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1、二、直线与椭圆 （一）位置关系的判断 1. 若直线2yxm与椭圆1 4 2 2 y x，当b满足什么条件时，椭圆分别与直线（1）相切（ 2）有两个 公共点（ 3）没有公共点 （二）弦长问题 2. 过椭圆 2 2 1 2 x y的右焦点作一条斜率为2 的直线与椭圆交于AB，两点 （1）求线段AB的中点坐标（2）求线段AB的长 3. 直线210xy与椭圆 22 1 164 xy 交于AB，两点 （1）求线段AB中点坐标（ 2）求ABF(F是椭圆右焦点 ) 的面积 4. 设椭圆C: 22 22 10 xy ab ab 过点（ 0，4） ，离心率为 3 5 （ 1）求C的方程；（2）求过点（ 3，0）
2、且斜率为 4 5 的直线被 C所截线段的中点坐标和弦长 2. 已知椭圆 C短轴的一个端点为(0,1)，离心率为 2 2 3 . （I）求椭圆 C的标准方程； （II）设直线 yxm交椭圆C于A、B两点，若 6 3 | 5 AB求b 2. 过椭圆 22 1 43 xy 右焦点的直线l被椭圆截得的线段长是 7 2 ，求直线方程 3. 已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 经过点(0,3)，焦距为2，左右焦点分别为 12 (,0),( ,0)FcF c. （1）求椭圆的方程； （ 2）若直线 1 : 2 lyxm与椭圆交于 ,A B两点，与以12F F为直径的圆交于,C D两点，且满足
3、|5 3 |4 AB CD ，求直线l的方程 . （二）中点弦问题 1. 经过椭圆 2 2 1 2 x y的左焦点F作倾斜角为60的直线l，直线l与椭圆交于AB、两点， 求线段AB中 点坐标和线段AB长 1. 已知椭圆C： 22 22 1 xy ab (0)ab离心率为 2 2 ，点（ 2，2）在 C上. （1）求 C的方程 . （2）直线 l 不过原点O且不平行于坐标轴，l 与 C有两个交点A，B，线段 AB的中点为 M.直线 OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值. 2. 已知椭圆 22 1 54 xy 内一点(11)P ，, 过P的直线l与椭圆交于AB，两点 , 且P是线段AB的中点，
4、求 直线l的方程 3. 已知中心在原点，一个焦点为 1 050F （ ，）的椭圆被直线32yx所截得的弦的中点的横坐标为 1 2 ，求 此椭圆的方程 4. 过点(1,1)M作斜率为 1 2 的直线与椭圆C： 22 22 1(0) xy ab ab 相交于,A B，若M是线段AB的 中点，则椭圆C的离心率为 . 补充练习：已知)1 ,1 (P为椭圆42 22 yx内一点 , 过P的弦AB被P平分 , 求弦AB所在直线的方程 （三）根与系数关系的应用 1. 在直角坐标系xOy中，点P到两点(03)，(03)，的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，直线 1ykx与C交于A，B两点 （）写出C的方程；（
5、）若OAOB，求k的值； 2.已知椭圆的方程为 22 22 10 xy ab ab ，一个焦点坐标为2,0，离心率 2 5 5 e过椭圆的焦点F 作与坐标轴不垂直的直线l，交椭圆于,A B两点 （）求椭圆的标准方程；（）设1,0M，且 MAMBAB，求直线l的方程 3. 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的右顶点为A，上顶点为B，且3AB，椭圆的离心率为 2 2 （1）求椭圆 E的标准方程； （2）若直线:lykxm与椭圆E相交于,C D两个不同的点，且坐标原点O到直线l的距离为 6 3 ，求 证：0OC OD 1. 已知椭圆C的两个焦点分别为 1( 1 0) F，、 2(
6、1 0) F，, 短轴的两个端点分别为 12 BB、 (1) 若 112 F B B为等边三角形, 求椭圆C的方程 ; (2) 若椭圆C的短轴长为2, 过点 2 F的直线l与椭圆C相交于P Q、两点 , 且 11 F PFQ, 求直线l的方 程. 1. 设椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左焦点为F, 离心率为 3 3 , 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线 段长为 4 3 3 . ( ) 求椭圆的方程; ( ) 设A, B分别为椭圆的左右顶点, 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C, D两点 . 若 8AC DBAD CB, 求k的值 . 4 已知圆1: 22 yxO（点 O
7、为坐标原点） ， 一条直线)0(:bbkxyl与圆 O相切，并与椭圆1 2 2 2 y x 交于不同的两点A 、B。 （1）设)(),(kfkfb求的表达式；（2）若 3 2 OBOA，求直线l的方程。 1. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线 2 61yxx与坐标轴的交点都在圆C上 （I ）求圆 C的方程；（II ）若圆 C与直线0xya交于 A，B两点，且,OAOB求a的值 2. 已知过点1,0A且斜率为k 的直线 l 与圆 C： 22 231xy交于 M ，N两点 . （I ）求 k 的取值范围；（II ）若12OM ON，其中 O为坐标原点，求MN. 3. 已知圆:O 22 1xy的切线
8、l与椭圆:C 22 34xy相交于A，B两点求证：OAOB； 1. 已知抛物线 2 2(0)ypx p，过点( 2,0)C的直线l交抛物线于,A B两点，坐标原点为O， 12OA OB. 求抛物线的方程； 2. 已知抛物线 2 2 x y与过点(0,1)M的直线l交于,A B两点 ,O是坐标原点， 若OA与OB的斜率之和 是 1，求直线l的方程 12. 已知抛物线C： 2 2yx，直线2ykx交C于AB，两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的 垂线交C于点N （）证明：抛物线 C在点N处的切线与AB平行； （）是否存在实数k使0NA NB，若存在，求k的值；若不存在，说明理由 （四）、定点定值
9、问题 2. 如图，椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的离心率为 3 3 ，点(3,2)为椭圆上的一点 （）求椭圆E的标准方程； （）若斜率为k 的直线 l 过点(0,1)A，且与椭圆E交于,C D 两点 ,B为椭圆E的下顶点，求证：对于 任意的 k ，直线,BC BD 的斜率之积为定值 B A C D O x y 13. 直线l与椭圆 22 1 43 xy 交于AB、两点，若OAOB(O是坐标原点 ) ，求证：O到直线l的距离是 定值并求此定值 3. 已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的焦距为2，左、右焦点分别为 12 FF、. 以原点 O为圆心，以椭圆C 的半
10、短轴长为半径的圆与直线3450xy相切 . （I ）求椭圆C的方程； （II ）设不过原点的直线:lykxm与椭圆 C交于 A、B两点 . 若直线 22 AFBF与的斜率分别为 12 kk、且 12 0kk，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标； 4. 已知过抛物线 2 :4Cyx的焦点F的直线l与抛物线C交于,A B两点，与C的准线交于点P， 设AFFB，APPB，求证为定值 5. 椭圆C：x 2 a 2 y 2 b 21(ab0) 的离心率为 1 2，其左焦点到点 P(2,1) 的距离为10. (1) 求椭圆C的标准方程； (2) 若直线l：ykxm与椭圆C相交于A，B两点 (A，B不是
11、左右顶点) ，且以AB为直径的圆过椭圆C的 右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标 6. 已知椭圆:G 22 22 1(0) xy ab ab 上的点(2,2)M到两焦点的距离之和等于4 2 . （）求椭圆G的方程； （） 经过椭圆G右焦点F的直线 m ( 不经过点M) 与椭圆交于,A B 两点，与直线l：4x相交于 C 点， 记直线,MA MB MC 的斜率分别为 123 ,k kk . 求证： 12 3 kk k 为定值 . 7. 已 知( 1 , 0 )F, P是 平 面 上 一 动 点 , P到 直 线:1lx上 的 射 影 为 点N， 且 满 足 1 ()0 2 P NN F
12、N F （）求点P的轨迹C的方程 ; （）过点 (1,2)M 作曲线C的两条弦 ,MA MB, 设,MA MB所在直线的斜率分别为 12 kk, , 当12 kk, 变 化且满足 12 1kk 时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点坐标 2. 已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，经过点(2,1)P且离心率 2 = 2 e，过定点 C（-1 ，0）的直线 与椭圆相交于A,B 两点。 （1）求椭圆方程； （2）在x轴上是否存在点M ，使MA MB为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由 1 （ （福建理） ）如图 , 椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的左焦 点为
13、1 F, 右焦点为 2 F, 离心率 1 2 e. 过 1 F的直线交椭圆于,A B两点 , 且 2 ABF的周长为8. ( ) 求椭圆E的方程 . ( ) 设动直线:lykxm与椭圆E有且只有一个公共点P, 且与直线4x相交于点Q. 试探究 :在 坐标平 面内是否存在定点M, 使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在 , 求出点M的坐标 ; 若不存在 , 说明理由 . 12. 已知动直线l与椭圆 C: 22 1 32 xy 交于 P 11 ,x y、Q 22 ,xy两不同点， 且 OPQ 的面积OPQ S= 6 2 , 其中 O为坐标原点 . （）证明 22 12 xx和 22 12 yy均为定值 ; （）设线段PQ的中点为M ，求| |OMPQ的最大值； （）椭圆C上是否存在点D,E,G，使得 6 2 ODEODGOEG SSS?若存在，判断DEG的形状； 若不存在，请说明理由.