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1、绝密启用前 2017 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷 5 页， 23 小题，满分150 分。考试用时120 分钟。 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。 用 2B 铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题 卡右上角“条形码粘贴处”。 2作答选择题时， 选出每小题答案后，用 2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答 案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能 答在试卷上。 3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目 指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然
2、后再写上新答案； 不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1已知集合|1|31 x Ax xBx，则 A|0ABx xBABR C|1 ABx xDAB 2如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图. 正方形内切 圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称. 在正方 形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A 1 4 B 8 C 1 2 D 4 3设有下面四个命题 1 p：若复数z满足 1 z
3、 R，则zR； 2 p：若复数z满足 2 zR，则zR； 3 p：若复数 12 ,z z满足 12 z zR，则 12 zz； 4 p：若复数zR，则zR. 其中的真命题为 A 13 ,ppB 14 ,ppC 23 ,ppD 24 ,pp 4记 n S为等差数列 n a的前n项和若 45 24aa， 6 48S，则 n a的公差为 A1 B 2 C4 D8 5函数( )f x在(,)单调递减，且为奇函数若(11)f，则满足21()1xf 的x的取值范围是 A 2,2B 1,1C0,4D1,3 6 6 2 1 (1)(1)x x 展开式中 2 x的系数为 A15 B20 C30 D35 7某多面
4、体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰 直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多 面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为 A10 B12 C14 D16 8右面程序框图是为了求出满足321000 nn 的最小偶 数n，那么在和两个空白框中， 可以分别填入 A1000A和1nn B1000A和2nn C1000A和1nn D 1000A 和 2nn 9已知曲线 12 2 :cos ,:sin(2) 3 Cyx Cyx，则下 面结论正确的是 A 把 1 C上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变， 再把得到的曲线向右平移 6 个 单位长度，得到
5、曲线 2 C B把 1 C上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12 个单位长度，得到曲线 2 C C 把 1 C上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变， 再把得到的曲线向右平移 6 个 单位长度，得到曲线 2 C D把 1 C上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12 个单位长度，得到曲线 2 C 10已知F为抛物线 2 :4Cyx的焦点，过F作两条互相垂直的直线 12 ,ll，直线 1 l与C交 于A、B两点，直线 2 l与C交于D、E两点，则 |AB|+|DE| 的最小值为 A16 B14 C12 D10
6、11设xyz为正数，且235 xyz ，则 A235xyzB523zxy C352yzxD325yxz 12几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件。为激发大家学习数学的兴趣， 他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动. 这款软件的激活码为下面数学问题的 答案：已知数列1，1，2，1，2，4， 1，2，4，8，1，2，4， 8，16，其中第一项 是 0 2，接下来的两项是 01 2 ,2，再接下来的三项是 012 2 ,2 ,2，依此类推。求满足如下条 件的最小整数:100N N且该数列的前N项和为 2 的整数幂。那么该款软件的激活码是 A440 B330 C220 D110 二、填
7、空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分。 13已知向量a，b的夹角为60， |a|=2 ，|b|=1 ，则 | a +2 b |= . 14设 , x y满足约束条件 21 21 0 xy xy xy ，则32zxy的最小值为 . 15已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右顶点为A，以A为圆心，b为半径做圆A， 圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点。若60MAN，则C的离心率为 _。 16如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O。D、 E、F为圆O上的点，DBC，ECA，FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角
8、形。 沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起DBC，ECA，FAB，使得D、E、F 重合，得到三棱锥。当ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm 3）的最大值为 _。 三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60 分。 17 （12 分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC的面积为 2 3sin a A （1）求sinsinBC; （2）若6coscos1,3BCa，求ABC的周长 . 18. （12 分） 如图，在四棱锥P-
9、ABCD中，AB/CD，且90BAPCDP. （1）证明：平面PAB平面PAD； （2）若PA=PD=AB=DC，90APD，求二面角A-PB-C的余弦值 . 19（ 12 分） 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16 个 零件，并测量其尺寸（单位：cm）根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生 产的零件的尺寸服从正态分布 2 (,)N （1） 假设生产状态正常， 记X表示一天内抽取的16 个零件中其尺寸在 (3 ,3 ) 之外的零件数，求(1)P X及X的数学期望； （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 (3 ,3 )之外的零件，就认为这 条生
10、产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查 （）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （）下面是检验员在一天内抽取的16 个零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得 16 1 1 9.97 16 i i xx， 1616 2222 11 11 ()(16)0.212 1616 ii ii sxxxx ， 其中 i x为抽取的第i个零件的尺寸，1,2,16i 用样本平均数x作为的估计值 ?，用样本标准差s作为 的估
11、计值?，利用估计值 判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除? ?(3 ,3 )之外的数据， 用剩下的数据 估计和（精确到0.01 ） 附：若随机变量Z服从正态分布 2 (,)N，则 (33 )0.997 4PZ ， 16 0.997 40.959 2，0.0080.09 20. （12 分） 已知椭圆C： 22 22 =1 xy ab （ab0） ，四点P1（1,1 ） ，P2（0,1 ） ，P3（ 1， 3 2 ） ，P4（ 1， 3 2 ）中恰有三点在椭圆C上. （ 1）求C的方程； （ 2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点。若直线P2A与直线P2B的斜率的和为 1，证明：l过
12、定点 . 21. （12 分） 已知函数 2 ( )(2) xx f xaeaex （ 1）讨论( )f x的单调性； （ 2）若( )f x有两个零点，求a的取值范围 . （二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。 22 选修 44：坐标系与参数方程 （10 分） 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 3cos , sin , x y （ 为参数），直线l的参数方 程为 4 , 1, xat t yt （ 为参数）. （1）若a=- 1，求C与l的交点坐标； （2）若C上的点到l的距离的最大值为17 ，求a. 23 选修 45：不
13、等式选讲（ 10 分） 已知函数 2 ( )4,( )|1|1|f xxaxg xxx （1）当1a时，求不等式f（x）g（x）的解集； （2）若不等式f（x）g（x）的解集包含1，1 ，求a的取值范围 . 2017 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学参考答案 一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1. A 2 B 3B 4C 5D 6C 7B 8 D 9D 10A 11D 12 A 二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分。 132 314-5 15 2 3 3 16 3 4 15cm 三、解答题
14、：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60 分。 17 （12 分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC的面积为 2 3sin a A （1）求 sinBsinC; （2）若 6cosBcosC=1，a=3，求ABC的周长 . 解： （1） 由题设得 2 1 sin 23sin a acB A ，即 1 sin 23sin a cB A 由正弦定理得 1sin sinsin 23sin A CB A 故 2 sinsin 3 BC。 （2） 由题设
15、及（ 1）得 1 coscossinsin 2 BCBC，即 1 cos() 2 BC 所以 2 3 BC，故 3 A 由题设得 2 1 sin 23sin a bcA A ，即8bc 由余弦定理得 22 9bcbc，即 2 ()39bcbc，得33bc 故ABC的周长为333 18. （12 分）解： （1）由已知90BAPCDP，得ABAP，CDPD 由于/ /ABCD，故 ABPD， 从而AB 平面PAD 又AB平面PAB，所以平面 PAB 平面PAD （2）在平面PAD内作PFAD，垂足为F 由（ 1）可知， AB 平面PAD，故 ABPF， 可得PF平面ABCD 以F为坐标原点，FA
16、的方向为x轴正方向，|AB为单 位长，建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz 由（ 1）及已知可得 2222 (,0,0),(0,0,),(,1,0),(,1,0) 2222 APBC 所以 2222 (,1,),(2,0,0),(,0,),(0,1,0) 2222 PCCBPAAB 设( , , )nx y z是平面PCB的法向量，则 0, 0 n PC n CB 即 22 0, 22 0 xyz y 可取(0,1,2)n 设( , , )mx y z是平面PAB的法向量，则 0, 0 m PA m AB 即 22 0, 22 0 xz y 可取(1,0,1)m 则 3 cos, |3 n m
17、 n m nm 所以二面角 APBC的余弦值为 3 3 19（ 12 分）解： （1）抽取的一个零件的尺寸在 (3 ,3 )之内的概率为 0.9974 ，从而零件的尺寸在 (3 ,3 ) 之外的概率为0.0026 ，故 (16,0.0026)XB ，因此 16 (1)1(0)10.99740.0408P XP X X的数学期望为16 0.00260.0416EX （2） （i ）如果生产状态正常，一个零件尺寸在(3 ,3 )之外的概率只有0.0026 ， 一天内抽取的16 个零件中， 出现尺寸在 (3 ,3 )之外的零件的概率只有 0.0408 ，发生的概率很小。因此一旦发生这种情况，就有理由
18、认为这条生产线在 这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上 述监控生产过程的方法是合理的。 （ ii ）由 9.97,0.212xs ，得的估计值为 ? 9.97,的估计值为 ?0.212， 由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在? ?(3 ,3 )之外，因此需对当天 的生产过程进行检查。 剔除? ?(3 ,3 )之外的数据9.22 ，剩下数据的平均数为 1 (16 9.979.22)10.02 15 因此的估计值为10.02 16 222 1 160.212169.971591.134 i i x 剔除? ?(3 ,3 )之外的数据 9.22 ，剩下数据的样本方差
19、为 221 (1591.134 9.2215 10.02 )0.008 15 因此的估计值为 0.0080.09 20. （12 分）解： （1）由于 34 ,P P两点关于y轴对称，故由题设知C经过 34 ,P P两点 又由 2222 1113 4abab 知，C不经过点 1 P，所以点 2 P在C上 因此 2 22 1 1, 13 1 4 b ab 解得 2 2 4 1 a b 故C的方程为 2 2 1 4 x y （2）设直线 2 P A与直线 2 P B的斜率分别为 12 ,k k 如果l与x轴垂直，设: lxt，由题设知0t，且| |2t，可得,A B的坐标分别为 22 44 ( ,
20、),( ,) 22 tt tt 则 22 12 4242 1 22 tt kk tt ，得2t，不符合题设 从而可设:(1)lykxm m，将ykxm代入 2 2 1 4 x y得 222 (41)8440kxkmxm 由题设可知 22 16(41)0km 设 1122 (,),(,)A xyB xy，则 2 121222 844 , 4141 kmm xxx x kk 而 12 12 12 11yy kk xx 12 12 11kxmkxm xx 1212 12 2(1)()kx xmxx x x 由题设 12 1kk，故 1212 (21)(1)()0kx xmxx 即 2 22 448
21、(21)(1)0 4141 mkm km kk 解得 1 2 m k 当且仅当1m时，0，于是 1 : 2 m lyxm， 所以l过定点(2, 1) 21. （12 分）解： （1）( )f x的定义域为(,)， 2 ( )2(2)1(1)(21) xxxx fxaeaeaee （ i ）若0a，则( )0fx，所以( )f x在(,)单调递减 （ ii ）若0a，则由( )0fx的lnxa 当(,ln)xa时，( )0fx； 当(ln,)xa时，( )0fx 所以( )f x在(,ln)a单调递减，在(ln,)a单调递增。 （2） （i ）若0a，由（ 1）知，( )f x至多有一个零点 （
22、 ii） 若0a， 由 （ 1 ） 知 ， 当lnxa时 ，( )f x取 得 最 小 值 ， 最 小 值 为 1 ( ln)1lnfaa a 当 1a 时，由于( ln)0fa，故( )f x只有一个零点； 当(1,)a时，由于 1 1ln0a a ，即( ln)0fa，故( )f x没有零 点； 当(0,1)a时， 1 1ln0a a ，即( ln)0fa又 又 422 ( 2)(2)2220faeaee，故( )fx在(,ln)a有一 个零点。 设正整数 0 n满足 0 3 ln(1)n a ， 则 0000 0000 ()(2)20 nnnn f neaeanenn 由于 3 ln(1
23、)ln a a ，因此( )f x在(ln,)a有一个零点 综上，a的取值范围为(0,1) 22解： （1）曲线 C的普通方程为 2 2 1 9 x y， 当1a时，直线l的普通方程为430xy 由 2 2 430, 1 9 xy x y 解得 3, 0 x y 或 21 25 24 25 x y 从而C与l的交点坐标为 21 24 (3,0),(,) 25 25 （2）直线 l的普通方程为440xya ，故C上的点(3cos ,sin)到l的距离为 |3cos4sin4| 17 a d 当4a时，d的最大值为 9 17 a ，由题设得 9 17 17 a ，所以8a； 当4a时，d的最大值为
24、 1 17 a ，由题设得 1 17 17 a ，所以16a 综上， 8a 或 16a 23解： （1）当1a时，不等式( )( )fxg x等价于 2 |1|1|40xxxx 当1x时，式化为 2 340xx，无解； 当11x时，式化为 2 20xx，从而11x； 当 1x 时，式化为 2 40xx，从而 117 1 2 x 所以( )( )f xg x的解集为 117 |1 2 xx （2）当 1,1x时，( )2g x 所以( )( )f xg x的解集包含 1,1，等价于当 1,1x时( )2f x 又( )f x在 1,1的最小值必为( 1)f与(1)f之一，所以( 1)2f且(1)2f，得 11a 所以a的取值范围为 1,1