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1、题库 圆的综合题 1.如图,已知扇形 BOG的圆心为 O,半径为 2,圆心角为 270 ,AB 为直径 ,CD 为弦AB与 CD 交于点 M,将CD 沿着 CD 翻折后 , 点 A 与圆心 O 重合,延长 OA 至 P,使 AP=OA,连接 PC (1)求 CD 的长； (2)求证:PC 是扇形 BOG 的切线 ； (3)在 PC延长线上有一点 Q,连接 QG交 AB于点 E,交 BC 于点 F(F 与 B、C 不重合)求 GE?GF 的值. 第 1 题图 (1)解:如解图,连接 OC, CD沿 CD 翻折后 ,点 A 与圆心 O 重合, OM= 1 2 OA= 1 2 2=1,CDOA, O
2、C=2, CD=2CM=2 2222 2 212 3OCOM; (2) 证明:PA=OA=2,AM=OM=1,CM= 1 2 CD= 3, CMP=OMC=90 , PC= 2222 2 ( 3)32 3CMMP, OC=2,PO=22=4,PC2OC2=(2 3) 222=16=PO2, PCO=90 , PC 是O 的切线 ; (3)解:如解图,延长 GO 交O 于点 H,连接 FH. 扇形 BOG 的圆心为 O,圆心角为 270 , GOE=90 , HFG=90 ,且OGE=FGH, OGEFGH, OGGE GFGH , GE? GF=OG?GH=2 4=8. 第 1 题解图 2.如
3、图,半圆 O 的直径 AB=4,AC 是弦,沿 AC 折叠 AC,记折叠 后的劣弧为 AmC,连接 BC. (1)如图,当 AmC与 AB 相切于点 A 时,求证:AC=BC； (2)如图,当 AmC经过圆心 O 时,求弓形 AmC与半圆 O 重叠 部分的面积 ； (3)设 AmC与直径 AB交于点 D,当 OD=1 时,求 AC 的长 第 2 题图 解:(1)证明:如解图 ,设 AmC所在圆的圆心为点P,连接 PA、 PC、OC. PA=OA=OC=PC= 1 2 AB=2, 四边形 PAOC 为菱形, PAO=90 , 四边形 PAOC 为正方形 , PAC=CAO=45 , AB 是半圆
4、 O 的直径, ACB=90 , ABC 为等腰直角三角形 , AC=BC; (2)如解图,设 AmC 所在圆的圆心为点P,连接 PA、PC、OC. 由(1)知四边形 PAOC 为菱形 , AP=OA=OP, APO 是等边三角形 , PAO=60 , APC=120 ,S APC=SAPO= 1 2 S菱形 AOCP, 弓形 AmC与半圆 O 重叠部分的面积 =(S扇形 APCSAPC) (S扇形 APOSAPO)=S扇形APCS扇形APO= 2 (12060) 2 360 = 2 3 ; (3) 当点 D在线段 OA上时,如解图,设 AmC所在圆的圆心为 点 P,连接 PA、PD、OP,过
5、点 P 作 PHAB 于点 H. OD=1,AD=OAOD=1, AmC所在圆的圆心为点P,PHAB, AH=DH= 1 2 AD= 1 2 , OH=OAAH= 3 2 , PH= 2215 2 PDDH, OP= 22 6PHOH, AB 是半圆 O 的直径, BCAC, 由折叠性质得 OPAC, OPBC, POH=ABC, RtPOHRtABC, PHOP ACAB , 15 6 2 4AC , AC= 10 ; 当点 D 在线段 OB 上时,如解图,设 AmC所在圆的圆心为点 P,连接 PA、PD、OP,过点 P 作 PHAB 于点 H. OD=1,AD=OAOD=3, AmC所在圆
6、的圆心为点P,PHAB, AH=DH= 1 2 AD= 3 2 , OH=OAAH= 1 2 , PH= 227 2 APAH, OP= 22 2OHPH, AB 是半圆 O 的直径, ABAC, 由折叠性质得 OPAC, OPBC, POH=ABC, RtPOHRtABC, PHOP ACAB , 7 2 2 4AC , AC= 14 . 综上所述 ,AC 的长为 10或 14 . 第 2 题解图 3.如图,O 的半径为 2,AB的圆心角为 120 ,E是劣弧 AB的中 点 (1)如图,求证:点 O、E 关于 AB 对称(即 AB 垂直平分 OE)； (2)如图,把劣弧 AB沿直线 AB 折
7、叠,O 的动弦 CD 始终与 折叠后的弧 AB相切. 求 CD 的长度的变化范围 ; 当 CD 最小时 ,求 BD的长. 第 3 题图 (1)证明:如解图 ,连接 OA,OB,AE,BE,OE,且 AB 与 OE 交于点 C E 是 AB的中点, OEAB,且 AC=BC, AOE=BOE= 1 2 AOB AOB=120 ,AOE=BOE=60 AO=OE,AOE 是等边三角形 OC=EC,AB 垂直平分 OE 点 O,E 关于 AB 对称； (2)解:当弦 CD 过圆心 O 时最长 ,即是直径 ,CD=4； 当弦 CD 过 A 或 B 与折叠后的弧相切时最短 这时 CD 与 AE 垂直(假
8、设 C 与点 A 重合) 如解图 ,连接 DE,则 DE 过圆心 O. AED=60 ,AE=AO=2,ED=4, AD= 1642 3 , CD 长度的变化范围是 :23CD4； 如解图,连接 OA、OB、BE. 由(1)可得BOE=60 , BOD=180 BOE=120 , 120 24 1803 BD l. 第 3 题解图 4.在O 中,AB 为直径,点 C 为圆上一点 ,将劣弧 AC 沿弦 AC 翻折交 AB 于点 D,连接 CD (1)如图,若点 D 与圆心 O 重合,AC=2,求O 的半径 r； (2)如图,若点 D 与圆心 O 不重合 ,BAC=25 ,半径为 4,求 AD 的
9、长； (3)如图,过点 B作 AC的平行线 BE交O 于另一点 E,当 BE 与 ADC 相切时 ,求BAC 的正弦值 . 第 4 题图 解:(1)如解图,过点 O 作 OEAC 于 E,则 AE= 1 2 AC= 1 2 2=1. 翻折后点 D 与圆心 O 重合, OE= 1 2 r, 在 RtAOE 中,AO 2=AE2OE2, 即 r 2=12(1 2 r) 2, 解得 r= 2 3 3 ； (2)如解图,连接 BC,DC, AB 是直径, ACB=90 , BAC=25 , B=90 BAC=90 25 =65 , 根据翻折的性质 ,AC 所对的圆周角为 B,ABC所对的圆周角 为AD
10、C, ADCB=180 , B=CDB=65 , DCA=CDBA=65 25 =40 , AD 所对的圆心角的度数是80 , AD 的长度 = 80 416 1809 ； (3)如解图,设 BE与 ADC 相切于点 F,则 O FBE,OO交 AC 于点 G. 点 O、O关于 AC 对称,OG=O G,OO AC. BEAC,OO BE,点 O、O 、F 三点共线 . OGA=OFB, 又OA=OB,AOG=BOF, RtOAGRtOBF(AAS), OG=OF, OG=OF=O G= 1 3 O F= 1 3 OA, sinBAC= 1 3 OG OA . 第 4 题解图 5.已知:如图,
11、点 A 在半圆 O 上运动 (不与半圆的两个端点重 合),以 AC 为对角线作矩形ABCD,使点 D 落在直径 CE 上,CE=8将ADC 沿 AC 折叠,得到AD C (1)求证:AD是半圆O 的切线 ； (2)如图,当 AB与 CD的交点 F恰好在半圆 O上时,连接 OA 求证:四边形 AOCF 是菱形 ； 求四边形 AOCF 的面积 第 5 题图 (1)证明:如解图 ,连接 OA. 由折叠的性质得 :1=2, 四边形 ABCD 是矩形, ADC=90 , 1DCA=90 , OA=OC, OAC=DCA, 即13=DCA, 113=90 , 123=90 , 即OAD =90 , ADO
12、A, AD是半圆的切线 ； (2)证明:如解图, 由折叠的性质得 :1=2,D=ADC=90 , 四边形 ABCD 是矩形, ABCD, 3=2, 1=3, AF=CF, OA=OC, 2=4, 3=4, 在AFC 和AOC 中, 12 34 ACAC , AFCAOC(ASA), AF=OA, AF=CF=OA=OC, 四边形 AOCF 是菱形； 解:AD是半圆 O 的切线, DAF=1, DAF=3=4, 四边形 AOCF 是菱形, OACF, OAD D=180 , OAD =90 , 3=4=30 , OA=OC= 1 2 CE=4, OD= 1 2 OA=2, AD=3OD=23, 菱形 AOCF 的面积 =OC?AD=4 23=8 3.