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1、全程考点训练 12二次函数 一、选择题 1若二次函数 yax 2 的图象经过点 P(2，4)，则该图象必经过点 (A) A(2，4)B(2，4) C(4，2)D(4，2) 【解析】二次函数 yax 2 的对称轴为 y 轴，若图象经过点P(2，4)， 则该图象必经过点 (2，4)故选 A. 2对于二次函数 y(x1) 22，下列说法正确的是 (C) A图象的开口向上 B图象的顶点坐标是 (1，2) C当 x1 时，y 随 x 的增大而减小 D图象与 y 轴的交点坐标为 (0，2) 【解析】a10，开口向下，故 A 错；顶点坐标为 (1，2)，故 B 错； 当 x1 时，y 随 x 的增大而减小，
2、 故 C 正确；与 y 轴的交点为 (0，1)，故 D 错故 选 C. 3抛物线 y3x 2x4 与坐标轴的交点个数是 (A) A3 B2 C1 D0 【解析】y3x2x4，令 x0，解得 y4，抛物线与 y 轴的交点为 (0，4)；令 y0，得到 3x 2x40，解得 x 1 4 3，x21，抛物线与 x 轴 的交点分别为4 3，0 ，(1，0)综上所述，抛物线与坐标轴的交点个数为 3. 4设 A(2，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)是抛物线 y(x1) 2a 上的三点，则 y1，y2，y3的大小关系为 (C) Ay1y2y3By1y3y2 Cy3y2y1Dy3y1y2 【解析】易得
3、y(x1) 2a 的对称轴为直线 x1，x2 与 x0 时 y 值相等 易得在对称轴右侧， y 随 x 的增大而增大， y3y2y1. 5 抛物线 yx 2bxc的图象先向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位， 所得图象的函数表达式为y(x1)24，则 b，c 的值为 (B) Ab2，c6Bb2，c0 Cb6，c8Db6，c2 【解析】函数 y(x1)24 的顶点坐标为 (1，4) 该函数图象是原函数图象向右平移2个单位， 再向下平移 3个单位得到的， 平移前的抛物线的顶点坐标为(1，1)， 平移前的抛物线为y(x1)21， 即 yx22x，b2，c0.故选 B. 6二次函数 yax 2
4、xa21 的图象可能是 (B) 【解析】二次函数 yax2xa21 图象的对称轴是直线x 1 2a.当 a0 时，开口向上， 1 2a0，抛物线的对称轴在 y 轴右侧，故 D 错误故选 B. (第 7 题) 7已知二次函数yax 2 bxc(a0)的图象如图所示，有下列结论： abc0；b0；2cm(amb)(m1)其中 正确的结论有 (B) A2 个B3 个C4 个D5 个 【解析】由图象知 a0， b 2a1，c0， b2a0，abc0， 错； 当 x1 时，yabc0，acb，错； 当 x2 时，y4a2bc0，对； b 2a1，a b 2. 又abc0 时，x 的取值范 围是3x1 【
5、解析】由对称性知，抛物线过 (3，0)和(1，0)， 当 y0 时， 33）， 若使 yk 成立的 x 值恰好有 3 个，则 k的值为 _3_ 【解析】函数 y （x1） 21（x3）， （x5） 21（x3） 的图象如解图故k3. (第 11 题解) (第 12 题) 12已知二次函数y(x2a) 2(a1)(a 为常数 )，当 a 取不同的值时，其 图象构成一个“抛物线系”如图分别是当a1，a0，a1，a2 时二次 函数的图象，它们的顶点在一条直线上，这条直线对应的函数表达式是y1 2x 1. 【解析】顶点为(2a，a1)， x2a， ya1， y1 2x1. (第 13 题) 13如图，
6、已知函数y 3 x与 yax 2bx(a0，b0)的图象交于点 P，点 P 的纵坐标为 1，则关于 x 的方程 ax 2bx3 x0 的解为 x3 【解析】先把 y1 代入 y 3 x，求出点 P 的横坐标为 3，而关于 x 的 方程 ax 2bx3 x0 的解就是函数 y 3 x与 yax 2bx(a0，b0)的图象交点 的横坐标 3. 14已知二次函数 yax 2bx1，一次函数 yk(x1)k 2 4 ，若它们的图象 对于任意的非零实数k 都只有一个公共点，则a_1_，b_2_. 【解析】根据题意，得 yax 2bx1， yk（x1） k 2 4 ， 消去 y，整理，得 ax2(bk)x
7、1k k 2 4 0. 它们的图象对于任意的实数k 都只有一个公共点，则方程组只有一组解， x 有两个相等的值， (bk) 24a 1kk 2 4 0， (1a)k22(2ab)kb24a0. 对于任意的非零实数k 都成立， 1a0，2ab0，b 24a0， a1，b2. 三、解答题 (第 15 题) 15如图，抛物线 y x 22xc 与 x 轴交于 A，B 两点，它的对称轴与 x 轴交于点 N，过顶点 M 作 MEy 轴于点 E，连结 BE 交 MN 于点 F，已知点 A 的坐标为 (1，0)求： (1)该抛物线的表达式及顶点M 的坐标 (2)EMF 与BNF 的面积之比 【解析】(1)由
8、题意，得 (1) 22(1)c0，解得 c3， yx22x3. yx 22x3(x1)24，顶点 M 的坐标为 (1，4) (2)点 A(1，0)，抛物线的对称轴为直线x1. 点 B(3，0)，EM1，BN2. EMBN， EMFBNF， S EMF SBNF EM BN 2 1 2 2 1 4. (第 16 题) 16如图，已知抛物线 y1 2x 2bx 与直线 y2x 交于点 O(0，0)，A(a，12)， B 是抛物线上 O，A 之间的一个动点，过点B 分别作 x 轴，y 轴的平行线，与直 线 OA 交于点 C，E. (1)求抛物线的函数表达式 (2)若 C 为 OA 的中点，求 BC
9、的长 (3)以 BC，BE 为边构造矩形 BCDE，设点 D 的坐标为 (m，n)，求出 m，n 之 间的关系式 【解析】(1)点 A(a，12)在直线 y2x 上， 122a，即 a6. 21世纪教育网世纪教育网 点 A 的坐标为 (6，12) 又A 是抛物线 y 1 2x 2bx 上一点， 把 A(6，12)代入 y 1 2x 2bx，得 b1， 抛物线的函数表达式为y 1 2x 2x. (2)C 为 OA 的中点，点 C 的坐标为 (3，6) 把 y6 代入 y1 2x 2x， 解得 x 1113， x2113(舍去)， B(113， 6) BC1133132. (3)点 D 的坐标为
10、(m，n)， 点 E 的坐标为 1 2n，n ，点 C 的坐标为 (m，2m) 点 B 的坐标为 1 2n，2m . 把点 B 的坐标代入 y 1 2x 2x， 可得 m 1 16n 21 4n. m，n 之间的关系式是m 1 16n 21 4n. (第 17 题) 17如图，已知抛物线yax 2bxc 经过 A(1，0)，B(3，0)，C(0，3)三 点，直线 l 是抛物线的对称轴 (1)求抛物线的函数表达式 (2)设 P 是直线 l 上的一个动点，当 PAC 的周长最小时，求点P 的坐标 (3)在直线 l 上是否存在点 M，使 MAC 为等腰三角形？若存在，直接写出 所有符合条件的点M 的
11、坐标；若不存在，请说明理由 【解析】(1)由抛物线 yax 2bxc 经过 A(1，0)，B(3，0)两点，可设 ya(x1)(x3) 又过点 C(0，3)，可得 a1， y(x1)(x3)，即 yx 22x3. 21世纪教育网 (第 17 题解) (2)如解图，连结BC，则直线 BC 与直线 l 的交点即为使 PAC 的周长最小 的点 P.设直线 BC 的表达式为 ykxb，将点 B(3，0)，C(0，3)的坐标代入，得 3kb0， b3， 解得 k1， b3. 直线 BC 的函数表达式 yx3. 对称轴为直线 x1， 当 x1 时，y2，即点 P 的坐标为 (1，2) (3)由于 MAC
12、的腰和底没有明确， 因此要分三种情况来讨论： MAMC； MAAC；MCAC. 抛物线的对称轴为直线x1， 设 M(1，m) 世纪教育网 点 A(1，0)，C(0，3)， MA2m24，MC2(m3)21m26m10，AC2123210. 若 MAMC，则 MA 2MC2，得 m24m26m10，解得 m1； 若 MAAC，则 MA 2AC2，得 m2410，解得 m 6； 若 MCAC，则 MC 2AC2，得 m26m1010，解得 m0 或 m6， 当 m6 时，M，A，C 三点共线，不能构成三角形，不合题意，舍去 综上可知，存在符合条件的点M，且坐标为 (1，1)或(1，6)或(1，6)或 (1，0)