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1、专题二压轴填空题 第五关以立体几何为背景的新颖问题为背景的填空题 【名师综述】 以立体几何为背景的新颖问题常见的有折叠问题，与函数图象相结合问题、最值问题，探 索性问题等 . 对探索、开放、存在型问题的考查，探索性试题使问题具有不确定性、探究性和 开放性，对学生的 能力要求较高， 有利于考查学生的探究能力以及思维的创造性，是新课程下 高考命题改革的重要方向之一；开放性问题，一般将平面几何问题类比推广到立体几何的中， 不过并非所有平面几何中的性质都可以类比推广到立体几何中，这需要具有较好的基础知识和 敏锐的洞察力 ; 对折叠、展开问题的考查，图形的折叠与展开问题（三视图问题可看作是特殊 的图形变
2、换）蕴涵了“二维三维二维” 的维数升降变化，求解时须对变化前后的图 形作“同中求异、异中求同”的思辩，考查空间想象能力和分析辨别能力，是立几解答题的重 要题型 . 类型一几何体在变化过程中体积的最值问题 典例1 如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于,A B的点，垂直于圆所在的平面，且 1则三棱锥PABC体积的最大值为 【名师指点】在运动变化过程中，当变量达到某一个特殊位置时，要所求的变量的最值达到. 这就要求看准 变化中的临界点，从而确定最值. 欲使三棱锥PABC体积的最大，只需底面积最大，故当点C 为垂直于 直径 AB的半径端点时，体积最大，进而利用体积公式求即可 【举一反三】表面积为6
3、0的球面上有四点CBAS、且ABC是等边三角形，球心 O 到平面 ABC的 距离为3，若ABCSAB面, 则棱锥ABCS体积的最大值为 类型二几何体的外接球或者内切球问题 典例 2 在四面体ABCD中，已知ABCBDBCBDACAB面，43则四面体ABCD的外 接球的半径为_ 【名师指点】求几何体外接球半径，首先可以确定外接球球心，通过定性到定量的过程求半径；或者可以 利用补体的方法，将所求几何体的半径问题转化求规则、易求的几何体外接球半径问题处理 【举一反三】在三棱锥PABC中，PA平面ABC， 0 2,2,1,60PAABACBAC，则该三棱 锥的外接球的表面积为 类型三如图所示， 正方体
4、ABCDA B C D的棱长 为 1，,E F分别是棱 AA，CC 的中点，过直线 EF 的平面分别与棱 BB 、 DD 分别交于,MN两点，设BMx，0,1x，给出以下四个结论： F E A B AB C D C D M N 平面 MENF 平面BDD B； 直线 AC平面MENF始终成立； 四边形 MENF 周长 ( )Lf x ， 0,1x 是单调函数； 四棱锥 CMENF 的体积 ( )Vh x 为常数；以上结论正确的是_ 【名师指点】函数作为工具，在立体最值问题应用也比较多. 先设一个几何变量，将要研究的几何量表示为 该变量的函数，根据函数式的特征，确定求解方法. 如“配方法”“求导
5、法”等进行求解. 【举一反三】已知正方体 1111 DCBAABCD的体对角线为3，点P在题对角线 1 AC上运动（动点P不与 体对角线 1 AC的端点重合）现以点A为球心，AP为半径作一个球，设xAP，记该球面与正方体表面 积的交线长度和为)(xf，则函数)(xf的图象最有可能是_. 【精选名校模拟】 1 已知正三角形C的三个顶点都在半径为2的球面上，球心到平面C的距离为1， 点是线段 的中点，过点作球的截面，则截面面积的最小值是_ 2.在三棱锥ABCP中，PCPBPA,两两垂直，且1,2, 3PCPBPA，设M是底面ABC内一点， 定义),()(pnmMf，其中pnm,分别是三棱锥PABM
6、，三棱锥PBCM，三棱锥PCAM的体 积，若), 2 1 ()(yxMf，且8 1 y a x ，则正实数a的最小值为 _. 3、已知在直角梯形ABCD 中，2CD2AD2ABADCDADAB，将直角梯形ABCD沿 AC折 叠成三棱锥D-ABC ，当三棱锥D-ABC的体积 取最大值时，其外接球的体积为 4、如图3，在棱长为2的正方体 1111 ABCDAB C D内（含正方体表面）任取一点M，则 1 1AA AM的 概率p. 5 如图 5， 已知点P是正方体 1111 ABCDA B C D 的棱 11A D 上的一个动点， 设异面直线AB与CP所成的角为， 则 cos的最小值是 A B C
7、D 1 A 1 B 1 C 1 D M 图 3 图 1 E 6正方体 1111 CDC D的棱长为1，底面CD的对角线D在平面内，则正方体在平面内的 射影构成的图形面积的取值范围是 7 已知ABC的三边长分别为5AB，4BC，3AC，M是AB边上的点，P是平面ABC外一点给 出下列四个命题： 若 PM 平面 ABC，且M 是AB边中点，则有 PCPBPA ； 若5PC，PC平面ABC，则PCM面积的最小值为 2 15 ； 若5PB，PB平面ABC，则三棱锥ABCP的外接球体积为 6 2125 ； 若5PC，P在平面ABC上的射影是ABC内切圆的圆心，则三棱锥ABCP的体积为232； 其中正确命
8、题的序号是（把你认为正确命题的序号都填上） 8长和宽分别相等的两个矩形如图8 所示给定下列四个命题： 存在 三棱柱，其正视图、侧视图如图； 存在四棱柱，其俯视图与其中一个视图完全一样； 存在圆柱，其正视图、侧视图如图； 若矩形的长与宽分别是2 和 1，则该几何体的最大体积为4. 其中真命题的序号是_( 写出所有真命题的序号) 9如图，矩形ABCD中， 2ABAD，E为边AB的中点，将ADE沿直线DE翻折成 1 A DE，若M 图 8 图 5 为线段 1 AC的中点，则在ADE翻折过程中，下面四个选项中正确的是 (填写所有的正确选项) （1）|BM是定值 （2）点M在某个球面上运动 （3）存在某
9、个位置，使 1 DEAC （4）存在某个位置，使/ /MB平面 1 ADE 10已知正方体 1111 ABCDA B C D的棱长为1，点是线段 1 B C的中点，则三棱锥 1 ADED外接球体积为 11如图10，在透明塑料制成的长方体 1111 DCBAABCD容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法： 水的部分始终呈棱柱状；水面四边形EFGH的面积不改变； 棱 11D A始终与水面EFGH平行；当 1 AAE时，BFAE是定值 其中正确说法是 12如图11 所示，在正方体 1111 ABCDA B C D中，点E是棱 1 CC上的一
10、个动点，平面 1 BED交棱 1 AA于 点F给出下列四个结论： 存在点E，使得 11C A/ 平面FBED1 ； 存在点E，使得DB1平面FBED1； 对于任意的点E，平面DCA 11 平面FBED1； 对于任意的点E，四棱锥FBEDB 11 的体积均不变. 其中，所有正确结论的序号是_ 13设动点 P在棱长为1 的正方体ABCD A1B1C1D1的对角线BD1上，记 1 1 D P D B . 当 APC为 钝角时， 的取 值范围是 _ 14如图 13 是从上下底面处在水平状态下的棱长为a的正方体 1111 ABCDABC D中分离出来的 . 有如下结论： 11 DC D在图中的度数和它表示的角的真实度数都是45； 1111111 AC DAC DDC D； 11 AC与 1 BC所成的角是30； 若BCm，则用图示中这样一个装置盛水，最多能盛 31 6 m的水 . 其中正确的结论是（请填上你所有认为正确结论的序号）. 15.正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为1，此时四面体ABCD外接 球表面积为 _ _ . 图 11 图 13