《2009年全国各地数学模拟试卷(新课标)分章精编---空间向量与立体几何.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2009年全国各地数学模拟试卷(新课标)分章精编---空间向量与立体几何.pdf（48页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、2009 年全国各地数学模拟试卷（新课标）分章精编 空间向量与立体几何 一、选择题 1.三棱锥 DABC的三个侧面分别与底面全等，且 ABAC3，BC2，则二面角ABCD 的大小为D A30 0 B 45 0 C60 0 D90 0 2.如图，矩形ABCD中， AB=3，BC=4，沿对角线BD将 ABD 折起，使 A 点在平面 BCD内的射 影落在 BC边上，若二面角CABD 的平面角大小为 ，则sin的值等于 ( A ) A 4 3 B 4 7 C 7 73 D 3 4 3.如 图 ， 已 知 平 面平 面，A、B是 平 面与 平 面的 交 线 上 的 两 个 定 点 ， ,DACB，且DA
2、，CB，4AD，8BC，6AB，在平面内有一 个动点P，使得APDBPC，则PAB的面积的最大值是（C ） A24B32C12D48 4.如图，在直三棱柱A1B1C1-ABC中, 2 BAC,AB=AC=A1A=1,已知 G 与 E分别是棱A1B1和 CC 1 的中点， D 与 F分别是线段AC与 AB上的动点（不包括端点）。若 GDEF ，则线段DF 的长度 的取值范围是（A ） A. 5 1 ，1) B. 5 1 ,2) C. 1, 2) D. 5 1 ，2) 第 2 题第 3 题第 4 题 5.如图，在三棱锥ABCP中，PA底面ABC，ACB=90，AEPB于E，AF PC于F, 若2A
3、BPA，BPC=，则当AEF的面积最大时，tan的值为 ( D ) A 2 B 2 1 C2D 2 2 6.如图 S为正三角形ABC所在平面外一点，且SA SBSC AB，E、F分别为SC 、AB 中点， 则异面直线EF与 SA所成角为 (C) A90o B60o C45o D30o A C D B (A) O O B A D C 7.如图，三棱柱ABCA1B1C1的侧面 A1ABB1BC，且 A1与底面成45角， AB=BC=2 ，则该 棱柱体积的最小值为( ) A34B33C3 第 5 题第 6 题第 7 题 8. 正四棱锥的侧棱长为2 3，侧棱与底面所成的角为60，则该棱锥的体积为（B
4、） A 、 3 B、6 C、9 D、 18 9. 如图 , 正方体 1111 DCBAABCD的棱长为4,FE,分别是棱 CD、 11D C的中点 , 长为 2 的线段MN的一个端点M在线段 EF上运动 , 另一个端点N在底面 1111 DCBA上运动 , 则线段 MN的中点P的轨迹 ( 曲面 )与二面角 111 BDCD所围成 的几何体的体积为( D ) A 3 4 B. 3 2 C. 6 D. 3 10.已知一个平面与正方体的12 条棱所成的角都等于sin,则的值为（C ） A 2 1 B 2 2 C 3 3 D 4 6 二、填空题 1. 在 Rt ABC中，两直角边分别为a、b，设 h
5、为斜边上的高，则 222 111 hab ，由此类比： 三棱锥 S- ABC中的三条侧棱SA 、SB、SC两两垂直，且长度分别为a、b、c，设棱锥底面上的 高为 h，则 2222 1111 habc 。 2.如图 , 设A、B、C、D 为球O 上四点，若AB、AC、AD 两两互相垂直，且 F E P C B A B D A1 B1 E C1 C A F D1 N M P ? ? ? 6,2ABACAD，则 AD 两点间的球面距离 2 3 . 3. 已知体积为3的正三棱锥VABC的外接球的球心为，满足0OAOBOC, 则三 棱锥外接球的体积为 16 3 4. 正方体ABCD A1B1C1D1的棱
6、长为1，E为A1B1的中点，则下列五个命题： 点E到平面ABC 1D1的距离为； 2 1 直线BC与平面ABC 1D1所成的角等于 45 ； 空间四边形ABCD 1在正方体六个面内形成六个射影， 其面积的最小值是； 2 1 AE与DC 1所成的角为 10 103 arccos； 二面角A-BD1-C的大小为 6 5 其中真命题是 （写出所有真命题的序号） 三、解答题 1. 如图， 在四棱锥 ABCDP 中，底面为直角梯形，/,90ADBCBAD， PA垂直于 底面ABCD，NMBCABADPA,22分别为PBPC ,的 中点。 (1) 求证：DMPB； （2）求BD与平面ADMN所成的角；（3
7、）求 截面ADMN的面积。 解： （ 1）证明：因为N是PB的中点，ABPA， 所以PBAN。 由PA底面ABCD，得PAAD， 又90BAD，即 BAAD， AD平面PAB，所以PBAD， PB平面ADMN，DMPB。 AB CD 1 A 1 B 1 C 1 D E . A BC D A1 B1 C1 D1 P （2）连结DN， 因为BP平面ADMN，即BN平面ADMN， 所以BDN是BD与平面ADMN所成的角， 在Rt ABD中， 22 2 2BDBAAD， 在R t P AB中， 22 2 2PBPAAB， 故 1 2 2 BNPB，在Rt BDN中, 2 1 sin BD BN BDN
8、，又BDN0， 故BD与平面ADMN所成的角是 6 。 （3）由,MN分别为PBPC ,的中点，得/MNBC，且 11 22 MNBC， 又/ADBC，故/MNAD，由（ 1）得AD平面PAB，又AN平面PAB，故 ADAN， 四 边 形A D M N是 直 角 梯 形 ， 在R tP A B中 ， 22 2 2PBPAAB， 1 2 2 ANPB， 截面ADMN的面积 11 15 2 ()(2)2 22 24 SMNADAN。 （1）以A点为坐标原点建立空间直角坐标系Axyz，如图所示（图略） 由22BCABADPA，得(0,0,0)A， 1 (0,0, 2),(2,0,0),(1,1),(
9、0, 2,0) 2 PBMD 因为 3 (2,0,2)(1,1) 2 PB DM0，所以DMPB。 （2）因为(2,0,2) (0,2,0)PB AD0所以PBAD，又DMPB， 故PB平面ADMN，即 (2, 0,2)PB 是平面ADMN的法向量。 设BD与平面ADMN所成的角为，又( 2,2,0)BD。 则 | 4|1 sin|cos,| 2|4444 BD PB BDPB BDPB ， 又0 , 2 ，故 6 ，即BD与平面ADMN所成的角是 6 。 因此BD与平面ADMN所成的角为 6 ， 2. 如图，已知 1111 ABCDA B C D是底面为正方形的长方体， 11 60AD A，
10、 1 4AD，点P是 1 AD上的动点 E P D1 C1 B1 A1 D CB A z y x P D1 C1B1 A1 D CB A （ 1）试判断不论点P在 1 AD 上的任何位置，是否都有平面 11 B PA垂直于平面 11 AADD并证明你的结论； （ 2）当P为 1 AD 的中点时，求异面直线 1 AA与 1 BP所成角的余弦值； （ 3）求 1 PB与平面 11 AAD所成角的正切值的最大值 解： （ 1）不论点P在 1 AD上的任何位置，都有平面 11 BPA垂直于平面 11 AAD. 证明如下：由题意知， 1111 B AA D， 111 B AA A 又 1111 AAAD
11、A 11 B A平面 11 AAD又 11 AB平面 11 B PA平面 11 B PA平面 11 AAD （2） 解法一： 过点 P 作 11 PEAD ，垂足为E，连结 1 B E（如图），则 1 PEAA ， 1 B PE是异面直线 1 AA与 1 B P所成的角 在 11 RtAAD中 11 60AD A 11 30A AD 11111 1 2 2 A BA DAD, 111 1 1 2 A EA D， 22 1111 5B EB AA E又 1 1 3 2 PEAA 在 1 RtB PE中， 1 532 2B P 1 1 36 cos 42 2 PE B PE B P 异面异面直线
12、1 AA与 1 B P所成角的余弦值为 6 4 解法二： 以 1 A为原点， 11 A B所在的直线为x 轴建立空间直角坐标系如图示，则 1(0 0 0) A， (0 0 2 3)A ， ， 1(2 0 0) B， ，(013)P， ， 1 (0 0 2 3)A A， 1 ( 213)B P， ， 11 11 11 cos | | A A B P A AB P A AB P ， 66 42 3 2 2 异面异面直线 1 AA与 1 BP所成角的余弦值为 6 4 （3）由（ 1）知， 11 B A 平面 11 AAD ， 11 B PA是 1 PB与平面 11 AA D 所成的角， 且 11 1
13、1 11 2 tan B A B PA A PA P 当 1 AP最小时， 11 tanB PA最大，这时 11 APAD ，由 111 1 1 3 A DA A A P AD 得 11 2 3 tan 3 B PA，即 1 PB与平面 11 AA D所成角的正切值的最大值 2 3 3 3. 如图，直角梯形ABCE中，aCEBCABBCDABC 2 1 ,90， D 是 CE的中点， 点 M和点 N在ADE绕 AD向上翻折的过程中， 分别以的速度， 同时从点A 和点 B沿 AE和 BD各自匀速行进，t 为行进时间， 0at2。 （1）求直线 AE与平面 CDE所成的角； （2）求证： MN/平
14、面 CDE 。 解： （ 1）因,ADED ADCD，所以AD 平面CDE ，ED是 AE在平面 CDE上的射影， AED=45 0，所以直线 AE与平面 CDE所成的角为45 0 （2）解法一：如图，取AB 、AD所在直线为x 轴、 y 轴建立 直角坐标系A xyz. 则 (0, ,0)ADa 设 1122 22 (,),(,) 22 M xt yN xt y， 得 2121 (,0,)MNxxyy 由0AD MN，得MNAD，而AD是平面 CDE的一个 法向量，且MN平面 CDE ，所以 MN/平面 CDE 解法二：设在翻转过程中，点M到平面CDE的距离为 1 d， 点N到 平 面CDE
15、的 距 离 为 2 d， 则 1 2 (2) c o s 42 datat， 同 理 Z Y X M E B C D A N 2 22 (2) 22 datat 所以 12 dd ，故 MN/平面 CDE 解法三：如图，过M作 MQ/AD交 ED于点 Q ， 过 N作 NP/AD交 CD于点 P，连接 MN和 PQ 设 ADE 向 上 翻 折 的 时 间 为t ， 则A Mt， (02 )BNtta 因 1 2 ABBCCEa， 点D 是CE 的 中 点 ， 得 A BB CC DD Ea， 四边形 ABCD 为正方形，ADE 为等腰三角形 . 2,2MEat DNat 在 RtEMQ和 Rt
16、DNP中， ME=ND ，MEQ= NDP=45 0，所以 RtEMQ RtDNP ， 所以 MQ/NP且 MQ=NP，的四边形MNPQ 为平行四边形，所以MN/PQ ，因MN平面 CDE ， PQ平面 CDE ，所以 MN/平面 CDE 4. 如图，在三棱锥P-ABC中， PA=3，AC=AB=4 ，PB=PC=BC=5 ，D、E分别是 BC、AC的中点， F 为 PC上的一点，且PF:FC=3:1 （）求证： PA BC ； （）试在PC上确定一点G，使平面ABG 平面 DEF ； （）在满足（）的情况下，求二面角G-AB-C的 平面角的正切值 解：( ) 在PAC 中， PA=3 ， A
17、C=4 ，PC=5 ， 222 PCACPA，ACPA； 又 AB=4，PB=5 ，在 PAB 中，同理可得ABPA AABAC，ABCPA平面BC平面 ABC ，PA BC. ( ) 如图所示取PC的中点 G ，连结 AG ，BG ，PF:FC=3:1,F为 GC的中点 又 D、E分别为 BC 、AC的中点， AG EF ，BG FD ，又AG GB=G ，EF FD=F 面 ABG 面 DEF 即 PC上的中点 G为所求的点 ( ) 由( ) 知 G这 PC的中点，连结GE ，GE 平面ABC ，过 E作 EH AB 于 H，连结 GH ，则 GH AB ， EHG 为二面角G-AB-C
18、的平面角 8 395 2 1 ABCABE SS又 EHABS ABE 2 1 B C 据 主 B F C A D B O E 16 395 4 4 395 2 AB S EH ABE 又 2 3 2 1 PAGE 65 398 395 16 2 3 tan EH EG EHG 二 面 角G-AB-C 的 平面 角 的 正 切 值 为 65 398 5. 如图， 四面体 ABCD 中， O 、 E分别是 BD 、 BC的中点， 2,2.CACBCDBDABAD （I ）求证： AO 平面 BCD ； （II ）求异面直线AB与 CD所成角的余弦； （III）求点 E到平面 ACD的距离 方法一
19、：（I ）证明：连结OC ,.BODO ABADAOBD ,.BODO BCCDCOBD 在 AOC 中，由已知可得 1,3.AOCO 而 2,AC 222 ,AOCOAC 90 , o AOC 即 .AOOC 又,AOBDBDOCO，AO平面BCD （II ）解：取AC的中点 M ，连结 OM 、ME 、OE ，由 E为 BC的中点知MEAB,OEDC 直线 OE与 EM所成的锐角就是异面直线AB与 CD所成的角。 在OME中， 121 ,1, 222 EMABOEDCOM 是直角AOC斜边 AC 上 的中线， 1 1, 2 OMAC 1 1/ 212 cos, 4 2 12 /2 OEM
20、异面直线AB与 CD所成角大小的余弦为2 /4； （III）解：设点E 到平面 ACD的距离为.h , 11 33 EACDA CDE ACDCDE VV hSAO S 在ACD中， 2,2,CACDAD 22 127 22(). 222 ACD S x C A B O D y z E 而 2133 1,2, 242 CDE AOS 3 1 .21 2 . 77 2 CDE ACD AO S h S 点 E到平面 ACD的距离为 21 . 7 方法二： （I ）同方法一 （II ）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系， 则(1,0,0),( 1,0,0),BD 13 (0,3,0),(0,0
21、,1),(,0), 22 CAE ( 1,0,1),( 1,3,0).BACD .2 cos, 4 BACD BA CD BA CD 异面直线AB与 CD所成角大小的余弦为2 /4； （III）解：设平面ACD的法向量为 ( , , ),nx y z 则 .( , , ).( 1,0,1)0, .( , , ).(0,3,1)0, n ADx y z n ACx y z 0, 30. xz yz 令1,y得(3,1,3)n是平面 ACD的一个法向量 又 13 (,0), 22 EC 点 E 到平面 ACD的距离 . 321 . 7 7 EC n h n 6. 已知PA平面ABCD，2PAABA
22、D，AC与BD交于E点，2BD，BCCD， （1）取PD中点F，求证 :/PB平面AFC。 （2）求二面角APBE的余弦值。 解法 1:(1)联结EF，ABAD，BCCD，AC=AC ADCABC，E为BD中点，F为PD中点， /PBEF，/PB平面ACF （2） 联结PE，2PAABADBD， 在等边三角形ABD中, 中线AEBD， 又PA底面 ABCD， PABD，PAEBD面， 平面PAE平面PBD。 过A作AHPE于H， 则AH平面PBD， 取PB中点G，联结AG、GH，则等腰三角形PAB中，AGPB， AHPB，PB平面AGH，PBGH， AGH是二面角APBE的平面角 等腰直角三角
23、形PAB中，2AG，等边三角形ABD中，3AE， RtPAE中， 2 3 7 AH ， 2 7 GH ， 2 17 7 7 27 GH COS AGH AG . 二面角APBE的余弦值为 7 7 。 解法 2： 以ACAP、分别为yz、轴，A为原点， 建立如图所示空间直角坐标系， 2PAABADBDBCCD，ABCADC， ABD是等边三角形，且E是BD中点，ACBD 则(0 0 0)A，、 (1 3 0)B ， ， 、 ( 13 0)D， ， 、 (03 0)E， ， 、(0 0 2)P，、 13 (1) 22 F， （1 ） 13 (132)(1) 22 PBFE， ，、， 1 2 PBF
24、E， /PBEF，/PB平面ACF （2）设平面PABPBE、的法向量分别为 12 1122 (0)(1)nxynxy， ，、， ，. 则 12 n n、的夹角的补角就是二面角APBE的平面角； (130)AB， ， ， (1 32)PB， ， ， (032)PE， ， ， 由 1 0nAB及 2 2 0 0 nPB nPE 得 1 (310)n， ， 2 2 (01) 3 n，-， 12 12 12 7 cos 7 | | nn n n nn ， 二面角 APBE的余弦值为 7 7 。 7.如图，已知AB 平面ACD ， DE/AB， ACD是正三角形，AD=DE=2AB ，且 F是 CD的
25、中点。 （ I）求证： AF/平面 BCE ； （ II）求证：平面BCE 平面CDE ； （ III）求平面BCE与平面 ACD所成锐二面角的大小。 P E F D C B A z y x 【解】（I）解：取 CE中点 P，连结 FP 、BP， F为 CD 的中点， FP/DE，且 FP=. 2 1 DE又 AB/DE，且 AB=. 2 1 DE AB/FP，且 AB=FP ，ABPF为平行四边形，AF/BP。 又 AF平面 BCE ， BP平面 BCE ， AF/平面 BCE 。 （ II） ACD为正三角形，AFCD。 AB平面 ACD，DE/AB， DE平面 ACD，又 AF平面 AC
26、D， DE AF。又 AFCD，CD DE=D， AF平面 CDE 。 又 BP/AF， BP平面 CDE 。又 BP平面 BCE ，平面 BCE 平面 CDE 。 （ III）由（ II） ，以 F为坐标原点， FA ， FD，FP所在的直线分别为x，y，z 轴（如图），建立 空间直角坐标系F xyz.设 AC=2， 则C（ 0， 1， 0） ， ).2, 1 ,0( ,),1 , 0,3(EB , 1 .022 ,03 ,0,0 ,),( nz zy zyx CEnCBn BCEzyxn 则令即则 的法向量为平面设 显然，)1 ,0 ,0(m为平面 ACD的法向量。 设平面BCE与平面AC
27、D所成锐二 面 角为 . 2 2 2 1 | | c o s, nm nm 则 45，即平面BCE与平面 ACD所成锐二面角为45。 8.四棱锥 P ABCD中，PA 面 ABCD ， PA=AB=BC=2 ， E为 PA中点，过 E作平行于底面的面EFGH 分别与另外三条侧棱交于F ， G， H，已知底面ABCD 为直角梯形，AD/BC， AB AD， BCD=135 （ 1）求异面直线AF ， BG所成的角的大小； （ 2）设面 APB与面 CPD所成的锐二面角的大小为， 求 cos . 解：由题意可知，AP、AD、AB两两垂直， 可建立空间直角坐标系Axyz，由平面几 何知识知： AD=
28、4，D（0，4，0） ，B（2， 0，0） ， C（2，2，0） ， P（0，0，2） ，E（0，0，1） ， F（1，0，1） ，G（1，1，1） （ 1）0),1 , 1 , 1(),1 ,0 , 1 (BGAFBGAF . 2 所成的角为与BGAF （ 2）可证明AD平面APB ，平面APB 的法向量为 )0, 1 ,0(n 设平面 CPD的法向量为 2 1 0 0 ), 1( z y PD CD zy m m m由).2, 1 , 1(m 6 6 cos, 6 6 | ,cos即 nm nm nm 9.如图，在四棱锥PABCD中， PA 底面 ABCD ，90DAB，AB CD， AD
29、=CD=2AB=2 ， E， F分别是PC ， CD的中点 （ ）证明： CD 平面 BEF ； （ ）设 ,60且二面角为PAk ABEBDC ，求 k 的值 . 解： （ ）证明： / 90 DFAB DFABABFDBFCD DAB 矩形 PA 平面 ABCD，AD CD. CDEF PDEF CDF PCE CDPD 中点是 中点是 由三垂线定理得 CD 平面 BEF （ ）连结 AC 且交 BF于 H，可知 H 是 AC中点，连结EH, 由 E是 PC中点 ,得 EH PA, PA 平面 ABCD. 得 EH 平面 ABCD，且 EH 1 22 k PA. 作 HM BD 于 M，连
30、结 EM，由三垂线定理可得EM BD. 故 EMH 为二面角E BDF的平面角，故 EMH=60 0 . Rt HBM Rt DBF , 故 BD HB DF HM . 得 5 1 1 HM , 得 5 1 HM. 在 Rt EHM 中，tan60 , EH HM 得 52 15 3,. 25 k k 解法 2： （ ）证明，以A 为原点， 建立如图空间直角坐标系xyzA. 则(0,1,0)B，( 2,2,0)C，( 2,0,0).D 设 PA = k,则(0,0,)Pk, ( 1, 1, ) 2 k E,( 2,1,0)F得(0, 2,0),( 1,0,), 2 k CDBE ( 2,0,0
31、)BF AB CD M S 有 0, . , 0, CD BECDBE CDBEF CDBF CD BF 则平面 ( ) (0),(0, 0,),(0, 0,),PAk kPkBCDAPk平面的一个法向量 )0, 1,2(), 2 ,0, 1(BD k BE . 设平面 BDE的一个法向量 ( , , ),nx y znBEnBD有且 ， 则 0, 0, n BE n BD 得 0, 2 20, k xz xy 取 2 1,(1, 2,).xn k 得 由 nAP nAP |cos| cos60 ,AP n 得 2 2 2 152112 ,5416 255 4 5 kk k k 得 10.如图
32、，已知棱柱 1111 DCBAABCD 的底面是菱形，且 1 AA 面ABCD，60DAB， 1 AAAD，F为棱 1 AA的中点，M为线段 1 BD的中点， （ 1）求证：/MF面ABCD； （2）求证：MF面 11B BDD； （ 3）求面 1 BFD与面ABCD所成二面角的大小 （1）证明：连结AC、BD交于点O，再连结MO AAOM 1 2 1 /且AAOM 1 2 1 ， 又AAAF 1 2 1 ， AFOM /且AFOM四边形MOAF是平行四边形，OAMF / 又OA面ABCD/MF面ABCD （2）证明：底面是菱形，BDAC 又BB1面ABCD，AC面ABCD BBAC 1 ，A
33、C面 11B BDD又ACMF /MF面 11B BDD （3）延长FD1、DE交于点EF是AA1的中点且 ABCD 是菱形 A B C D A1 B1 C1 D1 F M O E A B C D A1 B1 C 1 D1 F M ABAEDA 又60DAB90DBE 由三垂线定理可知 BEBD1 BDD1 为所求角 在菱形ABCD中， 60DABBDBC33t an 1 1 BD DD BDD 60 1BD D 11.如图所示的几何体ABCDE中 ,DA平面EAB，DACB /,CBABDAEA2， ABEA，M是EC的中点 . ( ) 求证 :EBDM; ( ) 求二面角ABDM的余弦值
34、. 解法一 : 分别以直线ADABAE,为x轴、 y轴、z轴，建立如图 所示的空间直角坐标系xyzA，设aCB，则 )2 ,0 ,0(),2,0(),0,2,0(),0, 0,2(),0 ,0 ,0(aDaaCaBaEA， 所以) 2 ,( a aaM. ( ) 证:),0,22(), 2 3 ,-,(aaEBaaaDM 002)(-2aaaaEBDM EBDM, 即EBDM. ( ) 解: 设平面MBD的 法向量为),(zyxn,),-22, 0(aaDB 由DBn,DMn得 0z 2 3 0z 2 3 -yx 0z2-y2 yx zy aaaDMn aaDBn 取2z得平面MBD的一非零法
35、向量为)2 , 2, 1(n 又平面 BDA的法向量为)0,0 , 1( 1 n 3 1 001221 001 ,cos 222222 1 nn， 二面角ABDM的余弦值为 3 1 . z y x E D C B A M E D C B A M A A B C D P E F A B C D P 12.如图， 三棱锥P ABC中， PC平面 ABC ，PC=AC=2 ，AB=BC ，D 是 PB上一点， 且 CD平 面 PAB (I) 求证： AB平面 PCB ； (II) 求异面直线AP与 BC所成角的大小； （III）求二面角C-PA-B 的大小 解法一：(错误！未找到引用源。 ) PC平
36、面 ABC，AB平面 ABC， PCAB CD平面 PAB ，AB平面 PAB ， CDAB又CCDPC， AB平面 PCB (错误！未找到引用源。) 过点 A 作 AF/BC，且 AF=BC ，连结 PF ，CF 则PAF为异面直线PA与 BC所成的角 由（）可得ABBC， CFAF 由三垂线定理，得PFAF 则 AF=CF=2，PF=6CFPC 22 ， 在PFARt中，tanPAF= 2 6 AF PF =3，异面直线PA与 BC所成的角为 3 （错误！未找到引用源。 ） 取 AP的中点 E， 连结 CE、 DEPC=AC=2 ， CE PA ，CE=2 CD平面 PAB ，由三垂线定理
37、的逆定理，得DE PA CED为二面角C-PA-B的 平面角 由(错误！ 未找到引用源。) AB平面 PCB ，又 AB=BC ，可求得 BC=2在PC BRt中， PB=6BCPC 22 ， 3 2 6 22 PB BCPC CD 在CDERt中，sinCED= 3 6 2 3 2 CE CD 二面 角 C-PA-B的大小为arcsin 3 6 A B C D P x y z 解法二：（错误！未找到引用源。）同解法一 (错误！未找到引用源。 ) 由(错误！未找到引用源。 ) AB平面 PCB ， PC=AC=2 ， 又 AB=BC ， 可求得 BC=2 以 B 为原点，如图建立坐标系 则（，
38、2，），（ 0，0，0） ， C（2， 0） ，P（2， 2） ),22,2(AP ， )0, 0,2(BC 则22BCAP+0+0=2 BCAP BCAP BC,APcos= 222 2 = 2 1 异面直线AP 与 BC所成的角为 3 （错误！未找到引用源。）设平面PAB的法向量为m= (x，y，z)0,2, 0(AB， ),22,2(AP ， 则 0.mAP , 0mAB 即 .02zy2x2 ,0y2 解得 z2x ,0y 令z= -1, 得 m= (2， 0，-1) 设平面 PAC的法向量为n=( z,y,x)0,-2, 0(PC，),02,2(AC， 则 0.nAC ,0nPC 即
39、 .0y2x2 ,02z 解得 yx ,0z 令 x=1, 得 n= (1，1，0) nm nm n,mc o s= 3 3 23 2 二面角C-PA-B的大小为arccos 3 3 13.如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是正方形， 侧棱 PD 底面 ABCD ， PD=DC ，E是 PC的中点 . （ 1）证明PA/平面 BDE ； （ 2）求二面角BDEC的平面角的余弦值； （ 3）在棱PB上是否存在点F ，使 PB 平面 DEF ？ 证明你的结论. 解： （ 1）以 D 为坐标原点，分别以DA、DC、DP 所在直线为x 轴、 y 轴、z 轴建立空间直角坐 标系，设PD=DC=2 ，则
40、 A（2，0，0） ，P（0， 0，2） ，E（0，1，1） ， B（2， 2，0） )0, 2, 2(),1 , 1 ,0(),2, 0,2(DBDEPA 设 1 ( , , )nx y z 是平面 BDE 的一个法向量， 则由 1 1 1 00 1,(1, 1,1). 220 0 nDEyz yn xy nDB 得取得 11220,/.PA nPAnPABDEPABDE，又平面平面 （2）由（）知 1(1, 1,1)n 是平面 BDE 的一个法向量，又 2(2,0,0)nDA 是平面 DEC 的一个法向量 . 设二面角 BDEC的平面角为，由图可知 12 ,n n 12 12 12 23
41、coscos, 3| |32 nn n n nn 故二面角BDEC 的余弦值为 3 3 （3）) 1 , 1 ,0(),2, 2,2(DEPB., 0220DEPBDEPB 假设棱 PB上存在点 F，使 PB 平面 DEF ，设)10(PBPF， 则 )22,2,2(),2,2,2(PFDPDFPF ， 由 0)22(2440 22 得DFPF PBPF 3 1 )1 ,0( 3 1 ，此时 即在棱 PB上存在点 F， 3 1 PFPB，使得 PB 平面 DEF 14.已知几何体ABCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三 角形，正视图为直角梯形 （ 1）求异面直线D
42、E与 AB所成角的余弦值； （ 2）求二面角A-ED-B的正弦值； （ 3）求此几何体的体积V的大小 . 【解】（本题 15 分）证明：（1）取 EC的中点是F ，连结 BF， 则 BF/ DE， FBA或其补角即为异面直线DE与 AB所成的角 在 BAF 中， AB=4 2， BF=AF =2 5 10 cos 5 ABF 异面直线DE 与 AB所成的角的余弦值为 10 5 （ 2）AC 平面 BCE ，过 C作 CG DE交 DE于 G，连 AG可得 DE 平面 ACG ，从而 AG DE AGC为二面角A-ED-B 的平面角在 ACG中，ACG =90 ，AC=4，G= 8 5 5 5
43、tan 2 AGC 5 sin 3 AGC 二面角 A-ED-B 的的正弦值为 5 3 （3） 1 16 3 BCED VSAC 几何体的体积V 为 16 方法二：（坐标法）（1）以 C 为原点，以CA，CB，CE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系 则 A（4，0，0） ，B（0， 4，0） ， D（0，4，2） ，E（0，0，4） (0, 4,2),( 4,4,0)DEAB ， 10 cos, 5 DE AB 异面直线DE 与 AB所成的角的余弦值为 10 5 （2）平面 BDE的一个法向量为(4,0,0)CA， 设平面 ADE 的一个法向量为( , , )nx y z， ,nAD n
44、DE( 4,4,2),(0, 4,2)ADDE 0,0n ADn DE 从而4420, 420xyzyz,令1y，则 (2,1,2)n , 2 cos, 3 CA n P A F B E DC G P A F B ()O y z 二面角 A-ED-B 的的正弦值为 5 3 （3） 1 16 3 BCED VSAC， 几何体的体积V 为 16 15. 如图： PA 平面 ABCD ，ABCD是矩形， PA=AB=1 ，PD与平面 ABCD 所成角是30，点 F 是 PB 的中点，点E 在边 BC上移动 . （）点E为 BC的中点时，试判断EF与平面 PAC的位置关系 , 并说明理由； （）证明：
45、无论点E在边 BC的何处，都有PE AF； （）当BE等于何值时，二面角P-DE-A 的大小为45 . 答案：解 : 解法一 : （）当点E为BC的中点时，EF与平面 PAC平行 . 在PBC中，E、F分别为BC、PB的中点，EFPC又EF平面PAC， 而PC平面PACEF平面PAC. 4 分 （）证明 :ABCDBEABCDPA平面，平面, PAEB. 又，平面PABAPABAAPABABEB,PABEB平面, 又PABAF平面，BEAF. 又1PAAB, 点F是PB的中点 ,PBAF 4 分 PBEBEPBBBEPB平面又,PBEAF平面. PEAFPBEPE，平面. 8 分 ( ) 过A
46、作AGDE于G，连PG，又PADE， 则DE平面PAG, 则PGA是二面角PDEA的平面角， 45PGA， 10 分 PD与平面 ABCD 所成角是30，30PDA， 3AD，1PAAB. 1AG，2DG，设BEx，则GEx，3CEx， 在Rt DCE中， 22 2 231xx， 得32BEx. 12 分 解法二 : （向量法）（）同解法一4 分 （）建立图示空间直角坐标系，则0,0,1P， 0,1,0B， 1 1 0, 2 2 F ， 3,0,0D . 设BEx，则,1,0E x 0) 2 1 , 2 1 ,0()1, 1 ,(xAFPEAFPE 8 分 （）设平面PDE的法向量为, ,1m
47、p q，由 0 0 PEm PDm ，得： 1 ,1,1 33 x m ， 而平面ADE的法向量为)1 ,0 ,0( AP, 二面角PDEA的大小是45, 所以 45cos= | | 2 2 APm APm ， 2 11 2 1 11 3 3 x ， 得32BEx或23xBE（舍） . 12 分 16. 如图，在棱长都相等的四面体ABCD 中，点 E是棱 AD 的中点， (1)设侧面 ABC 与底面 BCD 所成角为 ，求 tan . (2)设CE 与底面 BCD 所成角为 ，求 cos. (3)在直线 BC 上是否存在着点F，使直线 AF与CE 所成角为 90， 若存在，试确定F 点位置；若不存在，说明理由。 答案：解： (1) 连 AF 、DF，由 ABC及 BDC是正三角形， F 为 BC中点，得AFBC ，DFBC ， AF=DF AFD为二面角A-BC-D 的平面角 设棱长为a，在 ABC中， AF= 2 3a ，DF= 2 3a 在 AFD中， 3 1 4 3 2 4 3 2 cos 2 22 a aa 22tg (2) 法一： BC 面 ADF ，BC面 BCD 面 ADF 面 BCD 在面 ADF中，过 E 作 EG DF，则 EG 面 B