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1、含绝对值的不等式的解法 一、基本解法与思想 解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值 的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。 （一）公式法：即利用ax与ax的解集求解。 主要知识： 1、绝对值的几何意义：x是指数轴上点x到原点的距离； 21 xx是指数轴上 1 x， 2 x两点间的 距离 . 。 2、ax与ax型的不等式的解法。 当0a时，不等式x的解集是axaxx或, 不等式ax的解集是axax; 当0a时，不等式ax的解集是Rxx 不等式ax的解集是; 3cbax与cbax型的不等式的解法。 把bax看作一个整体时，可化为ax与ax
2、型的不等式来求解。 当0c时，不等式cbax的解集是cbaxcbaxx或, 不等式cbax的解集是cbaxcx; 当0c时，不等式cbax的解集是Rxx 不等式cbxa的解集是; 例 1 解不等式32x 分析 : 这类题可直接利用上面的公式求解，这种解法还运用了整体思想，如把“2x” 看着一个整体。答案为51xx。 例 2 不等式 |x 2 3x| 4 的解集是 _ 分析可转化为 (1)x 2 3x4 或(2)x23x 4 两个一元二次不等式 由可解得或 ，(1)x1x4(2) 答填x|x 1 或 x 4 例 3解不等式2 2x5 7 解法 1：原不等式等价于 7|52| 2|52| x x
3、7|527 2522|52 x xx或 即 61 2 3 2 7 x xx或 原不等式的解集为x 1x 2 3 或 2 7 x6 解法 2：原不等式的解集是下面两个不等式解集的并集 ( )2 2x57 ( )2 5 2x7 不等式 ( ) 的解集为x 2 7 x6，不等式 ( ) 的解集是x 1x 2 3 原不等式的解集是x 1x 2 3 或 2 7 x6 例 4 解关于x的不等式1083 2 xx 解：原不等式等价于108310 2 xx， 即 1083 1083 2 2 xx xx 36 21 x xx或 原不等式的解集为)3, 1()2,6( 练习： （1）4321xx； （2）4|23
4、|7x； （3）3529x；（4）1 |1| 3x （5）xx310 2 （6）241x。 解答：（ 1）2 3 1 xxx或（2）5 2 7 2 1 2xxx或 （3）2,14,7（4）( 4, 2)(0,2)（5） |25xx （6）7315xxx或 （二）定义法: 即利用 (0), 0(0), (0). a a aa a a 去掉绝对值再解。 例 解不等式 22 xx xx . 分析 : 由绝对值的意义知，aaa0，aaa0。 解: 原不等式等价于 2 x x 0x(x+2) 0-2 x0。 练习 :（1）|x2|x2的解集是；xx2 （2）不等式 x x x x 22 的解集是。02x
5、xx或 （三）平方法: 解( )( )f xg x型不等式。 例 、解不等式 123xx . 解: 原不等式 22 (1)(23)xx 22 (23)(1)0xx (2x-3+x-1)(2x-3-x+1)0(3x-4)(x-2)0 4 2 3 x。 练习： 解关于x的不等式 (1)xx512；(2)212xx； （3）|2| |1|xx 答案：（ 1）；（ 2）)3 , 3 1 (；（ 3） 2 1 xx。 （四）分类讨论法：即通过合理分类去绝对值后再求解。 例 1 解不等式125xx. 分析 : 由01x，02x，得1x和2x。2和1把实数集合分成三个区间，即 2x，12x，1x，按这三个区
6、间可去绝对值，故可按这三个区间讨论。 解 : 当 x-2 时，得 2 (1)(2)5 x xx ，解得：23x 当-2 x1 时，得 21, (1)(2)5 x xx ，解得：12x 当1x时，得 1, (1)(2)5. x xx 解得：21x 综上，原不等式的解集为23xx。 例 2 解关于x的不等式1312xxx. 解：当3x时，得 1)3()12( 3 xxx x ，无解 当 2 1 3x，得 13) 12( 2 1 3 xxx x ，解得： 2 1 4 3 x 当 2 1 x时，得 1312 2 1 xxx x ，解得： 2 1 x 综上所述，原不等式的解集为 4 3 (，) 2 1
7、练习 ：1. 解不等式： 221xx （答案： 2 5 2 1 xaxx或） 2. 解不等式：521xx（答案：),23,(） 3. 解不等式：|21|2|4xx（答案： 1 2 1 xxx或 （五）几何法：即转化为几何知识求解。 例 对任何实数x，若不等式12xxk恒成立，则实数k 的取值范围为 ( ) (A)k3 (B)k-3 (C)k 3 (D) k-3 分析 :设12yxx，则原式对任意实数x 恒成立的充要条件是 min ky，于是题转化为求y 的最小值。 解 :1x、2x的几何意义分别为数轴上点x 到 -1 和 2 的距离1x-2x的几何意义为数轴上点 x 到 -1 与 2的距离之差，如图可得其最小值为-3 ，故选（ B）。 练习 : 1对任意实数x，|1|2 |xxa恒成立，则a的取值范围是； 2对任意实数x，|1|3|xxa恒成立，则a的取值范围是； 3若关于x的不等式|4|3|xxa的解集不是空集，则a的取值范围是； 3a； 4a； 7a； 02-1x