2009年全国各地数学模拟试卷(新课标)分章精编---立体几何初步.pdf

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1、2009 年全国各地数学模拟试卷（新课标）分章精编 立体几何初步 一、选择题 1. 已知两条不同直线 1 l和 2 l及平面，则直线 21/ l l的一个充分条件是B A/ 1 l且/ 2 lB 1 l且 2 l C/ 1 l且 2 lD/ 1 l且 2 l 2. 右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该 几何体的表面积是C A32B16 C12D8 3. 已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为C A. 807B.967 C. 968D.9616 4. 设,m n是两条不同的直线，,是两个不同的平面， 下列命题正确的是C A若,/ /,mn mn则/ /B若/ /,/ /,/

2、/mn，则/ /mn C若,/ /,/ /mn，则mnD若/ ,/ /,/ /,mn mn则/ / 5. 已知直线m 、 n平面,，下列命题中正确的是（ B ） A若直线m 、n 与平面所成的角相等，则m/n B若 m ，n，则 m n C若 m，n，m/n ，则/D若 m/,/,/n则 m/n 6. 将正三棱柱截去三个角（如图1 所示 A、 B、C 分别是GHI三边的中点）得到的几何体如 图 2，则该几何体按图2 所示方向的侧视图( 或称左视图 ) 为（ A ） 7. 平面 平面 =l，直线a，直线 b ，则“ a 和 b 是异面直线”是“a、b 均与直 2 4 侧（左）视图 正（主）视图

3、俯视图 4 4 4 4 4 2 2 2 2 3 俯视图主视图左视图 线l相交，且交点不同”的( B ) A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 8. 正方体 ABCD A1B1C1D1的各个顶点与各棱的中点共20 个点中， 任取两点连成直线，在这些直 线中任取一条，它与BD1垂直的概率为 D A 166 21 B 190 21 C 18 190 D 166 27 9. 正方体 ABCD A1B1C1D1的各个顶点与各棱的中点共20 个点中， 任取两点连成直线，与 BD1垂 直的直线条数为C A18B 21 C 27 D12 10. 在二面角l的两个面,内，分别有直线

4、a,b ，它们与棱l都不垂直，则B A当该二面角是直二面角时，可能a/b，也可能ab B当该二面角是直二面角时，可能a/b，但不可能ab C当该二面角不是直二面角时，可能a/b，但不可能ab D当该二面角不是直二面角时，不可能a/b，也不可能ab 11. 已知DCBAABCD为长方体， 对角线CA与平面BDA相交于点， 则是BDA 的 D A垂心 B外心 C 内心 D 重心 12. 下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得几 何体的表面积是 A.22 B.12 C.424 D.432 13已知两个不同的平面、和两条不重合的直线，m 、n，有下列四个命题 若mnm,/，则n若/,则mm 若则

5、,/,nnmm若nmnm/, ,/则 其中正确命题的个数是 B A0 个B1 个C2 个D3 个 14. 设x、y、z是空间不同的直线或平面，对下列四种情形： x、y、z均为直线； x、y是直线， z是平面； z是直线，x、y是平面； x、y、z均为平面。 其中使“xz且yzxy”为真命题的是 C A B C D 15. 已知直线l、m, 平面、，则下列命题中假命题是 C A若/，l, 则/l B若/，l, 则l C若/l，m, 则ml / D若，l,m,lm, 则m 20 正视图 侧视图 俯视图 80 80 80 16. 设 m ， n 是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：

6、 若 m ，n，则 m n；若，m ，则 m ； 若 m ，n，则 m n；若，则 其中正确命题的序号是 A A和 B和 C和 D和 17. 已知直线a、b、c 和平面 M ，则 a/b的一个充分条件是 D Aa/M ，b/M Bac ，bc Ca、b 与平面 M成等角DaM ，bM 18. 底面是矩形的四棱柱 DCBAABCD中， 5, 3,4 AAADAB，90BAD， 60 DAABAA，则 AC C A95B59C85D58 19. 某师傅需用合板制作一个工作台，工作台由主体和附属两部分组成，主体部分全封闭，附 属部分是为了防止工件滑出台面而设置的三面护墙，其大致形状的三视图如右图所示

7、( 单位长 度: cm), 则按图中尺寸，做成的工作台用去的合板的面积为（制作过程合板的损耗和合板厚 度忽略不计）D A. 2 40000cm B. 2 40800cm C. 2 1600(2217)cm D. 2 41600cm 20. 如图，直三棱柱的主视图面积为2a 2, 则左视图的面积为（ C ） （ A ）2a 2 (B) a2 (C) 2 3a (D) 2 4 3 a 21用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如右 图所示，则它的体积的最小值与最大值分别为 C A 9与 13 B 7 与 10 C 10 与 16 D 10 与15 22已知某个几何体的三视图如下，根据图中标

8、出的尺寸（单位：cm） ，可得这个几何体的体 积是（ C ） A 31 3 cm B 32 3 cm C 34 3 cm D 38 3 cm a a a 2a 俯视图主视图 23. 已知a、b是两异面直线，ba，点aP且bP下列命题中，真命题是D A.在上述已知条件下，一定存在平面，使P，/a且/b B.在上述已知条件下，一定存在平面，使P，a且b C.在上述已知条件下，一定存在直线c，使cP，ca /且cb/ D.在上述已知条件下，一定存在直线c，使cP，ca且cb 24 如图所示为一个简单几何体的三视图，则其对应的实物是（ A ） 俯视图 左视图 主视图 B C D A 25. 如图所示，

9、在正方体ABCD A1B1C1D1的侧面 AB1内有一动点 学科网 P到直线 A1B1与直线 BC的距离相等，则动点P所在曲线的形学状为（ C ） 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 26. 已知直线平面l，直线平面m，给出下列命题（ D ） 学科网 ml； lm 学科；网lm ； ml 学科网 A B C D 学科网 27. 如图是一个空间几何体的主视图（正视图）、侧视图、俯视图， 如果直角三角形的直角边长均为1，那么这个几何体的体积为（ C ）. A1 B 2 1 C 3 1 D 6 1 28. 给出如下四个命题：对于任意一条直线a，平面内必有无数条直线

10、 与a垂直；若、是两个不重合的平面，lm、是两条不重合的直线， 则/的一个充分而不必要条件是,lm，且/l m；已知abcd、 、 、 是四条不重合的直线，如果,ac ad bc bd，则 /a bc d“”与“”不可能都不成 立；已知命题P：若四点不共面，那么这四点中任何三点都不共线. 则命题 P 的逆否命题是 假命题上命题中，正确命题的个数是（A ） A 3 B2 C1 D0 29. 设,为两个不重合的平面，l ，m ，n为两两不重合的直线，给出下列四个命题： 若;/,/ll则若;/,/,/,则nmnm 若;,/all则lnlmlnm则且,其中 真命题的序号是（ C ） ABC D 30.

11、 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图中ABC的边长为2 的正三角形，俯视图为正 六边形，那么该几何体的侧视图的面积为（ A ） A 2 3 B 3 2 C12 D6 31. 用一些棱长是1cm的小正方体码放成一个几何体，图1 为其俯视图，图2 为其正视图，则 这个几何体的体积最多是（ D ） A6cm 3 B7cm 3 C8cm 3 D9cm 3 32. 已知 m ，n 是不重合的直线，,是不重合的平面，给出下列命题： 若则,mm；若/,/,/,则nmnm； 如果nmnm,是异面直线，则与n相交； 若 ./,/,/,nnnnmnm且则且 其中正确命题的个数是（ B ） A1 B2 C3 D

12、 4 33. 如右图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直 径为1的圆，那么这个几何体的全面积 为（ A ） A 2 3 B2C3D4 34. 如果直线ml,与平面,，满足：mll,/,和m，那么必有（ B ） A. 且/m B. 且ml C. /m且mlD. /且 35. 如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S，那么圆柱的体积等于 ( D ) A S S 2 B SS 2 CS S 4 D SS 4 36. 如图 , 水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱 1 AA平面ABC, 正视图如图所示， 俯视图为一个等边三角形， 则该三棱柱的侧视图面积为B

13、A4 B32 C22 D3 37. 已知几何体的三视图（如右图），则该几何体的体积为C A 3 4 B4 C 3 24 D 3 34 38. 如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长 均为 2，且侧棱 1111 AAA BC面，正视图是边 长为 2 的正方形，该三棱柱的侧视图面积为 （ B ）. 学科网 A. 4 B. 32C. 22D. 3学 科网 主视图俯视图左视图 39. 设、是两个不同的平面，ml、为两条不同的直线，命题p：若平面/，l， m，则ml /；命题 q：/l，lm，m，则，则下列命题为真命题的是 C Ap 或 q Bp 且 q Cp或 q Dp 且q 40.b,ca已知,是直

14、线 ,是平面 ,下列命题中正确的是 C Abbaa若 /,则 /Baa若,则 Caa若,/,则Dc,bcaab若,则 / 41.m、n是不同的直线，、是不同的平面，有以下四个命题：学科网 若/,/，则/; 若/,m，则m; 学科网 若/,mm，则; 若nnm,/，则/m. 学科网 其中真命题的序号是 ( A )学科网 A B C D 学科网 42. 若mn、是两条不同的直线，、 、是三个不同的平面，则下列命题中为真命题的是 （ D ） .A若,m，则m. .B若m/nn,m，则/. .C若,，则/. .D若/m,m，则. 43. 已知直线 m、n和平面 、满足 m n， m则（ D ） AnB

15、n/或nCnDn或n 44.m、n是不同的直线，、是不同的平面，有以下四个命题： 若/,/，则/; 若/,m，则m; 若/, mm，则; 若nnm,/，则/m. 其中真命题的序号是（ A ） ABCD 45. 如图，模块均由4 个棱长为1 的小正方体构成，模块由15 个棱长为1 的小正方 体构成现从模块中选出三个放到模块上，使得模块成为一个棱长为3 的大 正方体则下列选择方案中，能够完成任务的为（ A ） C A B C1 A1 B1 3 3 A B C 主视图左视图 俯视图 A模块， B模块， C模块， D 模块， 46. 某几何体的三视图如图所示，当ba取最大值时，这个几何体的体积为（ D

16、 ） A 6 1 B 3 1 C 3 2 D 2 1 47. 已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成，根 据图中标出的尺寸( 单位 :cm) ，可得这个几何体的体积是( C ) A B 3 4 C 3 5 D2 48. 已知不同的直线nm,，不同的平面,，则下列条件中能推出/的是（ C ） An，m，mn / B, Cmn /，mn,D/n，/m，mn/ 49. 设 a， b，c 表示三条直线，,表示两个平面，则下列命题中逆命题不成立的是（ C ） A. c，若c，则/ B. b ，c，若 /c ，则 cb/ C. b，若 b，则 D. b， c 是在内的射

17、影，若cb，则 b 50. 已知 m 、n 是两条不重合的直线，、 、是三个两两不重合的平面，给出下列命题： 若 m ，n ，m 、n，则 ； 若 ， m ，n，则 m n； 若 m ，m n，则 n； 若 n ，n ，m ，那么 m n； 其中所有正确命题的个数是（ B ） 2 1 1 正视图 2 1 1 侧视图 俯视图 A1 B2 C3 D4 51. 已 知 四 面 体 的 四 个 面 的 面 积 分 别 为 4321 SSSS、， 记 其 中 最 大 的 为S， 则 S SSSS 4321 的取值范围是（ A ）. .A4,2(.B 2 7 , 2 5 (.C4,2.D4, 2 5 (

18、52. 已知,m n为直线，,a b为平面，给出下列命题： / m n mn / m mn n / m m / / m nmn 其中的正确命题序号是：B A B C D 53. 已知m、n是两条不重合的直线，、 是三个两两不重合的平面，给出下列四个命 题，其中真命题是：D 若,mm则/； 若,则/； 若,/ ,mnmn则/； 若m、n是异面直线，,/,/,mmnn则/ A和B和C和D和 54. 在四面体ABCD中，三组对棱棱长分别相等且依次为34、41、5，则此四面体ABCD 的外接球的半径R为 （ C ） A5 2B5 C 5 2 2 D4 55. 过原点O作两条互相垂直的直线分别与椭圆 2

19、 2 1 2 x y相交于A、C与B、D，则四边 形ABCD的面积的最小值为（ A ） A 8 3 B4 2 C2 2 D 4 3 56.给出下面四个命题： “直线a、b 为异面直线”的充分非必要条件是：直线a、b 不相交； “直线l 垂直于平面内所有直线”的充要条件是：l平面； “直线ab”的充分非必要条件是“a 垂直于 b 在平面内的射影”； “直线平面”的必要非充分条件是“直线a 至少平行于平面内的一条直线” 其中正确命题的个数是（B ） A1 个B2 个C3 个D4 个 57.一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体 正视图侧视图 俯视图 3 3 1 积是（D ）A3

20、 B 5 2 C2 D 3 2 58.设、是两个不同的平面，a、b 是两条不同的直线，给出下列4 个命题： 若 a， b，则 a b； 若 a，b，a b，则； 若 a， b，a b，则； 若 a、b 在平面内的射影互相垂直，则a b. 其中正确命题是（A） A. B. C. D. 59.下列命题中，m,n 表示两条不同的直线，、表示三个不同的平面. 若 n;m,/,则nm 若,a，则/； 若/,/nam，则nm/；若 m,/,/则m.正确的命题是（C ） A B C D 60.已知,是两个不重合的平面，m,n 是两条不重合的直线，下列命题中不正确 的是（ B） / ,mn mn若则/,/ma

21、nn若则m ,/mm若则,mm若则 61.一个几何体的三视图如上图所示，则该几何体的表面积是（B ） A6+83B12+83 C 12+73D18+23 62. 已知、是不同的平面，m、n是不同的直线，则下列命题不 正确的是B )(A若mm,nn则. )(B若m,n则mn )(C若mn，m，则n. )(D若mm,则. 63.已知三个平面,， 若， 且与相交但不垂直，,a b 分别为,内的直线，则 （ D ） A,bbB,/bbC,aaD,/aa 64.四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半 径相等的圆口酒杯，如图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一

22、半设剩余酒的高 度从左到右依次为 1 h， 2 h， 3 h， 4 h，则它们的大小关系正确的是（A） 俯 正侧 3 1 2 2 第 6 题 214 hhh 123 hhh 324 hhh 241 hhh 65.已知 、是两个不重合的平面，l 是空间一条直线，命题p：若 l，l，则 ；命题 q： 若 l， l，则 对以上两个命题，下列结论中正确的是C （A）命题 “ p 且 q” 为真（B）命题 “ p 或 q” 为假 （C）命题 “ p 或 q” 为真（D）命题 “ p” 且“ q” 为真 二、填空题 1. 棱长为 2 的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面 如图，则图

23、中三角形( 正四面体的截面) 的面积是2 . 2. 右图是一个空间几何体的主视图、侧视图、俯视图，如果 主视图、侧视图所对应的三角形都是边长为2 的正三角形， 俯视图对应的四边形为正方形，那么这个几何体的 体积为 3 34 3. 用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如下图所示，则它的体积的最小值为 10，最大值为16 . 4. 如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为a2 的等腰三角形俯视图是半径为a的半圆，则该几何体的 表面积是 23 (3) 2 a 5. 关于直线,m n与平面,，有以下四个命题： 若/,/mn且/， 则/mn； 若,mn且 ，则m n；若,/mn 且 / ，则

24、 mn；若/,mn 且， 则/mn； 其中正确命题的序号是。 （把你认为正确命题的序号都填上） 6. 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为2，2，3，则 此球的表面积为 3 4 。 7. 已知长方体ABCD A1B1C1D1的外接球的半径为4，则 AA1B， ABD ， AA1D 面积之和的最大 俯视图主视图 俯视 图 侧视 图正视 图 俯视图 主视图 左视图 值为 32 。 8. 已知一圆锥的侧面展开图为半圆，且面积为S，则圆锥的底面面积是_ 2 S _ 9. 一个正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为3，五个顶点都在同一个球面 上，则此球的表面积为 9 10. 如

25、图，一个空间几何体的主视图、侧视图是周长为4 一个内角为60的 菱形，俯视图是圆及其圆心，那么这个几何体的表面积为 11. 已知图中（ 1） 、 （2） 、 （3）分别是一个立体模型的正视图、左视图、俯视 图，这个立体模型由若干个棱长为1 的小正方体组成，则这个立体模型的体 积的所有可能值= 6或7 . （1）（2）（3） 12. 已知 m 、n 是两条不重合的直线，、 、是三个两两不重合的平面，给出下列命题： 若 m ，n ，m 、n，则 ； 若 ， m ，n，则 m n； 若 m ，m n，则 n； 若 n ，n ，m ，那么 m n； 其中所有正确命题的序号是 13. 已知某个几何体的三

26、视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm） ，可得这个几何体的体 积是 3 3 4 cm 14. 一几何体的三视图如右右，它的体积为 1.5 15. 在空间中，有如下命题： 互相平行的两条直线在同一平面内的射影必然是互相平行的两条直线； 若平面内任意一条直线m 平面，则/； 若平面与平面的交线为 m，平面内的直线 n直线 m，则 n ； 若点 P到三角形三个顶点的距离相等，则点 P在该三角形所在平面内的射影是三角形的 外心； F A E C O B D M A G F E D C B A 若平面内的直线 m垂直于平面，那么； 其中正确的命题为 _ _。( 填上所有正确命题的序号 16. 如图

27、, 正ABC的中线AF与中位线DE相交于 G , 已知EDA 是AED绕DE旋转过 程中的一个图形, 现给出下列四个命题: 动点 A在平面ABC上的射影在线段AF上; 恒有平面BCEDGFA平面 ; 三棱锥FEDA 的体积有最大值; 异面直线EA 与BD不可能垂直 . 其中正确的命题的序号是 . 17. 设DCBA、是半径为2的球面上四个不同的点，且满足 0ACAB ， 0ACAD ， 0ADAB，则 ACDABDABC SSS的最大值为 8 . 18. 将圆锥的侧面展开恰为一个半径为2 的半圆，则圆锥的体积是 3 3 19.某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的

28、线段， 在 该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和 b 的线段，则a + b 的最大值为 4 三、解答题 1. 如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上， EFAB /，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面 互相垂直，且2AB，1EFAD. （）求证：AF平面CBF； （）设FC的中点为M，求证：/OM平面DAF； ( ) 设平面CBF将几何体EFABCD分成的 两个锥体的体积分别为 ABCDF V ， CBEF V ，求 ABCDF V CBEF V: 解： （）证明：平面ABCD平面ABEF,ABCB, 平面ABCD平面ABEF=AB，CB平面ABEF， AF平面ABE

29、F，CBAF , 又AB为圆O的直径，BFAF， AF平面CBF。 （）设DF的中点为N，则MN/CD 2 1 ，又AO/CD 2 1 ，则MN/AO，MNAO为 平行四边形， /OMAN，又AN平面DAF，OM平面DAF，/OM平面DAF。 ( ) 过点F作ABFG于G，平面ABCD平面ABEF， FG平面ABCD，FGFGSV ABCDABCDF 3 2 3 1 ，CB平面ABEF， CBSVV BFEBFECCBEF 3 1 FGCBFGEF 6 1 2 1 3 1 ， ABCDF V1:4: CBEF V 2. 如图，在棱长为2的正方体 1111 ABCDABC D中，E、F分别为 1

30、 DD、BD的中点。 （）求证：EF/ 平面 11 ABCD （）求证：EF 1 BC ( ) 求三棱锥 11 AABD的体积 解： （）连结BD1，在 DD1B中， E、F分别为 D1D ， DB的中点，则EF/D1B。 . 11 11 111 / , , DABCEF DABCEF DABCBD 平面 平面 平面又 （） B1CAB ，B1CBC1， AB平面 ABC1D1，BC1平面 ABC1D1， AB BC1=B， B1C平面 ABC1D1。 又 BD1平面 ABC1D1， B1CBD1， 而 EF/BD1， EFB1C。 ( ) 三棱锥 11 AABD的体积 1111 4 3 AA

31、BDDA AB VV 3. 如图，已知三棱锥ABPC中，AP PC ，AC BC ，M为 AB中点， D为 PB中点，且 PMB为正 三角形。 （1）求证： DM/平面 APC ； （2）求证：平面ABC 平面 APC ； （3）若 BC=4 ， AB=20 ，求三棱锥DBCM 的体积。 解： （ 1） M为 AB中点， D为 PB中点， MD/AP，又 MD平面 ABC DM/平面 APC 。 （2） PMB 为正三角形，且D为 PB中点。 MD PB 。 又由（ 1）知 MD/AP，AP PB 。又已知AP PC AP 平面 PBC ， AP BC ，又 AC BC 。 BC 平面 APC

32、 ，平面 ABC 平面 PAC ， （3） AB=20 MB=10 PB=10 又 BC=4，.2128416100PC .2122124 4 1 4 1 2 1 BCPCSS PBCBDC 又 MD.351020 2 1 2 1 22 AP F B1 A C D A1 C1 D1 B E F B1 A C D A1 C1 D1 B E VD-BCM=VM-BCD=71035212 3 1 3 1 DMS BDC 4. 如图 1 所示，正ABC的边长为2a，CD是 AB边上的高， E，F 分别是 AC ，BC的中点。现 将ABC沿 CD翻折，使翻折后平面ACD平面 BCD （如图 2） （1）

33、试判断翻折后直线AB与平面 DEF的位置关系，并说明理由； （2）求三棱锥C-DEF的体积。 解： （ 1）判断： AB/ 平面 DEF 证明：因在ABC中， E，F 分别是 AC ，BC的中点，有 EF/AB 又因 AB平面 DEF ， EF平面 DEF所以 AB/ 平面 DEF （2）过点 E作 EMDC于点 M ， 面 ACD面 BCD ，面 ACD面 BCD CD ，而 EM面 ACD 故 EM平面 BCD 于是 EM 是三棱锥 E-CDF的高 又CDF的面积为 22211 113 (2 ) 22 244 CDFBCD SSCD BDaaaa EM 11 22 ADa 故三棱锥C-DE

34、F的体积为 23 11313 14 334224 CDEFECDFCDF VVSEMaaa分 5. 一个棱柱的直观图和三视图（主视图和俯视图是边长为a的正方形， 左视图是直角边长为a 的等腰三角形）如图所示，其中M 、N分别是 AB 、AC的中点， G是 DF上的一动点 . （）求证：;ACGN （）求三棱锥FMCE的体积； （）当FG=GD 时，证明AG/ 平面 FMC. 图（ 2） 图（ 1） F E F E A B C A B DC D 图（ 2） 图（ 1） F E F E A B C A B DC D M a a a 俯视图 左视图 主视图 G EF N M D C B A Q G

35、N M F E DC BA A BC D A1 B1 C1 D1 P 【解】（）由三视图可知，多面体是直三棱柱，两底面是直角边长为a的等腰直角三角形， 侧面ABCD, CDFE是边长为a的正方形。 ,3分 连结DN, 因为,FDCD FDAD, 所以，FD面ABCDFDAC 又，ACDN, 所以，AC面GND, GN面GND所 以GNAC,6分 （） EFMCADFBCEFAMCDEMBC VVVV. 11 33 BCEAMCDMBC SCDFD SEC S 11 11 1 () 23 2 23 2 2 aa a a aaa aa a 3 1 6 a. , 另解： 3 1111 3326 EF

36、MCMCEFCEF VVAD Saa aa （）连结DE交FC于Q, 连结QG 因为,G Q M分别是,FD FC AB的中点，所以GQ/ 1 2 CD, AM / 1 2 CD, 所以，AM/GQ,AMGQ是平行四边形 AGQM,AG面FMC,MQ面FMC所以，AG/ 平面 FMC. 6. 如图，已知 1111 ABCDA B C D是底面为正方形的长方体， 11 60AD A， 1 4AD，点P 是 1 AD上的动点 （ 1）试求四棱锥 1111 PABC D体积的最大值； （ 2）试判断不论点P在 1 AD上的任何位置，是否都有平面 11 B PA垂直于平面 11 AAD？并证明你的结论

37、。 【解】（1） 1111 ABCDA B C D是长方体侧面 11 AAD底面 1111 A BC D 四棱锥 1111 PA BC D的高为点P到平面 1111 ABC D的距离 当点 P 与点 A 重合时，四棱锥 1111 PA BC D的高取得最大值，这时四棱锥 1111 PABC D体积 最大 在 11 RtAAD中 11 60AD A 11sin60 2 3AAAD 111cos60 2A DAD 1 11111 11 max1 18 ()3 33 PA BC DAB C D VSAA （2）不论点P在 1 AD上的任何位置，都有平面 11 BPA垂直于平面 11 AAD. 证明如

38、下：由题意知， 1111 B AAD， 111 B AA A又 1111 AAA DA 11 B A平面 11 AAD 又 11 A B平面 11 B PA平面 11 B PA平面 11 AAD 7. 如 图 （ 1） ，ABC是 等 腰 直 角 三 角 形 ， 4ACBC，E、F分别为AC、AB的中 点，将AEF沿EF折起， 使A在平面BCEF 上的射影O恰为EC的中点，得到图（2） （）求证：EFA C； （）求三棱锥BCAF的体积 【解】 （）证法一：在ABC中，EF是等腰 直角ABC的中位线， EFAC在 四 棱 锥BCEFA中 ， EAEF，ECEF，EF平面A EC， 又CA平面A

39、 EC, EFA C 证法二：同证法一EFECA OEFEF平面A EC，又CA平面A EC, EFA C （）在直角梯形EFBC中，4,2 BCEC, 4 2 1 ECBCS FBC 又A O垂直平分EC，3 22 EOEAOA FBCABCAF VVOAS FBC 3 1 34 3 1 3 34 三棱锥BCAF的体积为 3 34 8. 如图，平行四边形ABCD中，1CD， 60BCD，且CDBD，正方形ADEF和 平面ABCD成直二面角，HG,是BEDF ,的中点 （）求证：CDEBD平面； （）求证：/GH平面CDE； （）求三棱锥CEFD的体积 A B C D E F G H P AB

40、 D O E C （）证明：平面ADEF平面ABCD，交线为AD ADEDABCDED平面BDED 又CDBDCDEBD平面 （）证明：连结EA，则G是AE的中点 EAB中，ABGH /又CDAB/GHCD /GH平面CDE （）解：设BCDRt中BC边上的高为h 依题意：31 2 1 2 2 1 h 2 3 h即：点C到平面DEF的 距离为 2 3 3 3 2 3 22 2 1 3 1 DEFCCEFD VV 9. 如图 ABCD 是正方形， O是正方形的中心，PO底面 ABCD ，E是 PC的 中点 求证：（1） PA/ 平面 BDE ；（2） 平面 PAC平面 BDE 【解】 证： (1

41、) 连接 AC 、OE ， ACBD=O ， 在 PAC中，E 为 PC中点， O为 AC中点 PA / EO ， 又EO 平面 EBD ，PA 平面 EBD ，PA /BDE （2）PO底面 ABCD ，POBD 又 BDAC ，BD平面 PAC 又 BD平面 BDE ，平面PAC平面 BDE 10. 如图，在直角梯形ABCD中，90AD，ABCD，SD 平面ABCD，ABADa，2SDa （）求证 : 平面SAB平 面SAD； （）设SB的中点为M， 当 CD AB 为何值时， 能使DMMC？ 请给出证明 【解】（）证明：90 ,.AABAD又SD平面,ABCDAB平面ABCD， SDAB

42、 AB平面SAD. 又AB平面SAB，平面SAB平面SAD （）当2 CD AB 时，能使DMMC连结,90 ,BDAABADa 2,45BDaSDBDBDA 又M为SB中点 ,DMSB 设CD的中点为P，连结BP，则/,DP AB且DPAB A B C D E F G H P AB D O E C A B CD M S P AB CD M S /,BP ADBPCDBDBC又9045BDCBDA 90CBDBCBD即又BCSDBC平面SBDDMBC 由知DM平面SBCDMMC即当 2 CD AB 时，能使DMMC. 11. 如图是一个几何体的三视图，请认真读图。 （ 1）有人说该几何体的侧棱

43、PA垂直于底面ABCD ，有人说四边形ABCD为矩形，也有人说 PA不垂直于底面，请根据你的判断画出几何体的直观图； （ 2）设 AB的中点为M ，PC中点为 N，求证： MN/平面 PAD ； （ 3）当 AB=BC时，求证：平面PAC 平面 BND 。 12. 如图，已知三棱锥ABPC中， AP PC ， AC BC ， M为 AB中点， D为 PB中点，且 PMB 为正三角形。 （ 1）求证： DM 平面 APC ； （ 2）求证：平面ABC 平面 APC ； （ 3）若 BC=4 ，AB=20 ，求三棱锥DBCM 的体积 。 【解】（1） M为 AB中点， D为 PB中点， MD/AP

44、，又 MD 平面 ABC DM/平面 APC 。 （2） PMB 为正三角形，且D为 PB中点。 MD PB 。 又由（ 1）知 MD/AP，AP PB 。又已知AP PC AP 平面 PBC ， AP BC，又 AC BC 。 BC 平面 APC ， 平面 ABC 平面 PAC ， （3） AB=20 MB=10 PB=10 又 BC=4 ，.2128416100PC .2122124 4 1 4 1 2 1 BCPCSS PBCBDC 又 MD.351020 2 1 2 1 22 AP VD-BCM=VM-BCD=71035212 3 1 3 1 DMS BDC 13. 如图，已知AB 平

45、面 ACD ，DE/AB， ACD是正三角形，AD=DE=2AB ，且 F 是 CD的中点。 （ I ）求证： AF/ 平面 BCE ； （ II ）求证：平面BCE 平面 CDE ； 【解】（I）解：取CE中点 P，连结 FP 、BP ， F为 CD的中点， 俯视图 侧视图正视图 1 2 1 1 2 1 E D C B A P FP/DE，且 FP=. 2 1 DE又 AB/DE，且 AB=. 2 1 DE AB/FP ，且 AB=FP ， ABPF为平行四边形，AF/BP。 又 AF平面 BCE ，BP平面 BCE ， AF/ 平面 BCE 。 （ II ） ACD为正三角形，AF CD 。 AB 平面 ACD ，DE/AB， DE 平面 ACD ，又 AF平面 ACD ， DE AF。又 AF CD ，CD DE=D ， AF平面 CDE 。 又 BP/AF ， BP 平面 CDE 。又 BP平面 BC