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1、二次函数与实际问题 1如图，抛物线y=x 2+2x+m+1交 x 轴于点 A（a，0）和 B（b，0），交 y 轴于点 C，抛物线的顶点 为 D ，下列四个命题： 当 x 0 时， y0； 若 a=1，则 b=4； 抛物线上有两点P（x1，y1）和 Q （ x2， y2），若 x11x2，且 x1+x22，则 y1y2； 点 C关于抛物线对称轴的对称点为E，点 G，F 分别在 x 轴和 y 轴上，当m=2时，四边形EDFG周 长的最小值为6 其中真命题的序号是（） ABCD 2已知在平面直角坐标系xOy 中， O为坐标原点，线段AB的两个端点A（0，2）， B（1，0）分别 在 y 轴和 x
2、轴的正半轴上，点C为线段 AB的中点，现将线段BA绕点 B按顺时针方向旋转90得到 线段 BD ，抛物线y=ax 2+bx+c（a0）经过点 D （1）如图 1，若该抛物线经过原点O，且 a= 求点 D的坐标及该抛物线的解析式； 连结 CD ，问：在抛物线上是否存在点P，使得 POB与 BCD互余？若存在，请求出所有满足条件 的点 P的坐标，若不存在，请说明理由； （2）如图2，若该抛物线y=ax 2+bx+c（a0）经过点 E（1，1），点Q 在抛物线上，且满足QOB 与 BCD互余若符合条件的Q点的个数是4 个，请直接写出a 的取值范围 3某果园有100 棵橘子树，平均每一棵树结600 个
3、橘子根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵 树就会少结5 个橘子设果园增种x 棵橘子树，果园橘子总个数为y 个，则果园里增种棵橘子 树，橘子总个数最多 4如图是我省某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A、B 两点，拱桥最 高点 C到 AB的距离为9m ，AB=36m ，D、E为拱桥底部的两点，且DE AB ，点 E到直线 AB的距离为 7m ，则 DE的长为m 5如图，在矩形OABC 中， OA=5 ， AB=4 ，点 D为边 AB上一点，将BCD沿直线 CD折叠，使点B 恰 好落在边OA上的点 E处，分别以OC ，OA所在的直线为x 轴， y 轴建立平面直角坐标系 （1）求
4、 OE的长及经过O，D，C三点抛物线的解析式； （2）一动点 P从点 C出发，沿 CB以每秒 2 个单位长度的速度向点B运动，同时动点Q从 E点出发， 沿 EC以每秒 1 个单位长度的速度向点C运动，当点P到达点 B时，两点同时停止运动，设运动时间 为 t 秒，当 t 为何值时， DP=DQ ； （3）若点 N在（ 1）中抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点 N，使 M ，N， C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由 6如图， E 的圆心 E（3， 0），半径为5， E与 y 轴相交于A、B两点（点A在点 B的上方）， 与 x 轴的正
5、半轴交于点C，直线 l 的解析式为y=x+4，与 x 轴相交于点D，以点 C为顶点的抛物线 过点 B （1）求抛物线的解析式； （2）判断直线l 与 E的位置关系，并说明理由； （3）动点 P在抛物线上，当点P到直线 l 的距离最小时求出点P的坐标及最小距离 7如图，已知二次函数L1：y=ax 22ax+a+3（a0）和二次函数 L2：y=a（ x+1） 2+1（a0）图象 的顶点分别为M ，N，与 y 轴分别交于点E，F （1）函数 y=ax 22ax+a+3（a0）的最小值为 ，当二次函数L1，L2的 y 值同时随着x 的增大而 减小时， x 的取值范围是 （2）当 EF=MN 时，求 a
6、 的值，并判断四边形ENFM 的形状（直接写出，不必证明） （3）若二次函数L2的图象与x 轴的右交点为A （m ，0），当 AMN 为等腰三角形时， 求方程 a （x+1） 2+1=0的解 8如图，关于x 的二次函数y=x 2+bx+c 的图象与 x 轴交于点A （1，0）和点 B，与 y 轴交于点C （ 0， 3），抛物线的对称轴与x 轴交于点D （1）求二次函数的表达式； （2）在 y 轴上是否存在一点P，使 PBC为等腰三角形？若存在请求出点P的坐标； （3）有一个点M从点 A出发，以每秒1 个单位的速度在AB上向点 B运动，另一个点N从 点 D与点 M同时出发，以每秒2 个单位的速度
7、在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点 B时，点 M 、N同时停 止运动，问点M 、N运动到何处时，MNB 面积最大，试求出最大面积 9如图，已知二次函数y=x 2+（1m ）xm （其中 0m 1）的图象与 x 轴交于 A、B两点（点A在 点 B的左侧），与y 轴交于点 C，对称轴为直线l 设 P为对称轴l 上的点，连接PA 、 PC ，PA=PC （1） ABC的度数为； （2）求 P点坐标（用含m的代数式表示）； （3）在坐标轴上是否存在着点Q（与原点 O不重合），使得以Q 、 B、C 为顶点的三角形与PAC相 似，且线段 PQ的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点Q的坐标； 如果不存
8、在， 请说明理由 10如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线y=x 2+ x+3交 x 轴于 A，B 两点（点A 在点 B 的左侧），交y 轴于点 W ，顶点为 C，抛物线的对称轴与x 轴的交点为D （1）求直线BC的解析式； （2）点 E （m ，0）， F（m+2 ，0）为 x 轴上两点，其中2m 4，EE ，FF分别垂直于x 轴，交抛 物线于点E，F，交 BC于点 M ，N，当 ME +NF 的值最大时， 在 y 轴上找一点R，使| RF RE | 的值最大，请求出R点的坐标及 | RF RE | 的最大值； （3）如图 2，已知 x 轴上一点P （，0），现以 P为顶点， 2为边长在x
9、轴上方作等边三角形QPG ， 使 GP x 轴，现将 QPG沿 PA方向以每秒1 个单位长度的速度平移，当点P到达点 A时停止，记平 移后的 QPG 为Q PG 设 Q PG 与ADC的重叠部分面积为s当 Q 到 x 轴的距离与 点 Q 到直线 AW的距离相等时，求s 的值 11 已 知 直 线y=kx+b （ k 0 ） 过 点F（ 0 ， 1 ） ， 与 抛 物 线y=x 2 相 交 于B、 C 两 点 （1）如图 1，当点 C的横坐标为1 时，求直线BC的解析式； （2）在（ 1）的条件下，点M是直线 BC上一动点，过点M作 y 轴的平行线，与抛物线交于点D，是 否存在这样的点M ，使得
10、以M 、D 、O、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标； 若不存在，请说明理由； （3）如图 2，设 B（ m n）（ m 0），过点E（0 1）的直线l x 轴， BR l 于 R， CS l 于 S， 连接 FR、FS试判断 RFS的形状，并说明理由 12如图所示，某学校拟建一个含内接矩形的菱形花坛（花坛为轴对称图形）矩形的四个顶点分 别在菱形四条边上，菱形ABCD的边长 AB=4米， ABC=60 设AE=x米（ 0x4），矩形 EFGH的 面积为 S米 2 （1）求 S与 x 的函数关系式； （2）学校准备在矩形内种植红色花草，四个三角形内种植黄色花草已知红色花草的价
11、格为20 元/ 米 2，黄色花草的价格为 40 元/ 米 2当 x 为何值时，购买花草所需的总费用最低，并求出最低总费 用（结果保留根号）？ 13“绿色出行， 低碳健身”已成为广大市民的共识某旅游景点新增了一个公共自行车停车场，6： 00 至 18：00 市民可在此借用自行车，也可将在各停车场借用的自行车还于此地林华同学统计了 周六该停车场各时段的借、还自行车数，以及停车场整点时刻的自行车总数（称为存量）情况，表 格中 x=1 时的 y 值表示 7：00 时的存量， x=2 时的 y 值表示 8：00 时的存量依此类推他发现存 量 y（辆）与x（x 为整数）满足如图所示的一个二次函数关系 时段
12、x 还车数 （辆） 借车数 （辆） 存量 y （辆） 6：007：00 1 45 5 100 7：008：00 2 43 11 n 根据所给图表信息，解决下列问题： （1）m= ，解释 m的实际意义：； （2）求整点时刻的自行车存量y 与 x 之间满足的二次函数关系式； （3）已知 9：0010：O0这个时段的还车数比借车数的3 倍少 4，求此时段的借车数 14某服装店以每件40 元的价格购进一批衬衫，在试销过程中发现：每月销售量y（件）与销售单 价 x（x 为正整数）（元）之间符合一次函数关系，当销售单价为55 元时，月销售量为140 件；当 销售单价为70 元时，月销售量为80 件 （1）
13、求 y 与 x 的函数关系式； （2）如果每销售一件衬衫需支出各种费用1 元，设服装店每月销售该种衬衫获利为w元，求 w与 x 之间的函数关系式，并求出销售单价定为多少元时，商场获利最大，最大利润是多少元？ 15我市某海域内有一艘轮船发生故障，海事救援船接到求救信号后立即从港口出发沿直线匀速前 往救援，与故障渔船会合后立即将其拖回如图折线段O A B 表示救援船在整个航行过程中离港 口的距离y（海里）随航行时间x（分钟）的变化规律抛物线y=ax 2+k 表示故障渔船在漂移过程中 离港口的距离y（海里） 随漂移时间x （分钟） 的变化规律 已知救援船返程速度是前往速度的根 据图象提供的信息，解答下列问题： （1）救援船行驶了海里与故障船会合； （2）求该救援船的前往速度； （3）若该故障渔船在发出求救信号后40 分钟内得不到营救就会有危险，请问救援船的前往速度每 小时至少是多少海里，才能保证故障渔船的安全