2017年江苏省苏州市高考数学一模试卷.pdf

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1、2017 年江苏省苏州市高考数学一模试卷 一.填空题：本大題共14 小败，每小題 5 分，共 70分.不需要写出解答过程 1已知集合 U= 1，2，3，4，5，6，7 ，M= x| x26x+50，xZ，则?UM= 2若复数 z 满足 z+i=，其中 i 为虚数单位，则 | z| = 3函数 f（x）=的定义域为 4如图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是 5 某高级中学共有 900 名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取 1 个容量为 45 的样本，其中高一年级抽20 人，高三年级抽 10 人，则该校高二年级学生人数为 6已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是，则该正四棱锥的体积为 7

2、从集合 1， 2，3， 4 中任取两个不同的数， 则这两个数的和为3 的倍数的槪率为 8在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=8x的焦点恰好是双曲线 =l的右焦 点，则双曲线的离心率为 9设等比数列 an 的前 n 项和为 Sn，若 S3，S9，S6成等差数列且 a2+a5=4，则 a8的值 为 10在平面直角坐标系xOy中，过点 M（1，0）的直线 l 与圆 x2+y2=5 交于 A，B两点， 其中 A 点在第一象限，且=2，则直线 l 的方程为 11在ABC中，已知 AB=1 ，AC=2 ，A=60 ，若点 P满足=+，且?=1， 则实数 的值为 12已知 sin =3sin（ +）

3、，则 tan（ + ）= 13若函数 f（x）=，则函数 y=| f（x）| 的零点个数为 14若正数 x，y 满足 15xy=22，则 x 3+y3x2y2 的最小值为 二.解答题：本大题共6 小题，共计 90 分 15在ABC中，a，b，c 分别为角 A，B，C的对边若 acosB=3 ，bcosA=l，且 AB= （1）求边 c 的长； （2）求角 B 的大小 16如图，在斜三梭柱ABCA1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，E 是棱 AB上一点，且 OE 平面 BCC 1B1 （1）求证： E是 AB中点； （2）若 AC1A1B，求证： AC 1BC 17某单

4、位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC （如图） ， 设计要求彩门的面积为S （单位： m2）?高为 h（单位： m） （S，h 为常数） ，彩门的下 底 BC固定在广场地面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为 ，不 锈钢支架的长度和记为l （1）请将 l 表示成关于 的函数 l=f（ ） ； （2）问当 为何值时 l 最小？并求最小值 18 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+ =l （ab0） 的焦距为 2， 离心率为， 椭圆的右顶点为 A （1）求该椭圆的方程： （2）过点 D（，）作直线 PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线 AP，AQ 的 斜

5、率之和为定值 19己知函数 f（x）=（x+l）lnxax+a （a 为正实数，且为常数） （1）若 f（x）在（ 0，+）上单调递增，求a 的取值范围； （2）若不等式（ x1）f（x）0 恒成立，求 a 的取值范围 20 己知 n 为正整数，数列 an满足 an0， 4 （n+1） an2nan+12=0， 设数列 bn 满足 bn= （1）求证：数列 为等比数列； （2）若数列 bn 是等差数列，求实数t 的值： （3）若数列 bn 是等差数列，前n 项和为 Sn，对任意的 nN*，均存在 mN * ，使得 8a12Sna14n2=16bm成立，求满足条件的所有整数a1的值 四.选做题本

6、题包括 A，B，C，D 四个小题，请选做其中两题，若多做，则按作答的前两 题评分 A. 选修 4 一 1：几何证明选讲 21如图，圆 O 的直径 AB=6，C为圆周上一点， BC=3 ，过 C作圆的切线 l，过 A 作 l 的 垂线 AD，AD分别与直线 l、圆交于点 D、E求 DAC的度数与线段 AE的长 选修 4-2：矩阵与变换 22已知二阶矩阵 M 有特征值 =8 及对应的一个特征向量= ，并且矩阵 M 对应 的变换将点（ 1，2）变换成（ 2，4） （1）求矩阵 M； （2）求矩阵 M 的另一个特征值 选修 4-4：坐标系与参数方程 23已知圆 O1和圆 O2的极坐标方程分别为=2 ，

7、 （1）把圆 O1和圆 O2的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程 选修 4-5：不等式选讲 24已知 a，b，c 为正数，且 a+b+c=3，求+的最大值 四.必做题：每小题 0 分，共计 20 分 25 如图，已知正四棱锥 PABCD中， PA=AB=2 ， 点 M， N 分别在 PA ， BD上， 且= （1）求异面直线 MN 与 PC所成角的大小； （2）求二面角 NPC B的余弦值 26设| | ，n 为正整数，数列 an 的通项公式 an=sintann ，其前 n 项和为 Sn （1）求证：当 n 为偶函数时， an=0；当 n 为奇函数时， an

8、=（1）tann ； （2）求证：对任何正整数n，S2n=sin2 ? 1+（1）n +1tan2n 2017 年江苏省苏州市高考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一.填空题：本大題共14 小败，每小題 5 分，共 70分.不需要写出解答过程 1已知集合 U= 1，2，3，4，5，6，7 ，M= x| x26x+50，xZ，则?UM= 6，7 【考点】 补集及其运算 【分析】 解不等式化简集合M，根据补集的定义写出运算结果即可 【解答】 解：集合 U=1，2，3，4，5，6，7， M= x| x26x+50，xZ =x| 1x5，xZ = 1，2，3，4，5， 则?UM=6，7 故答案为： 6

9、，7 2若复数 z 满足 z+i=，其中 i 为虚数单位，则 | z| = 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，再由复数求模公式计算得答案 【解答】 解：由 z+i=， 得=， 则| z| = 故答案为： 3函数 f（x）=的定义域为 x| x且 x1 【考点】 函数的定义域及其求法 【分析】 根据对数函数的性质以及分母不是0，得到关于 x 的不等式组，解出即可 【解答】 解：由题意得：， 解得： x且 x1， 故函数的定义域是 x| x且 x1， 故答案为： x| x且 x1 4如图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是24 【考点】 伪代码

10、【分析】 模拟程序代码的运行过程，可知程序的功能是利用循环结构计算并输出变量t 的值， 由于循环变量的初值为2，终值为 4， 步长为 1，故循环体运行只有3 次，由此得到答案 【解答】 解：当 i=2 时，满足循环条件，执行循环 t=12=2，i=3； 当 i=3 时，满足循环条件，执行循环 t=23=6，i=4； 当 i=4 时，满足循环条件，执行循环 t=64=24，i=5； 当 i=5 时，不满足循环条件，退出循环，输出t=24 故答案为： 24 5 某高级中学共有 900 名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取 1 个容量为 45 的样本，其中高一年级抽 20 人， 高三年级抽 1

11、0 人， 则该校高二年级学生人数为300 【考点】 分层抽样方法 【分析】用分层抽样的方法抽取一个容量为45 的样本，根据高一年级抽20 人，高三年 级抽 10 人，得到高二年级要抽取的人数，根据该高级中学共有900 名学生，算出高二 年级学生人数 【解答】 解：用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45 的样本， 其中高一年级抽 20 人，高三年级抽 10 人， 高二年级要抽取452010=15， 高级中学共有 900 名学生， 每个个体被抽到的概率是= 该校高二年级学生人数为=300， 故答案为： 300 6已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是 ，则该正四棱锥的体积为 【考点】 棱柱、

12、棱锥、棱台的体积 【分析】 正四棱锥 PABCD中，AB=2，PA=，设正四棱锥的高为PO ，连结 AO，求出 PO，由此能求出该正四棱锥的体积 【解答】 解：如图，正四棱锥PABCD中，AB=2，PA=， 设正四棱锥的高为PO，连结 AO， 则 AO= AC= 在直角三角形 POA中，PO=1 所以 VPABCD= ?SABCD?PO=41= 故答案为： 7 从集合 1， 2， 3， 4 中任取两个不同的数， 则这两个数的和为3 的倍数的槪率为 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】 先求出基本事件总数n=6，再利用列举法求出这两个数的和为3 的倍数包 含的基本事件个数，由

13、此能求出这两个数的和为3 的倍数的槪率 【解答】 解：从集合 1，2，3，4 中任取两个不同的数， 基本事件总数 n=6， 这两个数的和为 3 的倍数包含的基本事件有： （1，2） ， （2，4） ，共 2 个， 这两个数的和为3 的倍数的槪率 p= 故答案为： 8在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 y2=8x的焦点恰好是双曲线=l 的右焦 点，则双曲线的离心率为2 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 求得抛物线的焦点坐标，可得c=2，由双曲线的方程可得a=1，由离心率公式 可得所求值 【解答】 解：抛物线 y2=8x 的焦点为（ 2，0） ， 则双曲线=l 的右焦点为（ 2，0） ， 即

14、有 c= =2， 不妨设 a=1， 可得双曲线的离心率为e=2 故答案为： 2 9设等比数列 an 的前 n 项和为 Sn，若 S3，S9 ，S 6成等差数列且 a2 +a 5=4，则 a8的值 为2 【考点】 等比数列的通项公式 【分析】 利用等比数列的前n 项和公式和通项公式列出方程组，求出， 由此能求出 a8的值 【解答】 解：等比数列 an 的前 n 项和为 Sn，若 S3，S9，S6成等差数列且 a2+a5=4， ， 解得， a8=（a1q） （q3）2=8=2 故答案为： 2 10在平面直角坐标系xOy中，过点 M（1，0）的直线 l 与圆 x 2 +y 2=5 交于 A，B两点，

15、 其中 A 点在第一象限，且=2，则直线 l 的方程为xy1=0 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】由题意，设直线 x=my+1 与圆 x2+y2=5联立，利用韦达定理，结合向量知识，即 可得出结论 【解答】 解：由题意，设直线x=my+1 与圆 x2+y2=5联立，可得（ m2+1）y2+2my4=0， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则 y1=2y2，y1+y2=，y1y2= 联立解得 m=1，直线 l 的方程为 xy1=0， 故答案为： xy1=0 11在ABC中，已知 AB=1 ，AC=2 ，A=60 ，若点 P满足=+，且?=1， 则实数 的值为或 1 【考点】 平面

16、向量数量积的运算 【分析】 根据题意，利用平面向量的线性运算，把、用、与 表示出来，再 求?即可 【解答】 解： ABC中，AB=1，AC=2 ，A=60 ，点 P满足=+， = ， = ； 又=（+ ）=+（ 1）， ?= ?+（ 1） = ?+ （ 1） = 21cos60+ （ 1）22=1， 整理得 4 23 1=0， 解得 = 或 =1 ， 实数 的值为或 1 故答案为：或 1 12已知sin =3sin （+） ，则tan（+）= 2 4 【考点】 两角和与差的正切函数；两角和与差的正弦函数 【分析】 利用同角三角的基本关系、两角和差的三角公式求得tan 、tan的值，可得 tan

17、（ +）的值 【 解答 】 解 ： sin =3sin （ +） =3sin cos+3cossin=sin +cos ， tan = 又 tan=tan（）=2， tan （ +） = =24， 故答案为： 24 13若函数 f（x）=，则函数 y=| f（x）| 的零点个数为4 【考点】 根的存在性及根的个数判断 【分析】 利用分段函数，对x1，通过函数的零点与方程根的关系求解零点个数，当x 1时，利用数形结合求解函数的零点个数即可 【解答】 解：当 x1 时，=，即 lnx=， 令 g（x）=lnx，x1 时函数是连续函数， g（1）=0，g（2）=ln2 =ln0， g（4）=ln42

18、0，由函数的零点判定定理可知g（x）=lnx，有 2 个零点 （结合函数 y=与 y=可知函数的图象由2 个交点 ） 当 x1 时，y=，函数的图象与 y=的图象如图，考查两个函数由2 个交点， 综上函数 y=| f（x）| 的零点个数为： 4 个 故答案为： 4 14若正数 x，y 满足 15xy=22，则 x 3+y3x2y2 的最小值为1 【考点】 函数的最值及其几何意义 【分析】 由题意可得 x，y0，又 x3+y3x2y2=（x3x2）+（y3y2） ，求出 y3 y2y，当且仅当 y=时取得等号，设 f（x）=x 3x2，求出导数和单调区间、极值和 最值，即可得到所求最小值 【解答

19、】 解：由正数 x，y 满足 15xy=22，可得 y=15x220，则 x，y0， 又 x3+y3x2y2=（x3x2）+（y3y2） ， 其中 y3y2+ y=y（y2y+）=y（y）20， 即 y3y2 y， 当且仅当 y=时取得等号， 设 f（x）=x 3 x 2，f（x）的导数为 f （x）=3x 22x=x（3x2） ， 当 x=时，f（x）的导数为（2）=， 可得 f（x）在 x=处的切线方程为 y=x 由 x3x2x? （x）2（x+2）0， 当 x=时，取得等号 则 x3+y3x2y2=（x3x2）+（y3y2） x y =1 当且仅当 x=，y=时，取得最小值 1 故答案为

20、： 1 二.解答题：本大题共6 小题，共计 90 分 15在ABC中，a，b，c 分别为角 A，B，C的对边若 acosB=3 ，bcosA=l，且 AB= （1）求边 c 的长； （2）求角 B 的大小 【考点】 余弦定理；正弦定理 【分析】 （1）由 acosB=3 ，bcosA=l，利用余弦定理化为： a2+c 2b2=6c，b2+c2a2=2c相 加即可得出 c （2）由（ 1）可得： a2b2=8由正弦定理可得：=，又 AB=， 可得 A=B+，C=，可得sinC=sin代入可得 16sin2B=，化简即可得出 【解答】 解： （1）acosB=3 ，bcosA=l，a=3，b=1，

21、 化为： a2+c2b2=6c，b2+c2a 2=2c 相加可得： 2c 2=8c，解得 c=4 （2）由（ 1）可得： a2b2=8 由正弦定理可得：=， 又 AB=，A=B+，C= （A+B）=，可得 sinC=sin a=，b= 16sin2B=， 1 （1 cos2B ）=，即cos2B =， 2 ， =0或=1，B 解得： B= 16如图，在斜三梭柱ABC A1B1C1中，侧面 AA1C1C 是菱形， AC1与 A1C 交于点 O，E 是棱 AB上一点，且 OE 平面 BCC 1B1 （1）求证： E是 AB中点； （2）若 AC1A1B，求证： AC 1BC 【考点】 空间中直线与

22、直线之间的位置关系；直线与平面平行的性质 【分析】 （1）利用同一法，首先通过连接对角线得到中点，进一步利用中位线，得到线 线平行，进一步利用线面平行的判定定理，得到结论 （2）利用菱形的对角线互相垂直，进一步利用线面垂直的判定定理，得到线面垂直， 最后转化成线线垂直 【解答】 证明： （1）连结 BC 1，取 AB中点 E ， 侧面 AA1C1C是菱形， AC1与 A1C交于点 O， O为AC1的中点， E 是 AB的中点， OE BC1； OE ?平面 BCC 1B1，BC1? 平面 BCC1B1， OE 平面 BCC1B1， OE 平面 BCC 1B1， E，E 重合， E是 AB中点；

23、 （2）侧面 AA1C1C是菱形， AC 1A1C， AC 1A1B，A1CA1B=A1 ，A 1C? 平面 A1BC ，A1B? 平面 A1BC ， AC1平面 A1 BC ， BC ? 平面 A1 BC ， AC1BC 17某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC （如图） ， 设计要求彩门的面积为S （单位： m2）?高为 h（单位： m） （S，h 为常数） ，彩门的下 底 BC固定在广场地面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为 ，不 锈钢支架的长度和记为l （1）请将 l 表示成关于 的函数 l=f（ ） ； （2）问当 为何值时 l 最小？并

24、求最小值 【考点】 函数模型的选择与应用 【分析】 （1）求出上底，即可将l 表示成关于 的函数 l=f（ ） ； （2）求导数，取得函数的单调性，即可解决当为何值时 l 最小？并求最小值 【解答】 解： （1）设上底长为 a，则 S=， a= ， l= +（0 ） ； （2）l =h， 0 ，l 0， ，l 0， 时，l 取得最小值m 18 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=l （ab0） 的焦距为 2， 离心率为， 椭圆的右顶点为 A （1）求该椭圆的方程： （2）过点 D（，）作直线 PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线 AP，AQ 的 斜率之和为定值 【考点】 直线与椭圆的位置

25、关系 【分析】 （1）由题意可知 2c=2，c=1，离心率 e=，求得 a=2，则 b2=a 2c2=1，即可求 得椭圆的方程： （2）则直线 PQ 的方程： y=k（x），代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜 率公式，分别求得直线AP，AQ的斜率，即可证明直线AP，AQ的率之和为定值 【解答】 解： （1）由题意可知：椭圆+=l （ab0） ，焦点在 x 轴上，2c=1，c=1， 椭圆的离心率 e=，则 a=，b2=a 2c2=1， 则椭圆的标准方程：； （2）证明：设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ，A（，0） ， 由题意 PQ的方程： y=k（x）， 则，整理得：（2k2+1）x2

26、（4k2 +4 k）x+4k2+8k+2=0， 由韦达定理可知： x1 +x 2= ，x 1x2=， 则 y1+y2=k（x1+x 2）2 k2=， 则 kAP+kAQ=+=， 由 y1x2+y2x1= k（x1 ） x 2+k（x2 ） x 1=2kx1x2（ k+ ） （x1+x2） = ， kAP+kAQ=1， 直线 AP，AQ的斜率之和为定值 1 19己知函数 f（x）=（x+l）lnxax+a （a 为正实数，且为常数） （1）若 f（x）在（ 0，+）上单调递增，求a 的取值范围； （2）若不等式（ x1）f（x）0 恒成立，求 a 的取值范围 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最

27、值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （1）求出函数 f（x）的导数，问题转化为alnx+1 在（0，+）恒成立， （a 0） ，令 g（x）=lnx+ +1， （x0） ，根据函数的单调性求出a 的范围即可； （2）问题转化为（ x1） （x+1）lnxa 0 恒成立，通过讨论 x 的范围，结合函数的 单调性求出 a 的范围即可 【解答】 解： （1）f（x）=（x+l）lnxax+a，f （x）=lnx+ +1a， 若 f（x）在（ 0，+）上单调递增， 则 alnx+1 在（0，+）恒成立，（a0） ， 令 g（x）=lnx+1， （x0） ， g（x）=， 令 g （x）0，解得：

28、x1，令 g （x）0，解得： 0x1， 故 g（x）在（ 0，1）递减，在（ 1，+）递增， 故 g（x）min=g（1）=2， 故 0a2； （2）若不等式（ x1）f（x）0 恒成立， 即（x1） （x+1）lnxa 0 恒成立， x1 时，只需 a（x+1）lnx 恒成立， 令 m（x）=（x+1）lnx， （x1） ， 则 m （x）=lnx+ +1， 由（1）得： m （x）2， 故 m（x）在 1，+）递增， m（x）m（1）=0， 故 a0，而 a 为正实数，故 a0 不合题意； 0x1 时，只需 a（x+1）lnx， 令 n（x）=（x+1）lnx， （0x1） ， 则 n

29、（x）=lnx+1，由（ 1）n （x）在（ 0，1）递减， 故 n （x）n（1）=2， 故 n（x）在（ 0，1）递增，故 n（x）n（1）=0， 故 a0，而 a 为正实数，故 a0 20 己知 n 为正整数，数列 an满足 an0， 4 （n+1） an2nan+12=0， 设数列 bn 满足 bn= （1）求证：数列 为等比数列； （2）若数列 bn 是等差数列，求实数t 的值： （3）若数列 bn 是等差数列，前n 项和为 Sn，对任意的 nN*，均存在 mN * ，使得 8a12Sna14n2=16bm成立，求满足条件的所有整数a1的值 【考点】 数列的求和；等比数列的通项公式

30、【分析】 （1）数列an 满足 an0，4（n+1）an2nan+12=0，化为： =2，即可 证明 （2）由（ 1）可得：=，可得=n?4n 1数列 b n满足 bn=，可得 b1，b2，b3，利用数列 bn是等差数列即可得出t （3）根据（ 2）的结果分情况讨论t 的值，化简 8a1 2S na1 4n2=16b m，即可得出 a1 【解答】 （1）证明：数列 an 满足 an0，4（n+1）an2nan+12=0， =an+1，即=2， 数列 是以 a1为首项，以 2 为公比的等比数列 （2）解：由（ 1）可得：=，=n?4n 1 bn=，b1=，b2=，b3=， 数列 bn 是等差数列

31、， 2=+， =+， 化为： 16t=t 2+48，解得 t=12 或 4 （3）解：数列 bn是等差数列，由（ 2）可得：t=12或4 t=12 时，bn=，Sn=， 对任意的 nN*，均存在 mN*，使得 8a12Sna14n2=16bm成立， a14n2=16， = ，n=1时，化为： = 0，无解，舍去 t=4 时，bn=，S n= ， 对任意的 nN*，均存在 mN*，使得 8a12S n a 1 4n2=16b m成立， a14n2=16， n=4m， a1=a1为正整数，=k，kN* 满足条件的所有整数a1的值为 a1| a1=2，nN*，mN*，且=k，kN* 四.选做题本题包

32、括 A，B，C，D 四个小题，请选做其中两题，若多做，则按作答的前两 题评分 A. 选修 4 一 1：几何证明选讲 21如图，圆 O 的直径 AB=6，C为圆周上一点， BC=3 ，过 C作圆的切线 l，过 A 作 l 的 垂线 AD，AD分别与直线 l、圆交于点 D、E求 DAC的度数与线段 AE的长 【考点】 弦切角 【分析】连接 OC ，先证得三角形 OBC是等边三角形，从而得到 DCA=60 ，再在直角三 角形 ACD中得到 DAC的大小；考虑到直角三角形ABE中，利用角的关系即可求得边 AE的长 【解答】 解：如图，连接 OC ，因 BC=OB=OC=3 ， 因此 CBO=60 ，由

33、于 DCA= CBO ， 所以 DCA=60 ，又 ADDC得DAC=30 ； 又因为 ACB=90 ， 得CAB=30 ，那么 EAB=60 ， 从而 ABE=30 ， 于是 选修 4-2：矩阵与变换 22已知二阶矩阵 M 有特征值 =8 及对应的一个特征向量= ，并且矩阵 M 对应 的变换将点（ 1，2）变换成（ 2，4） （1）求矩阵 M； （2）求矩阵 M 的另一个特征值 【考点】 特征值与特征向量的计算；几种特殊的矩阵变换 【分析】 （1）先设矩阵 A=，这里 a，b，c，dR，由二阶矩阵 M 有特征值 =8 及 对应的一个特征向量e1及矩阵 M 对应的变换将点（ 1，2）换成（ 2

34、，4） 得到关于 a，b，c，d 的方程组，即可求得矩阵M； （2）由（1）知，矩阵 M 的特征多项式为 f（ ）=（ 6） （ 4）8= 210 +16，从 而求得另一个特征值为2 【解答】 解： （1）设矩阵 A=，这里 a，b，c，dR ， 则=8=， 故， 由于矩阵 M 对应的变换将点（ 1，2）换成（ 2，4） 则=， 故 联立以上两方程组解得a=6，b=2，c=4，d=4，故 M= （2）由（ 1）知，矩阵 M 的特征多项式为f（ ）=（ 6） （ 4）8= 210 +16， 故矩阵 M 的另一个特征值为2 选修 4-4：坐标系与参数方程 23已知圆 O1和圆 O2的极坐标方程分别

35、为=2 ， （1）把圆 O1和圆 O2的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程 【考点】 简单曲线的极坐标方程；相交弦所在直线的方程 【分析】 （1）先利用三角函数的差角公式展开圆O2的极坐标方程的右式，再利用直角 坐标与极坐标间的关系，即利用cos=x，sin =y， 2=x2+y2，进行代换即得圆 O2的直 角坐标方程及圆 O1直角坐标方程 （2）先在直角坐标系中算出经过两圆交点的直线方程，再利用直角坐标与极坐标间的 关系求出其极坐标方程即可 【解答】 解： （1）=2 ? 2=4，所以 x2+y2=4；因为 ， 所以，所以 x2+y22x2y2=0 （2）将

36、两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x+y=1 化为极坐标方程为cos+sin =1，即 选修 4-5：不等式选讲 24已知 a，b，c 为正数，且 a+b+c=3，求+的最大值 【考点】 二维形式的柯西不等式 【分析】 利用柯西不等式，结合a+b+c=3，即可求得+的最大值 【解答】 解：由柯西不等式可得 （+） 2 12+12+12 （ ） 2+（ ） 2+（ ） 2 =312 + 3 ，当且仅当=时取等号 +的最大值是 6， 故最大值为 6 四.必做题：每小题 0 分，共计 20 分 25 如图，已知正四棱锥 PABCD中， PA=AB=2 ， 点 M， N 分别在 PA

37、， BD上， 且= （1）求异面直线 MN 与 PC所成角的大小； （2）求二面角 NPC B的余弦值 【考点】 二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角 【分析】 （1）设 AC与 BD的交点为 O，AB=PA=2 以点 O 为坐标原点，方 向分别是 x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz利用向量法能求出异 面直线 MN 与 PC所成角 （2）求出平面 PBC的法向量和平面PNC的法向量，利用向量法能求出二面角NPC B 的余弦值 【解答】 解： （1）设 AC与 BD的交点为 O，AB=PA=2 以点 O 为坐标原点， ，方向分别是 x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空

38、间直角坐标系Oxyz 则A（1，1，0） ，B（1，1，0） ，C（1，1，0） ，D（1，1，0） ， 设 P（0，0，p） ，则=（1，1，p） ，又 AP=2， 1+1+p2=4，p= ， = =（ ） ， =（） ， =（1，1，） ，=（0，） ， 设异面直线 MN 与 PC所成角为 ， 则 cos= = =30， 异面直线 MN 与 PC所成角为 30 （2）=（1，1，） ，=（1，1，） ，=（，） ， 设平面 PBC的法向量=（x，y，z） ， 则，取 z=1，得=（0，1） ， 设平面 PNC的法向量=（a，b，c） ， 则，取 c=1，得 =（ ，2 ，1） ， 设二面角

39、 NPC B的平面角为 ， 则 cos= = 二面角 NPC B的余弦值为 26设| | ，n 为正整数，数列 an 的通项公式 an=sintann ，其前 n 项和为 Sn （1）求证：当 n 为偶函数时， an=0；当 n 为奇函数时， an=（1）tann ； （2）求证：对任何正整数n，S2n=sin2 ? 1+（1）n +1tan2n 【考点】 数列的求和 【分析】 （1）利用 sin= ，即可得出 （2）a2k1+a2k=（1）tann 利用等比数列的求和公式即可得出 【解答】 证明： （1）an=sintann ， 当 n=2k（kN*）为偶数时， an=sink ?tan n=0 ； 当 n=2k1 为奇函数时， an=?tann= （1）k 1tann=（1） tann （2）a2k1+a2k=（1）tann 奇数项成等比数列，首项为tan ，公比为 tan2 S 2n= =sin2 ? 1+（1）n +1tan2n