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1、第 1 页（共 28 页） 2016 年山东省威海市中考数学试卷 一、选择题：本大题共12 小题，每小题3 分，共 36 分 1 的相反数是（） A3 B 3 CD 2函数 y=的自变量x 的取值范围是（） Ax 2 Bx 2 且 x 0 Cx 0 Dx 0 且 x 2 3如图， AB CD，DA AC，垂足为A，若 ADC=35 ，则 1 的度数为（） A65 B55 C45 D35 4下列运算正确的是（ ） Ax 3+x2=x5 Ba3?a 4=a12 C （ x 3）2 x5=1 D （ xy）3?（ xy）2=xy 5已知 x1 ，x 2是关于 x 的方程 x 2+ax2b=0 的两实
2、数根，且 x1+x2= 2，x1?x2=1，则 ba 的值是（） ABC4 D 1 6一个几何体由几个大小相同的小正方体搭成，其左视图和俯视图如图所示，则搭成这个 几何体的小正方体的个数是（） A3 B4 C5 D6 7若 x 2 3y5=0，则 6y 2x26 的值为（ ） A4 B 4 C16 D 16 8实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，则|a|b|可化简为（） 第 2 页（共 28 页） Aab Bb a Ca+b D ab 9 某电脑公司销售部为了定制下个月的销售计划，对 20 位销售员本月的销售量进行了统计， 绘制成如图所示的统计图，则这20 位销售人员本月销售量的平均数、中位
3、数、众数分别是 （） A19，20，14 B19，20，20 C 18.4，20，20 D18.4，25，20 10如图，在 ABC 中， B= C=36 ，AB 的垂直平分线交BC 于点 D，交 AB 于点 H， AC 的垂直平分线交BC 于点 E， 交 AC 于点 G，连接 AD，AE，则下列结论错误的是（） A =BAD ，AE 将 BAC 三等分 CABE ACD DSADH=SCEG 11 已知二次函数y= （xa） 2b 的图象如图所示， 则反比例函数 y=与一次函数y=ax+b 的图象可能是（） ABCD 12如图，在矩形ABCD 中， AB=4，BC=6 ，点 E 为 BC 的
4、中点，将 ABE 沿 AE 折叠， 使点 B 落在矩形内点F 处，连接CF，则 CF 的长为（） 第 3 页（共 28 页） A B C D 二、填空题：本大题共6 小题，每小题3 分，共 18 分 13蜜蜂建造的蜂巢既坚固又省料，其厚度约为0.000073 米，将 0.000073 用科学记数法表 示为 14化简：= 15分解因式： （2a+b） 2（ a+2b）2= 16如图，正方形ABCD 内接于 O，其边长为 4，则 O 的内接正三角形EFG 的边长 为 17如图，直线y=x+1 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点B， BOC 与 B O C 是以点 A 为 位似中心的位似图形，且
5、相似比为1： 3，则点 B 的对应点 B 的坐标为 18如图，点A1的坐标为（ 1，0） ，A2在 y 轴的正半轴上，且 A1A2O=30 ，过点 A2作 A2A3 A 1A2，垂足为 A2，交 x 轴于点 A3；过点 A3作 A3A4 A 2A3，垂足为 A 3，交 y 轴于 点 A4；过点 A4作 A4A5A3A4，垂足为A4，交 x 轴于点 A5；过点 A5作 A5A6A4A5，垂 足为 A5，交 y 轴于点 A6； 按此规律进行下去，则点A2016的纵坐标为 第 4 页（共 28 页） 三、解答题：本大题共7 小题，共66 分 19解不等式组，并把解集表示在数轴上 20某校进行期末体育
6、达标测试，甲、乙两班的学生数相同，甲班有48 人达标，乙班有45 人达标，甲班的达标率比乙班高6%，求乙班的达标率 21一个盒子里有标号分别为1，2，3，4，5，6 的六个小球，这些小球除标号数字外都相 同 （1）从盒中随机摸出一个小球，求摸到标号数字为奇数的小球的概率； （2）甲、乙两人用着六个小球玩摸球游戏，规则是：甲从盒中随机摸出一个小球，记下标 号数字后放回盒里，充分摇匀后，乙再从盒中随机摸出一个小球，并记下标号数字若两次 摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数，则判甲赢； 若两次摸到小球的标号数字为一奇一 偶，则判乙赢请用列表法或画树状图的方法说明这个游戏对甲、乙两人是否公平 22 如
7、图，在BCE 中， 点 A 时边 BE 上一点，以 AB 为直径的 O 与 CE 相切于点 D， AD OC， 点 F 为 OC 与 O 的交点，连接AF （1）求证： CB是O的切线； （2）若 ECB=60 ，AB=6 ，求图中阴影部分的面积 第 5 页（共 28 页） 23如图，反比例函数y=的图象与一次函数 y=kx+b 的图象交于A，B 两点，点 A 的坐标 为（ 2，6） ，点 B 的坐标为（ n， 1） （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）点 E 为 y 轴上一个动点，若SAEB=5，求点 E 的坐标 24如图，在 ABC 和BCD 中， BAC= BCD=90 ，AB
8、=AC ，CB=CD 延长 CA 至点 E，使 AE=AC ；延长 CB 至点 F，使 BF=BC 连接 AD ，AF，DF，EF延长 DB 交 EF 于 点 N （1）求证： AD=AF ； （2）求证： BD=EF ； （3）试判断四边形ABNE 的形状，并说明理由 25如图，抛物线y=ax2+bx+c 的图象经过点A（ 2，0） ，点 B（4，0） ，点 D（ 2，4） ，与 y轴交于点C，作直线BC，连接AC，CD （1）求抛物线的函数表达式； （2）E 是抛物线上的点，求满足ECD= ACO 的点 E 的坐标； （3）点 M 在 y 轴上且位于点C 上方，点N 在直线 BC 上，点
9、P为第一象限内抛物线上一 点，若以点C，M，N，P 为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长 第 6 页（共 28 页） 第 7 页（共 28 页） 2016 年山东省威海市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共12 小题，每小题3 分，共 36 分 1的相反数是（） A3 B 3 CD 【考点】 相反数 【分析】 一个数的相反数就是在这个数前面添上“ ” 号 【解答】 解：的相反数是， 故选 C 2函数y= 的自变量 x的取值范围是（ ） Ax 2 Bx 2且x0 Cx0 Dx0且x 2 【考点】 函数自变量的取值范围 【分析】 根据被开方数大于等于0，分母不等于0 列式计算即可得
10、解 【解答】 解：由题意得，x+2 0 且 x 0， 解得 x 2 且 x 0， 故选： B 3如图， AB CD，DA AC，垂足为A，若 ADC=35 ，则 1 的度数为（） A65 B55 C45 D35 【考点】 平行线的性质 【分析】 利用已知条件易求ACD 的度数，再根据两线平行同位角相等即可求出1 的度 数 第 8 页（共 28 页） 【解答】 解： DA AC ，垂足为A， CAD=90 ， ADC=35 ， ACD=55 ， AB CD， 1=ACD=55 ， 故选 B 4下列运算正确的是（） Ax 3+x2=x5 Ba 3?a4=a12 C （ x3） 2 x5=1 D （
11、 xy）3?（ xy）2=xy 【考点】 整式的混合运算；负整数指数幂 【分析】 A、原式不能合并，即可作出判断； B、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可作出判断； C、原式利用幂的乘方及单项式除以单项式法则计算得到结果，即可作出判断； D、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可作出判断 【解答】 解： A、原式不能合并，错误； B、原式 =a7，错误； C、原式 =x 6 x5=x，错误； D、原式 =xy，正确 故选 D 5已知 x1 ，x 2是关于 x 的方程 x 2+ax2b=0 的两实数根，且 x1+x2= 2，x1 ?x 2=1，则 b a 的值是（） A B C4
12、 D 1 【考点】 根与系数的关系 【分析】 根据根与系数的关系和已知x1+x2 和 x 1 ?x 2的值，可求 a、b 的值，再代入求值即可 【解答】 解： x1， x2是关于 x 的方程 x2+ax2b=0 的两实数根， 第 9 页（共 28 页） x1+x2=a=2，x1?x2=2b=1， 解得 a=2，b=， ba=（ ） 2= 故选： A 6一个几何体由几个大小相同的小正方体搭成，其左视图和俯视图如图所示，则搭成这个 几何体的小正方体的个数是（） A3 B4 C5 D6 【考点】 由三视图判断几何体 【分析】 易得这个几何体共有2 层，由俯视图可得第一层立方体的个数，由左视图可得第二
13、 层立方体的个数，相加即可 【解答】 解：由题中所给出的俯视图知，底层有3 个小正方体； 由左视图可知，第2 层有 1 个小正方体 故则搭成这个几何体的小正方体的个数是3+1=4 个 故选： B 7若 x 2 3y5=0，则 6y 2x26 的值为（ ） A4 B 4 C16 D 16 【考点】 代数式求值 【分析】 把（ x 23y）看作一个整体并求出其值，然后代入代数式进行计算即可得解 【解答】 解： x 2 3y5=0， x 2 3y=5， 则 6y2x26=2（x23y） 6 =2 56 =16， 故选： D 第 10 页（共 28 页） 8实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，则|a
14、|b|可化简为（） Aab Bb a Ca+b D ab 【考点】 实数与数轴 【分析】 根据数轴可以判断a、b 的正负，从而可以化简|a|b|，本题得以解决 【解答】 解：由数轴可得：a0，b0， 则|a| |b|=a（ b）=a+b 故选 C 9 某电脑公司销售部为了定制下个月的销售计划，对 20 位销售员本月的销售量进行了统计， 绘制成如图所示的统计图，则这20 位销售人员本月销售量的平均数、中位数、众数分别是 （） A19，20，14 B19，20，20 C 18.4，20，20 D18.4，25，20 【考点】 众数；扇形统计图；加权平均数；中位数 【分析】 根据扇形统计图给出的数据
15、，先求出销售各台的人数，再根据平均数、中位数和众 数的定义分别进行求解即可 【解答】 解：根据题意得： 销售 20 台的人数是： 20 40%=8（人）， 销售 30 台的人数是： 20 15%=3（人）， 销售 12 台的人数是： 20 20%=4（人）， 销售 14 台的人数是： 20 25%=5（人）， 则这 20 位销售人员本月销售量的平均数是=18.4（台） ； 把这些数从小到大排列，最中间的数是第10、 11 个数的平均数， 则中位数是=20（台）； 第 11 页（共 28 页） 销售 20 台的人数最多， 这组数据的众数是20 故选 C 10如图，在 ABC 中， B= C=36
16、 ，AB 的垂直平分线交BC 于点 D，交 AB 于点 H， AC 的垂直平分线交BC 于点 E， 交 AC 于点 G，连接 AD，AE，则下列结论错误的是 （） A=BAD ，AE 将 BAC 三等分 CABE ACD DSADH=SCEG 【考点】 黄金分割；全等三角形的判定；线段垂直平分线的性质 【分析】由题意知AB=AC 、 BAC=108 ， 根据中垂线性质得B= DAB= C=CAE=36 ， 从而知 BDA BAC ，得=，由 ADC= DAC=72 得 CD=CA=BA ，进而根据黄金 分割定义知=，可判断A；根据 DAB= CAE=36 知 DAE=36 可判断 B； 根据
17、BAD+ DAE= CAE+ DAE=72 可得 BAE= CAD ，可证 BAE CAD ，即可 判断 C；由BAE CAD 知 SBAD=SCAE，根据 DH 垂直平分 AB ，EG 垂直平分AC 可 得 SADH=SCEG，可判断D 【解答】 解： B=C=36 ， AB=AC ， BAC=108 ， DH 垂直平分AB ，EG 垂直平分 AC， DB=DA ， EA=EC ， B=DAB= C=CAE=36 ， BDABAC， =， 又 ADC= B+ BAD=72 ， DAC= BAC BAD=72 ， ADC= DAC ， CD=CA=BA ， BD=BC CD=BC AB ， 第
18、 12 页（共 28 页） 则=，即=，故 A 错误； BAC=108 ， B= DAB= C=CAE=36 ， DAE= BAC DAB CAE=36 ， 即 DAB= DAE= CAE=36 ， AD ，AE 将 BAC 三等分，故B 正确； BAE= BAD+ DAE=72 ， CAD= CAE+ DAE=72 ， BAE= CAD ， 在 BAE 和CAD 中， ， BAE CAD ，故 C 正确； 由 BAE CAD 可得 SBAE=SCAD，即 SBAD+SADE=SCAE+SADE， SBAD=SCAE， 又 DH 垂直平分 AB ，EG 垂直平分AC， SADH= SABD，S
19、CEG=SCAE， SADH=SCEG，故 D 正确 故选： A 11 已知二次函数y= （xa） 2b 的图象如图所示， 则反比例函数 y=与一次函数y=ax+b 的图象可能是（） 第 13 页（共 28 页） A B C D 【考点】 反比例函数的图象；一次函数的图象；二次函数的图象 【分析】 观察二次函数图象，找出a0，b0，再结合反比例（一次）函数图象与系数的 关系，即可得出结论 【解答】 解：观察二次函数图象，发现： 图象与 y 轴交于负半轴，b0， b0； 抛物线的对称轴a0 反比例函数y=中 ab0， 反比例函数图象在第一、三象限； 一次函数y=ax+b ，a 0，b0， 一次函
20、数y=ax+b 的图象过第一、二、三象限 故选 B 12如图，在矩形ABCD 中， AB=4，BC=6 ，点 E 为 BC 的中点，将 ABE 沿 AE 折叠， 使点 B 落在矩形内点F 处，连接CF，则 CF 的长为（） ABCD 【考点】 矩形的性质；翻折变换（折叠问题） 【分析】 连接 BF，根据三角形的面积公式求出BH ，得到 BF，根据直角三角形的判定得到 BFC=90 ，根据勾股定理求出答案 【解答】 解：连接 BF， BC=6 ，点 E 为 BC 的中点， BE=3， 又 AB=4 ， 第 14 页（共 28 页） AE=5， BH=， 则 BF=， FE=BE=EC ， BFC
21、=90 ， CF= 故选： D 二、填空题：本大题共6 小题，每小题3 分，共 18 分 13蜜蜂建造的蜂巢既坚固又省料，其厚度约为0.000073 米，将 0.000073 用科学记数法表 示为 7.3105 【考点】 科学记数法 表示较小的数 【分析】 绝对值小于1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a 10 n，与较大数 的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面 的 0 的个数所决定 【解答】 解：将 0.000073 用科学记数法表示为7.3 10 5 故答案为： 7.3 105 14化简： = 【考点】 二次根式的加减法 【分析】 先将
22、二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可 【解答】 解：原式 =3 2= 故答案为： 15分解因式： （2a+b） 2（ a+2b）2= 3（a+b） （a b） 第 15 页（共 28 页） 【考点】 因式分解 -运用公式法 【分析】 原式利用平方差公式分解即可 【解答】 解：原式 =（2a+b+a+2b） （2a+ba2b） =3（ a+b） （ab） 故答案为： 3（a+b） （ab） 16如图，正方形ABCD 内接于 O，其边长为 4，则 O 的内接正三角形EFG 的边长为 2 【考点】 正多边形和圆 【分析】 连接 AC 、OE、OF，作 OMEF 于 M，先求出圆的半径，在RTO
23、EM 中利用 30 度角的性质即可解决问题 【解答】 解；连接 AC、OE、OF，作 OM EF 于 M， 四边形 ABCD 是正方形， AB=BC=4 ， ABC=90 ， AC 是直径， AC=4， OE=OF=2， OM EF， EM=MF ， EFG 是等边三角形， GEF=60 ， 在 RTOME 中， OE=2， OEM=CEF=30 ， OM=，EM=OM=， EF=2 故答案为2 第 16 页（共 28 页） 17如图，直线y=x+1 与 x 轴交于点A，与 y 轴交于点B， BOC 与 B O C 是以点 A 为 位似中心的位似图形，且相似比为1：3，则点 B 的对应点B的坐
24、标为（ 8，3）或（ 4， 3） 【考点】 位似变换；一次函数图象上点的坐标特征 【分析】 首先解得点A 和点 B 的坐标，再利用位似变换可得结果 【解答】 解：直线y=x+1 与 x 轴交于点A，与 y 轴交于点B， 令 x=0 可得 y=1； 令 y=0 可得 x=2， 点 A 和点 B 的坐标分别为（2， 0） ； （0，1） ， BOC 与 B O C 是以点 A 为位似中心的位似图形，且相似比为1：3， =， O B =3，AO =6， B的坐标为（8， 3）或（ 4，3） 故答案为：（ 8， 3）或（ 4，3） 18如图，点A1的坐标为（ 1，0） ，A2在 y 轴的正半轴上，且
25、A1A2O=30 ，过点 A2作 A2A3A1A2，垂足为 A2，交 x 轴于点 A3；过点 A3作 A3A4A2A3，垂足为 A3，交 y 轴于 点 A4；过点 A4作 A4A5A3A4，垂足为A4，交 x 轴于点 A5；过点 A5作 A5A6A4A5，垂 足为 A5，交 y 轴于点 A6； 按此规律进行下去，则点A2016的纵坐标为（） 2015 第 17 页（共 28 页） 【考点】 坐标与图形性质 【分析】 先求出 A1、A2、A3、A 4 、A 5坐标，探究规律，利用规律解决问题 【解答】 解：A1（1，0） ，A 20， （） 1，A 3（） 2，0A 40，（） 3，A 5 （
26、） 4，0 ， 序号除以4 整除的话在y 轴的负半轴上， 余数是 1在 x 轴的正半轴上， 余数是 2 在 y 轴的 正半轴上，余数是3 在 x 轴的负半轴上， 2016 4=504， A2016在 y 轴的负半轴上，纵坐标为（）2015 故答案为（）2015 三、解答题：本大题共7 小题，共66 分 19解不等式组，并把解集表示在数轴上 【考点】 解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集 【分析】 分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可 【解答】 解：由 得：x 1， 由 得：x， 不等式组的解集为1 x， 表示在数轴上，如图所示： 第 18 页（共 28 页） 20某
27、校进行期末体育达标测试，甲、乙两班的学生数相同，甲班有48 人达标，乙班有45 人达标，甲班的达标率比乙班高6%，求乙班的达标率 【考点】 分式方程的应用 【分析】 设乙班的达标率是x，则甲班的达标率为（x+6% ） ，根据 “ 甲、乙两班的学生数相 同” 列出方程并解答 【解答】 解：设乙班的达标率是x，则甲班的达标率为（x+6%） ， 依题意得：=， 解这个方程，得x=0.9， 经检验， x=0.9 是所列方程的根，并符合题意 答：乙班的达标率为90% 21一个盒子里有标号分别为1，2，3，4，5，6 的六个小球，这些小球除标号数字外都相 同 （1）从盒中随机摸出一个小球，求摸到标号数字为
28、奇数的小球的概率； （2）甲、乙两人用着六个小球玩摸球游戏，规则是：甲从盒中随机摸出一个小球，记下标 号数字后放回盒里，充分摇匀后，乙再从盒中随机摸出一个小球，并记下标号数字若两次 摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数，则判甲赢； 若两次摸到小球的标号数字为一奇一 偶，则判乙赢请用列表法或画树状图的方法说明这个游戏对甲、乙两人是否公平 【考点】 游戏公平性；列表法与树状图法 【分析】（1）直接利用概率公式进而得出答案； （2）画出树状图，得出所有等可能的情况数，找出两次摸到小球的标号数字同为奇数或同 为偶数的情况数，即可求出所求的概率 【解答】 解： （1） 1，2，3，4， 5，6 六个小球
29、， 摸到标号数字为奇数的小球的概率为：=； （2）画树状图： 第 19 页（共 28 页） 如图所示，共有36 种等可能的情况，两次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数的有18 种， 摸到小球的标号数字为一奇一偶的结果有18 种， P（甲）= =，P（乙）=， 这个游戏对甲、乙两人是公平的 22 如图，在BCE 中， 点 A 时边 BE 上一点，以 AB 为直径的 O 与 CE 相切于点 D， AD OC， 点 F 为 OC 与 O 的交点，连接AF （1）求证： CB 是 O 的切线； （2）若 ECB=60 ，AB=6 ，求图中阴影部分的面积 【考点】 切线的判定与性质；扇形面积的计算 【
30、分析】（1）欲证明 CB是O的切线，只要证明BCOB，可以证明 CDOCBO解 决问题 （2）首先证明S阴=S扇形ODF，然后利用扇形面积公式计算即可 【解答】（1）证明：连接OD，与 AF 相交于点G， CE 与 O 相切于点 D， ODCE， CDO=90 ， AD OC， 第 20 页（共 28 页） ADO= 1， DAO= 2， OA=OD ， ADO= DAO ， 1=2， 在 CDO 和 CBO 中， ， CDO CBO， CBO=CDO=90 ， CB 是 O 的切线 （2）由（ 1）可知 3=BCO， 1=2， ECB=60 ， 3=ECB=30 ， 1=2=60 ， 4=6
31、0 ， OA=OD ， OAD 是等边三角形， AD=OD=OF ， 1=ADO ， 在 ADG 和 FOG 中， ， ADGFOG， SADG=SFOG， AB=6 ， O 的半径 r=3， S 阴=S扇形ODF= 23如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=kx+b 的图象交于A，B 两点，点 A 的坐标 为（ 2，6） ，点 B 的坐标为（ n， 1） 第 21 页（共 28 页） （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）点 E 为 y 轴上一个动点，若SAEB=5，求点 E 的坐标 【考点】 反比例函数与一次函数的交点问题 【分析】 （1） 把点 A 的坐标代入y=，求出反比例函
32、数的解析式，把点 B 的坐标代入y=， 得出 n 的值，得出点B 的坐标，再把A、B 的坐标代入直线y=kx+b ，求出 k、b 的值，从而 得出一次函数的解析式； （2）设点 E 的坐标为（ 0，m） ，连接 AE，BE，先求出点P 的坐标（ 0， 7） ，得出 PE=|m 7|，根据 SAEB=SBEP S AEP=5，求出 m 的值，从而得出点 E 的坐标 【解答】 解： （1）把点 A（2，6）代入 y=，得 m=12， 则 y= 把点 B（n， 1）代入 y=，得 n=12， 则点 B 的坐标为（ 12，1） 由直线 y=kx+b 过点 A（2，6） ，点 B（12，1）得， 解得，
33、 则所求一次函数的表达式为y=x+7 （2）如图，直线AB 与 y 轴的交点为P，设点 E 的坐标为（ 0，m） ，连接 AE，BE， 则点 P 的坐标为（ 0，7） PE=|m7| SAEB=SBEP S AEP=5， |m7| （ 122）=5 第 22 页（共 28 页） |m7|=1 m1=6，m2=8 点 E 的坐标为（ 0，6）或（ 0，8） 24如图，在 ABC 和BCD 中， BAC= BCD=90 ，AB=AC ，CB=CD 延长 CA 至点 E，使 AE=AC ；延长 CB 至点 F，使 BF=BC 连接 AD ，AF，DF，EF延长 DB 交 EF 于 点 N （1）求证
34、： AD=AF ； （2）求证： BD=EF ； （3）试判断四边形ABNE 的形状，并说明理由 【考点】 全等三角形的判定与性质；正方形的判定 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出ABC= ACB=45 ，求出 ABF=135 ， ABF= ACD ，证出 BF=CD ，由 SAS 证明 ABF ACD ，即可得出AD=AF ； （2）由（ 1）知 AF=AD ， ABF ACD ，得出 FAB= DAC ，证出 EAF= BAD ，由 SAS 证明 AEF ABD ，得出对应边相等即可； （3）由全等三角形的性质得出得出AEF= ABD=90 ，证出四边形ABNE 是矩形，由 AE=A
35、B ，即可得出四边形ABNE 是正方形 【解答】（1）证明： AB=AC ， BAC=90 ， ABC= ACB=45 ， ABF=135 ， 第 23 页（共 28 页） BCD=90 ， ABF= ACD ， CB=CD ，CB=BF ， BF=CD ， 在 ABF 和ACD 中， ， ABF ACD （SAS） ， AD=AF ； （2）证明：由（1）知， AF=AD ，ABF ACD ， FAB= DAC ， BAC=90 ， EAB= BAC=90 ， EAF= BAD ， 在 AEF 和ABD 中， ， AEF ABD （SAS） ， BD=EF ； （3）解：四边形ABNE 是正
36、方形；理由如下： CD=CB ， BCD=90 ， CBD=45 ， 由（ 2）知， EAB=90 ， AEF ABD ， AEF= ABD=90 ， 四边形 ABNE 是矩形， 又 AE=AB ， 四边形 ABNE 是正方形 25如图，抛物线y=ax2+bx+c 的图象经过点A（ 2，0） ，点 B（4，0） ，点 D（ 2，4） ，与 y 轴交于点C，作直线BC，连接 AC ，CD （1）求抛物线的函数表达式； 第 24 页（共 28 页） （2）E 是抛物线上的点，求满足ECD= ACO 的点 E 的坐标； （3）点 M 在 y 轴上且位于点C 上方，点N 在直线 BC 上，点 P为第一
37、象限内抛物线上一 点，若以点C，M，N，P 为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长 【考点】 二次函数综合题 【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式即可 （2）分 点 E 在直线 CD 上方的抛物线上和 点 E 在直线 CD 下方的抛物线上两种情况， 用三角函数求解即可； （3）分 CM 为菱形的边和 CM 为菱形的对角线，用菱形的性质进行计算； 【解答】 解： （ 1）抛物线y=ax2+bx+c 的图象经过点A（ 2，0） ，点 B（4，0） ，点 D（ 2， 4） ， 设抛物线解析式为y=a（x+2） （x4） ， 8a=4， a=， 抛物线解析式为y=（x+2） （ x4）=x2+x+4
38、； （2）如图 1， 第 25 页（共 28 页） 点 E 在直线 CD 上方的抛物线上，记E ， 连接 CE ，过 E作 E F CD，垂足为F ， 由（ 1）知， OC=4， ACO= ECF ， tanACO=tan E CF， =， 设线段 EF =h，则 CF =2h， 点 E（2h，h+4） 点 E在抛物线上， （ 2h） 2+2h+4=h+4 ， h=0（舍） h= E （1，） ， 点 E 在直线 CD 下方的抛物线上，记E， 同 的方法得， E（3，） ， 点 E 的坐标为（ 1，） ， （3，） （3） CM 为菱形的边，如图 2， 在第一象限内取点P ，过点 P作 P N
39、 y 轴，交 BC 于 N ，过点 P作 P M BC， 交 y 轴于 M ， 四边形 CM P N 是平行四边形， 四边形 CM P N 是菱形， 第 26 页（共 28 页） P M =PN， 过点 P作 PQy 轴，垂足为Q， OC=OB ， BOC=90 ， OCB=45 ， PM C=45 ， 设点 P（m，m2+m+4） ， 在 RtPM Q 中， PQ=m，PM =m， B（4，0） ，C（0，4） ， 直线 BC 的解析式为y=x+4， P N y 轴， N （m， m+4） ， P N = m2+m+4（ m+4）= m2+2m， m=m2+2m， m=0（舍）或 m=42，
40、 菱形 CM PN的边长为 （42）=4 4 CM 为菱形的对角线，如图 3， 在第一象限内抛物线上取点 P，过点P作PMBC， 交 y 轴于点 M，连接 CP，过点 M 作 MN CP，交 BC 于 N， 四边形 CPMN 是平行四边形，连接PN 交 CM 于点 Q， 四边形 CPMN 是菱形， PQCM ， PCQ=NCQ ， OCB=45 ， 第 27 页（共 28 页） NCQ=45 ， PCQ=45 ， CPQ=PCQ=45 ， PQ=CQ， 设点 P（n，n2+n+4） ， CQ=n，OQ=n+2 ， n+4=n2+n+4， n=0（舍） ， 此种情况不存在 菱形的边长为44 第 28 页（共 28 页） 2016 年 6 月 23 日