB 又 FC=CD=AB=n 2 ()n nm m 即 2 10 () n m n m 51 2 n m 或 51 2 n m （舍去） 又 RTAFERTCFB 51 2 AEAEAFn ADBCFCm 即 51 2 AE AD 15、解： （1）因为点 A（1，4）在双曲线 k y x 上， 所以 k=4. 故双曲线的函数表达式为 x y 4 . 设点 B（t， 4 t ） ， 0t，AB 所在直线的函数表达式为ymxn，则有 9 4 4 mn mtn t ， ， 解得 4 m t ， 4(1)t n t .
13、 于是，直线 AB 与 y轴的交点坐标为 4(1) 0, t t ，故 141 13 2 AOB t St t （） ，整理得 2 2320tt， 解得2t，或 t 2 1 （舍去） 所以点 B 的坐标为（2，2） 因 为 点A ， B都 在 抛 物 线 2 yaxbx（a 0） 上， 所以 4 422 ab ab ， ， 解得 1 3. a b ， （ 10 分） （2）如图，因为ACx 轴，所以C（4，4） ，于是 CO42. 又 BO=22，所以2 BO CO . 设抛物线 2 yaxbx（a 0）与 x 轴负半轴相交于点D， 则点 D 的坐 标为（ 3，0）. 因为 CODBOD45，所以 COB=90. （i）将 BOA绕点 O 顺时针旋转90，得到 1 B OA.这时，点B(2， 2)是 CO 的中点，点 1 A的坐标为（ 4，1）. 延长 1 OA到点 1 E，使得 1 OE= 1 2OA，这时点 1 E（8，2）是符合条件的点 . 10 （ii）作BOA关于 x 轴的对称图形 2 B OA，得到点 2 A（1，4） ；延 长 2 OA到点 2 E，使得 2 OE 2 2OA，这时点 E（2， 8）是符合条件的点 所以，点E的坐标是（ 8，2） ，或（2，8）. （ 20 分）