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1、第 1 页 共 14 页 难题突破专题四特殊三角形存在性问题 特殊三角形存在性问题主要是指寻找符合条件的点使之构成等腰三角形、直角三角形 、全等三角形等特殊三角 形解决此类问题的关键在于恰当地分类讨论，避免漏解 类型1等腰三角形存在性问题 1 如图Z41，直线y3x3交x轴于点A，交y轴于点B，过A，B两点的抛物线交x轴于另一点C (3，0) (1) 求点A，B的坐标 (2) 求抛物线对应的函数表达式 图Z41 (3 ) 在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件 的点Q的坐标；若不存在，请说明理由 例题分层分析 (1) 如何求一次函数图象与坐标轴的交点坐标？
2、(2) 如何求抛物线对应的函数表达式？根据题意，设抛物线对应的函数表达式时，应该 用哪种形式？ (3) 根据抛物线对应的函数表达式求出对称轴为直线_，所以可设点Q的坐标 为_； ABQ是等腰三角形可分为 _种情况，分别是 _ ； 根据勾股定理分别列出方程即可求出点Q的坐标 第 2 页 共 14 页 解题方法点析 对于等腰三角形的分类应分三种情况可以设一个未知数，然后用这个未知数分别表 示出三角形的三边，再根据两边相等，得到三个方程，即三种情况特别注意求出的值需 检验能否构成三角形 类型2直角三角形、全等三角形存在性问题 图Z42 2 如图Z42，已知直线ykx6与抛物线yax 2 bxc相交于
3、A，B两点，且点A(1 ，4)为 抛物线的顶点，点B在x轴上 (1) 求抛物线对应的函数表达式 (2) 在(1) 中二次函数的第二象限的图象上是否存在一点P，使POB与POC全等？若存 在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由 (3 ) 若点Q是y轴上一点，且ABQ为直角三角形，求点Q的坐标 例题分层分析 (1) 已知点A的坐标可确定直线AB对应的函数表达式，进一步能求出点B的坐标点A是 抛物线的顶点，那么可以将抛物线对应的函数表达式设为_式，再代入 _的 坐标，依据 _法可解 (2) ABQ为直角三角形，直角顶点没确定，故分别以_为直角顶点，进行分类 讨论，找出相关的相似三角形，依据对应线段
4、成比例进行求解或者利用勾股定理列方程求 解 第 3 页 共 14 页 解题方法点析 本题为综合题，考查了平面直角坐标系中，利用待定系数法求抛物线对应的函数表达 式，利用方程、分类讨论和数形结合等思想解题 专 题 训 练 1如图Z43，点O(0 ，0) ，A(2 ，2) ，若存在点P，使APO为等腰直角三角形，则点P 的个数为 _ 图Z43 2 2017湖州 如图Z44，在平面直角坐标系xOy中，已知直线ykx(k0)分别交反比例函数y 1 x 和y 9 x 在第一象限的图象于点A，B，过点B作BDx轴于点D，交y 1 x 的图象于点C，连结AC.若ABC是等腰三角形，则k的值是 _ 图Z44
5、3如图Z45所示，在平面直角坐标系中，已知点A(2 ，2) ，点B(2 ，3)试问坐标 轴上是否存在一点P，使得ABP为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说 明理由 图Z45 第 4 页 共 14 页 4 2017张家界 如图Z46，已知抛物线C1的顶点坐标为A( 1，4 )，与y轴的交点为D(0 ，3) (1) 求C1的解析式； (2) 若直线l1：yxm与C1仅有唯一的交点，求m的值； (3) 若将抛物线C1关于y轴对称的抛物线记作C2，平行于x轴的直线记作l2：yn. 试结合 图象回答：当n为何值时，l2与C1和C2共有：两个交点；三个交点；四个交点； (4) 若将C2与x
6、轴正半轴的交点记作B，试在x轴上求点P，使得PAB为等腰三角形 图Z46 第 5 页 共 14 页 5. 2017攀枝花 如图Z47，抛物线yx 2 bxc与x轴交于A，B两点，B点坐标为 (3，0 ) ，与y轴交于点C(0 ，3) (1) 求抛物线的解析式 (2) 点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线yxm与直线BC交于点E，与y轴交于点F ，求PEEF的最大值 (3) 点D为抛物线对称轴上一点 当BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标； 若BCD是锐角三角形，求点D的纵坐标的取值范围 图Z47 6如图Z48，抛物线yax 22ax c(a0)与y轴交于点C(0 ，4 ) ，与x轴交于点A，B ，点A的坐标为 (4，0) (1) 求该抛物线对应的函数表达式 (2) 点Q是线段AB上的动点，过点Q作QEAC，交BC于点E，连结CQ，当CQE的面积最大 时，求点Q的坐标 (3) 若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为 (2，0 ) 问：是否存在这样的直线l，使得ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若 不存在，请说明理由