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1、3.2 三角形 321 三角形的 “ 四心” 三角形是最重要的基本平面图形， 很多较复杂的图形问题可以化归为三角形 的问题 . 如图 3.2-1 ， 在三角形ABCV中，有三条边,AB BC CA，三个角,ABC行?， 三个顶点,A B C，在三角形中，角平分线、中线、高（如图3.2-2）是三角形中 的三种重要线段 . 三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心 在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点. 例 1 求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2： 1. 已知D、E、F分别为ABCV三边 BC 、CA、AB的中点， 求证AD、BE 、CF交
2、于一点，且都被该点分成2：1. 证明连结 DE ，设 AD、BE交于点 G， QD、E分别为 BC 、AE的中点，则 DE / AB，且 1 2 DEAB=， GDEVGABV，且相似比为 1：2， 2,2AGGD BGGE=. 设 AD、CF交于点G，同理可得，2,2.AGG D CGG F= 则G 与G 重合， AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2:1. 图 3.2-1 图 3.2-2 图 3.2-3 图 3.2-4 三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的 内心. 三角形的内心在三角 形的内部，它到三角形的三边的距离相等.（如图 3.2-5） 例 2 已知ABCV的三边长分别为,
3、BCa ACb ABc=，I 为ABCV的内心，且 I 在ABCV的边 BCACAB、上的射影分别 为 DEF、 、，求证： 2 bca AEAF +- =. 证明作ABCV的内切圆，则 DEF、 、分别为内切圆在三边上 的切点， ,AE AFQ为圆的从同一点作的两条切线，AEAF=， 同理， BD =BF ，CD =CE . 22 bcaAFBFAECEBDCD AFAEAFAE +-=+- =+= 即 2 bca AEAF +- =. 例 3 若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三 角形. 已知O为三角形 ABC的重心和内心 . 求证三角形 ABC为等边三角形 . 证明如图，
4、连 AO并延长交 BC于 D. QO为三角形的内心，故AD平分BACD， ABBD ACDC =（角平分线性质定理） QO为三角形的重心， D 为 BC的中点，即 BD =DC. 1 AB AC =，即 ABAC=. 同理可得， AB=BC . ABCV为等边三角形 . 图 3.2-6 图 3.2-7 图 3.2-5 三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心 .锐角三角形 的垂心一定在三角形的内部， 直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的 垂心在三角形的外部 .（如图 3.2-8） 例 4 求证：三角形的三条高交于一点. 已知ABCV中，,ADBCD BEACE于于 ，AD
5、与 BE交于 H 点. 求证C HA B. 证明以 CH为直径作圆， ,90 , o ADBC BEACHDCHEC?Q DE、在以 CH为直径的圆上， FCBDEH?. 同理， E、D 在以 AB为直径的圆上，可得BEDBAD?. BCHBAD?， 又ABDV与CBFV有公共角BD，90 o CFBADB?，即 CHAB. 过不共线的三点A、B、C有且只有一个圆，该圆是三角形ABC的外接圆， 圆心 O 为三角形的 外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平 分线的交点 . 练习 1 1求证：若三角形的垂心和重心重合，求证：该三角形为正三角形. 2 （1） 若三角形 ABC的面积为 S ，且三边长分别为 abc、 、 ，则三角形的内 图 3.2-8 图 3.2-9 切圆的半径是 _; （2）若直角三角形的三边长分别为abc、 、 （其中 c为斜边长），则三角形 的内切圆的半径是 _. 并请说明理由 . 3.2 三角形 练习 1 1证略2.（1） 2S abc ； （2） 2 abc .