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1、2014 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案 说明： 第一试， 选择题和填空题只设7 分和 0 分两档； 第二试各题， 请按照本评分标准 规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，在评卷时请参照本评分标准划分 的档次，给予相应的分数. 第一试 一、选择题： （本题满分42 分，每小题7 分） 1已知,x y为整数，且满足 2244 1111211 ()()() 3xyxyxy ，则xy的可能的值 有（C ） A. 1 个B. 2 个C. 3个D. 4 个 2 已 知 非 负 实 数, ,x y z满 足1xyz， 则22txyyzzx的 最 大 值 为 （ A ） A 4 7 B 5
2、 9 C 9 16 D 12 25 3在ABC中，ABAC，D为BC的中点，BEAC于E，交AD于P，已知 3BP，1PE，则AE （ B ） A 6 2 B2C3D6 46 张不同的卡片上分别写有数字2，2，4， 4，6，6，从中取出3 张，则这 3 张卡片 上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是 （ B ） A 1 2 B 2 5 C 2 3 D 3 4 5设 t表示不超过实数t的最大整数，令 ttt. 已知实数 x满足 3 3 1 18x x ， 则 1 x x （ D ） A 1 2 B3 5 C 1 (35) 2 D1 6在 ABC中，90C ， 60A ， 1AC ，D在BC上
3、，E在AB上，使 得A DE为等腰直角三角形, 90ADE ,则BE的长为 （ A ） A42 3B23C 1 ( 31) 2 D31 二、填空题： （本题满分28 分，每小题7 分） 1 已 知 实 数, ,a b c满 足1abc， 111 1 abcbcacab ， 则 abc_0_ 2使得不等式 98 1715 n nk 对唯一的整数 k成立的最大正整数n为 144 3已知P为等腰ABC内一点，ABBC，108BPC，D为AC的中点，BD 与PC交于点E，如果点P为ABE的内心，则PAC48 4 已知正整数, ,a b c满足 :1abc，111abc， 2 bac， 则b36 第二试
4、（A） 一、 （本题满分20 分） 设实数,a b满足 22 (1)(2 )40abb ba，(1)8a bb， 求 22 11 ab 的值 解由已知条件可得 222 ()40a bab，()8abab. 设abx，aby， 则有 22 40xy，8xy， 5 分 联立解得(,x y或 ( ,)(6,2)x y. 10 分 若( , )(2,6)x y，即2ab，6ab，则,a b是一元二次方程 2 260tt的两 根，但这个方程的判别式 2 ( 2)24200，没有实数 根；15 分 若( , )(6,2)x y， 即6ab，2ab， 则,a b是一元二次方程 2 620tt的两根， 这个方
5、程的判别式 2 ( 6)8280，它有实数根. 所以 2222 2222222 11()2622 8 2 ababab aba ba b . 20 分 二 （本题满分25 分） 如图，在平行四边形ABCD中，E为对角线BD上一点，且满 足ECDACB, AC的 延 长 线 与 ABD的 外 接 圆 交 于 点F. 证 明 ： DFEAFB 证 明由ABCD是 平 行 四 边 形 及 已 知 条 件 知 E C DA C BD A. 5 分 又 A、 B、 F、 D 四点共圆， 所以BDCABDAFD， 所以ECD DAF，15 分 所以 EDCDAB DFAFAF . 20 分 又EDFBDF
6、BAF，所以EDFBAF，故 DFEAFB. 25 分 三 （本题满分25 分） 设n是整数，如果存在整数, ,x y z满足 333 3nxyzxyz， 则称n具有性质P. 在 1， 5，2013，2014 这四个数中，哪些数具有性质P，哪些数不具有 性质P？并说明理由. 解取1x，0yz，可得 333 11003 1 00，所以 1 具有性质P. 取2xy，1z， 可 得 333 5221322 1， 所 以5具 有 性 质 P.5 分 为了一般地判断哪些数具有性质P，记 333 ( , , )3f x y zxyzxyz，则 33 ( , , )()3()3f x y zxyzxy xy
7、xyz 3 ()3() ()3()xyzxy z xyzxy xyz 3 ()3()()xyzxyz xyyzzx 222 1 ()() 2 xyzxyzxyyzzx 2221 ()()()() 2 xyzxyyzzx. 即( , , )f x y z 2221 ()()()() 2 xyzxyyzzx 10 分 不妨设xyz， 如果1,0,1xyyzxz，即1,xzyz，则有( , , )31f x y zz； 如果0,1,1xyyzxz，即1xyz，则有( , , )32f x y zz； F C A B D E 如果1,1,2xyyzxz，即2,1xzyz，则有( , , )9(1)f
8、x y zz； 由此可知，形如31k或32k或9k（k为整数）的数都具有性质P. 因此，1， 5 和 2014 都具有性质P. 20 分 若2013具有性质P，则存在整数, ,x y z使得 3 2013()3()()xyzxyzxyyzzx.注意到3| 2013，从而可得 3 3| ()xyz，故3| ()xyz，于是有 3 9| ()3()()xyzxyz xyyzzx，即 9 | 2013，但 201392236，矛盾，所以2013 不具有性质P. 25 分 第二试（B） 一 （本题满分20 分） 同（ A）卷第一题 . 二 （本题满分25 分） 如图，已知O为ABC的外心，ABAC，D
9、为OBC的 外接圆上一点，过点A作直线OD的垂线，垂足为H. 若7BD，3DC，求AH. 解延长BD交O于点N，延长OD交O于点 E，由题意得 NDEODBOCBOBCCDE， 所 以 DE为BDC的平分 线. 5 分 又点D在O的半径OE上，点C、N在O上， 所以点C、N关于直线OE对称， DND. 10 分 延 长AH交 O于 点M， 因 为O为 圆 心 ， A MO D， 所 以 点A、M关 于 直 线OD对 称 ， A HM H. 因此MNACAB. 15 分 又FNMFAB，FBAFMN，所以ABFNMF，所以MFBF， FNAF.20 分 因此，AMAFFMFNBFBNBDDNBD
10、DC7310，即 210AH，所以5AH.25 分 三 （本题满分25 分） 设n是整数，如果存在整数, ,x y z满足 333 3nxyzxyz，则称n具有性质P. F M H E N A O BC D （1）试判断1，2， 3 是否具有性质P； （2）在 1，2，3， 2013，2014 这 2014 个连续整数中，不具有性质P的数有多少 个？ 解取1x，0yz，可得 333 11003 1 00，所以 1 具有性质P； 取1xy，0z， 可 得 333 21103 1 10， 所 以2具 有 性 质 P；5 分 若 3 具有性质P， 则存在整数,x y z使得 3 3()3()()xy
11、zxyz xyyzzx， 从而可得 3 3|()xyz，故3|(xyz，于是有 3 9|()3()()xyzxyzxyyzzx，即9 | 3，这是不可能的，所以3 不具有性质 P. 10 分 （2）记 333 ( , , )3f x y zxyzxyz，则 33 ( , , )()3()3f x y zxyzxy xyxyz 3 ()3() ()3()xyzxy z xyzxy xyz 3 ()3()()xyzxyz xyyzzx 2221 ()() 2 xyzxyzxyyzzx 2221 ()()()() 2 xyzxyyzzx. 即( , , )f x y z 222 1 ()()()()
12、 2 xyzxyyzzx 15 分 不妨设xyz， 如果1,0,1xyyzxz，即1,xzyz，则有( , , )31f x y zz； 如果0,1,1xyyzxz，即1xyz，则有( , , )32f x y zz； 如果1,1,2xyyzxz，即2,1xzyz，则有( , , )9(1)f x y zz； 由此可知，形如31k或32k或9k（k为整数）的数都具有性质P. 20 分 又若 3 3|( , , )()3()()f x y zxyzxyz xyyzzx，则 3 3| ()xyz，从而 3| ()xyz，进而可知 3 9|( , , )()3()()f x y zxyzxyz xyyzzx. 综合可知：当且仅当93nk或96nk（k为整数）时，整数n不具有性质P. 又 2014 92237，所以，在1，2，3， 2013，2014 这 2014 个连续整数中，不 具有性质P的数共有2242448 个. 25 分