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1、全等三角形的判定 知识要点 1、两个三角形全等的条件【重点】 （1）判定 1边边边公理 三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS ”。 “边边边”公理的实质：三角形的稳定性（用三根木条钉三角形木架）。 注意：边边边是三条边都相等，并且在书写时边与边要对应书写。在已知两边相等的情 况下优先考虑。 （2）判定 2边角边公理 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS ”。 注意：边角边中，角是指两对应边的夹角，如上图中，同样在书写时对应边角对准。比如上 图中正确的写法是：ABC A BC （3）判定 3角边角公理 角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。简
2、写为“角边角”或“ASA ”。 注意：角边角中，边是两个角中间时，才能描述为角边角，否则就是下面的角角边。 （4）判定 4角角边推论 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。简称“角角边”或“AAS ”。 （5）直角三角形全等的判定斜边直角边公理 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。简写成“斜边直角边”或“HL ”。 判定直角三角形全等的方法： 一般三角形全等的判定方法都适用； 斜边 - 直角边公理 2、证明三角形全等一般有以下步骤： （1）读题：明确题中的已知和求证； （2）要观察待证的线段或角，在哪两个可能全等的三角形中 （3） 、分析要证两个三角形全等，已有什么条件，还缺
3、什么条件。有公共边的，公共边一定 是对应边，有公共角的，公共角一定是对应角，有对顶角，对顶角也是对应角 （4） 、先证明缺少的条件 （5） 、再证明两个三角形全等 （要符合书写步骤：先写在某两个三角形中、然后写条件，再写结论） 典例 例 1：如图，ABC是一个屋顶钢架，AB=AC ， D 是 BC 中点。求证：ADBC 练习一 已知：如图， AB=AD ，BC=DC 。求证： B=D。 例 2：已知：如图，CF=AE ，AB CD ，且 AB=CD 求证： CDE ABF 练习二 2、如图，已知点A、D、C 、 F 在同一条直线上，AB=DE ，BC=EF ，要使 ABC DEF ，还需 要添
4、加一个条件是（） A BCA= F B B=E CBC EF D A=EDF 2、如图，已知1=2，要得到 ABD ACD ，还需从下列条件中补选一个，则错误的选 法是（） AAB=AC B DB=DC C ADB= ADC D B=C 例 3、如图，已知点E，C在线段 BF上，BE=CF ，AB DE，ACB= F求证： ABC DEF 练习三 1、如图， ABCD ，AB=CD ，点 B、E、F、D在一条直线上，A=C 求证： AE=CF 例 4：如图，在ABC中， ACB=90 ， AC=BC ， BE CE于点 EAD CE于点 D求证： BEC CDA 练习四 如图：已知AE 交 B
5、C 于点 D， 1=2=3， AB=AD. 求证： DC=BE 。 熟能生巧 1如图， O 是 AB 的中点， A=B， AOC 与 BOD 全等吗？为什么？ A B C E D 1 2 3 A A O D CB 2已知如图，AB=AC ，AD=AE ， BAC= DAE ，试说明BD=CE 。 A E D CB 3 如图，在 AFD 和 BEC 中，点 A、 E、 F、 C 在同一直线上， AE=CF ， B=D， AD BC。 试说明 AD=CB 。 A F E D CB 4.如图，已知AC 、BD 相交于点0， A=B， 1= 2，AD=BC. 试说明 AOD BOC. 21 A E D
6、C B A N M CB 5.玻璃三角板摔成三块如图，现在到玻璃店在配一块同样大小的三角板，最省事的方法（） A、带去B、带去C、带去D、带去 6. 如图，有一块边长为4 的正方形塑料摸板ABCD，将一 块足够大的直角三角板的直角顶点落在A点，两条直角边 分别与CD交于点F，与CB延长线交于点E则四边形 AECF的面积是 7.如图，已知AC 、BD 交于 E， A= B， 1=2 求证： AE=BE 8.如图，在 ABC 中， MN AC，垂足为N，且 MN 平分 AMC ， ABM 的周长为 9cm,AN=2cm, 求 ABC 的周长。 D A B C D E F 9如图，在ABC 中， B
7、=C，说明 AB=AC A C B 10.已知：如图E 在 ABC 的边 AC 上，且 AEB= ABC 。 求证： ABE= C； 若 BAE 的平分线AF 交 BE 于 F， FDBC 交 AC 于 D，设 AB=5 ，AC=8 ，求 DC 的 长。 11如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，AEEC，CFAB 求证：ADCF 12一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下右 图形式，使点B、F、C、D 在同一条直线上 （ 1）求证 AB ED； （ 2）若 PB=BC，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明 体验中考 1.如图，已知ABAD，
8、那么添加下列一个条件后， 仍无法判定ABCADC的是（） ACB CD B BACDAC CBCADCAD90BD 2.如图，点 B、E、F、C 在同一直线上已知 A = D， B =C，要使 ABF DCE ， 需要补充的一个条件是（写出一个即可） 3.如图，已知AC 平分 BAD ， 1= 2，求证： AB=AD A B E F C D A D C B 1 2 4.如图，已知点EC，在线BF 线段上， BECFABDEACBF， 求证：ABCDEF 直角三角形全等HL 【知识要点】 斜边直角边公理：有斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等. 【典型例题】 例 1 如图， ACBC ，BD
9、 AD ， AC=BD ，求证 BC=AD 练习一 1、 如图， B、E、 F、C 在同一直线上，AE BC ，DF BC ，AB=DC ，BE=CF ，试判断AB与 CD 的位置关系 . C E B F D A A B C D F E 2、 已知如图， AB BD ，CD BD ，AB=DC ，求证： AD BC. 3、 公路上 A、B两站（视为直线上的两点）相距26km，C、D为两村庄（视为两个点）， DA AB于点 A，CB AB于点 B，已知 DA=16km ，BC=10km ，现要在公路AB上建一个土特产收购 站 E，使 CD两村庄到E站的距离相等，那么E站应建在距A站多远才合理？
10、4、 如图， AD是 ABC的高， E 为 AC上一点， BE交 AD于 F，具有 BF=AC ，FD=CD ，试探究 BE与 AC的位置关系 . 5、如图， A、E、F、B四点共线， AC CE 、BD DF、AE=BF 、AC=BD ，求证： ACF BDE. A D B C A E B C D A B E D F C A B D C E F 【经典练习】 1在 RtABC和 RtDEF中， ACB= DFE=90，AB=DE ，AC=DF ，那么 RtABC与 Rt DEF （填全等或不全等） 2 如图，点C在 DAB的内部， CD AD于 D，CB AB于 B，CD=CB 那么 RtA
11、DC RtABC 的理由是（） A SSS B. ASA C. SAS D. HL 3 如图， CE AB ，DF AB ，垂足分别为E、F，AC DB ，且 AC=BD ，那么 RtAEC RtBFC 的理由是（） . A SSS B. AAS C. SAS D. HL 4 下列说法正确的个数有（）. 有一角和一边对应相等的的两个直角三角形全等； 有两边对应相等的两个直角三角形全等； 有两边和一角对应相等的两个直角三角形全等； 有两角和一边对应相等的两个直角三角形全等. A1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个 5 过等腰 ABC的顶点 A作底面的垂线，就得到两个全等三角形，其理由是 .
12、 6如图， ABC中， C=90，AM平分 CAB ，CM=20cm ，那么 M到 AB的距离是（）cm. 7 在ABC和CBA中， 如果 AB=BA， B=B， AC=CA， 那么这两个三角形 （） . A 全等B. 不一定全等 C. 不全等D. 面积相等，但不全等 8如图， B=D=90，要证明 ABC与ADC 全等，还需要补充的条件是 . A C D B B C D F A E A B M C A C D B 9如图，在 ABC中， ACB=90，AC=BC ，直线 MN 经过点 C ，且 AD MN 于 D ，BE MN于 E， 求证： DE=AD+BE. 10 如图，已知 AC BC
13、 ，AD BD ，AD=BC ，CE AB ，DFAB ，垂足分别为 E、F，那么， CE=DF 吗？谈谈你的理由 ! 11 如图， 已知 AB=AC ，AB BD ，AC CD ，AD ，BC相交于点 E，求证： （1）CE=BE ； （2）CB AD. 提高题型： 1. 如图， ABC 中，D是 BC上一点， DE AB ，DF AC ，E、 A D B E N C A B C D E F A E D B C F分别为垂足，且AE=AF ，试说明： DE=DF, AD平分BAC. 2. 如图，在ABC中， D是 BC的中点， DE AB ，DF AC ，垂足分别是E、F，且 DE=DF ，试说 明 AB=AC. 3. 如图， AB=CD ，DF AC于 F，BE AC于 E，DF=BE ，求证： AF=CE. 4. 如图， ABC中， C=90， AB=2AC ， M是 AB的中点，点N在 BC上， MN AB 。 求证 :AN 平分 BAC 。 A D C B F E B A 2 1 N M C