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1、- 1 - 玉山一中 20182019学年度第一学期高三第一次月考 理科数学 时间： 120 分钟满分： 150 分 一、选择题本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 . 1已知集合 2 |(3)(1)0,|log1MxxxNxx ，则MN（） A 3,2 B 3,2 C1,2 D(0,2 2已知 1 ( )() 2 x f x， 命题:0,),( )1pxf x，则（） Ap是假命题，p： 00 0,),()1xf x Bp是假命题， p：0,),( )1xf x Cp是真命题， p： 00 0,),()1xf x Dp是真命题，
2、 p：0,),( )1xf x 3值域是 (0,+ ) 的函数是（） Ay= x2 1 5 By=( 3 1 ) 1-x C y=x21 D y=1) 2 1 ( x 4方程 3 log3xx的解所在的区间是（） A （0，1） B （ 1，2） C （2， 3） D （3，+） 5幂函数( )yf x的图象经过点 3 3,3，则( )f x是（） A偶函数，且在上是增函数 B偶函数，且在上是减函数 C奇函数，且在上是增函数 D非奇非偶函数，且在上是增函数 6已知直线 m和平面, ，则下列四个命题正确的是（） A 若，m，则m B若 / / ，/ /m，则 / /m C 若 / / ，m，则
3、m D若/ /m， / /m ，则 / / 7设fx为可导函数，且满足 0 11 lim1 2 x ffx x ，则曲线yfx在点1,1f处的切线 的斜率是 ( ) A2 B1 C 1 2 D2 8已知抛物线y 24x 上一点M与该抛物线的焦点F的距离 |MF| 4，则点M的横坐标x( ) A 0 B 3 C 2 D 4 9存在实数x，使|1|3|xxa成立的一个必要不充分条件是（） - 2 - A22a B2a C2a D6a 10函数 y=f(x)与函数 y=g(x) 的图象如下图, 则函数 y=f(x) g(x ) 的图象可能是（） 11已知 21,F F 为双曲线2 22 yx的左，右
4、焦点，点P在该双曲线上，且 21 2 PFPF，则 21 cosPFF=（） A 4 1 B 5 3 C 4 3 D 5 4 12已知函数 (1)f x 是偶函数，当 (1,)x 时，函数 ( )sinfxxx，设 1 , 2 af (3)bf , (0)cf 则 , ,a b c的大小关系为 Abac Bcab Cbca Dabc 二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分，把答案填在题中的横线上）. 13已知 1|,1| 2 xyyBxyxA，则ABI_ 14已知函数 2),1( 2,) 2 1 ( )( xxf x xf x ，则)3(log 2 f 15在长方体 1111
5、 ABCDA B C D中，底面ABCD是边长为1 的正方形，若其外接球的表面积为16， 则异面直线 1 BD与 1 CC所成的角的余弦值为_ 16定义在R上的偶函数)(xf，且对任意实数x都有)()2(xfxf，当)1 ,0x时， 2 )(xxf， 若在区间3 , 3内，函数kkxxfxg3)()(有 6 个零点，则实数k的取值范围为_ 三、解答题（本大题共6 小题，共70 分） 17 （本小题满分12 分） 已知集合187 2 xxyxA，集合)34ln( 2 xxyxB，集合 - 3 - 322mxmxC （1）设全集RU，求 U C ABI；（2）若ACCI，求实数m的取值范围 18
6、（本小题满分12 分） 设函数 2 ( )2f xkxx（k为实常数）为奇函数，函数 ( ) ( ) 1(01) fx g xaaa且 （ 1）求k的值； （ 2）求( )g x在 1,2上的最大值； （ 3）当2a时， 2 ( )21g xtmt对所有的 1,1x及 1,1m恒成立，求实数t的取值范 围 19 （本小题满分12 分） 如图，已知四棱锥PABCD，底面ABCD为菱形， PA 平面ABCD，60ABC，EF， 分别是BCPC，的中点 （ 1）判定 AE与 PD是否垂直，并说明理由 （ 2）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为 6 2 ，求二面角EAFC的 余弦
7、值。 - 4 - 20 （本小题满分12 分） 已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率为 3 2 ，以椭圆的一个短轴端点及两个焦点构成的三角形 的面积为3，圆 C方程为 222 ()()() a xayb b . （1）求椭圆及圆C的方程； （2）过原点O作直线l与圆 C交于 A，B两点，若2CA CB uuruur ，求直线l的方程 . 21 （本小题满分12 分） 设函数 ln ( ) 12 xa f x xx ，( )( )g xf xx，若1x是函数( )g x的极值点 . （1）求实数a的值； （2）当0x且1x时， ln ( ) 1 xn f x xx 恒成立，
8、求整数n的最大值 . 请考生在第22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22 （本小题满分10 分）选修4-4：极坐标与参数方程选讲 在平面直角坐标系中，直线 l的参数方程为 41 3 3 2 xt yt （t为参数） . 以坐标原点 O为极点， x轴 的正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为 2 2 2sin() 4 . （1）求直线l的普通方程以及圆C的直角坐标方程； （2）若点P在直线l上，过点 P作圆C的切线 PQ，求|PQ 的最小值 . 23 （本小题满分10 分）选修4-5：不等式选讲 已知函数fxxa. （1）若不等式2fx的解集为|15xx，求
9、实数a的值； （2）在（ 1）的条件下，若不等式22fxfxm对一切实数x恒成立，求实数m的取值范 围. - 5 - - 6 - 高三理科数学第一次月考参考答案 1A 2C 3 B 4 C 5 C 6C 7 D 8 B 9D 10 A 11 C 12 A 13), 1 14 6 1 15 14 4 16 6 1 , 0( 17 （）( 2,1) U C ABI （）实数m的取值范围是5m或7m 试题分析：（）(,29,)AU，)1 ,4(B，)9,2(ACU， ( 2,1) U C ABI.6分 （）ACCI，AC， 当C时，5322mmm， 当C时， 232 322 m mm 或 92 32
10、2 m mm ，解得：7m， 综上：实数m的取值范围是5m或7m.12分 18 （1）0k （2） 4 max 2 1,1 ( ) 1 1, 01 aa g x a a ； （3）(, 202,)tUU 试题解析：（ 1）由()( )fxf x得 22 22kxxkxx，0k 2分 （2） ( )22 ( ) 11()1 f xxx g xaaa 当 2 1a，即1a时， 2 ( ) ()1 x g xa在 1,2上为增函数， ( )g x最大值为 4 (2)1ga 当 2 1a，即01a时， 2 ( ) () x g xa在 1,2上为减函数，( )g x最大值为 2 1 ( 1)1g a
11、4 max 2 1,1 ( ) 1 1, 01 aa g x a a .7分 （3）由（ 2）得( )g x在 1,1x上的最大值为 2 (1)(2)11g， 2 121tmt即 2 20tmt在 1,1上恒成立分 令 2 ()2h mmtt， 2 2 ( 1)20, (1)20, htt htt 即 20, 02. t t 或t 或t 所以(, 202,)t - 7 - .12分 19 （）垂直 . 证明：由四边形ABCD为菱形，60ABC，可得 ABC为正三角形 因 为E为BC的 中 点 ， 所 以AEBC 又BCAD， 因 此 AEAD 因为PA平面ABCD，AE平面ABCD，所以PA
12、AE 而PA平面PAD，AD平面PAD且PAADA， 所以AE平面PAD又PD平面PAD，所以AEPD .6分 （）解：设2AB，H为PD上任意一点，连接AHEH， 由（）知AE平面PAD，则EHA为EH与平面PAD所成的角 在RtEAH中，3AE，所以当AH最短时，EHA最大， 即当AHPD时，EHA最大 此时 36 tan 2 AE EHA AHAH ， 因此2AH又2AD，所以45ADH，所以2PA 解法一：因为PA平面ABCD，PA平面PAC， 所以平面PAC平面ABCD过E作EOAC于O，则EO平面PAC， 过O作OSAF于S，连接ES，则ESO为二面角EAFC的平面角， 在RtAO
13、E中， 3 sin30 2 EOAE， 3 cos30 2 AOAE， 又F是PC的中点，在RtASO中， 3 2 sin 45 4 SOAO， 又 22 3930 484 SEEOSO，在RtESO中， 3 2 15 4 cos 530 4 SO ESO SE ， 即所求二面角的余弦值为 15 5 12分 解法二：由（）知AEADAP，两两垂直，以A为坐标原点，建立 如图所示的空间直角坐标系，又EF，分别为BCPC，的中点， (0 0 0)( 31 0)(31 0)(0 2 0)ABCD， ， ， - 8 - 3 1 (0 0 2)( 3 0 0)1 22 PEF ， 所以 3 1 ( 3
14、0 0)1 22 AEAF uu u ruuu r ， ， 设平面AEF的一法向量为 111 ()xyz， ，m，则 0 0 AE AF ， ， uu u r uu u r m m 因此 1 111 30 31 0 22 x xyz ， 取 1 1z，则(0 21)，m， 因为BDAC，BDPA，PAACA， 所以BD平面AFC，故BD uuu r 为平面AFC的一法向量 又(3 3 0)BD， ，所以 2 315 cos 5512 BD BD BD uu u r uu u r uu u r ， m m m 因为二面角EAFC为锐角，所以所求二面角的余弦值为 15 5 .12分 20 （1）椭
15、圆的方程 2 2 1 4 x y，圆的方程为 22 (2)(1)4xy； （2）0y或 430xy. 试题解析：（1）设椭圆的焦距为2c，左、右焦点分别为 12 (,0),( ,0)FcF c，由椭圆的离心率为 3 2 可得 3 2 c a ， 即 22 2 3 4 ab a ，所以 3 2 , 3 ab bc 以椭圆的一个短轴端点及两个焦点为顶点的三角形的面积为 1 23 2 bc ，即 13 23 23 cc， 3 ,2,1cab 所以椭圆的方程 2 2 1 4 x y，圆的方程为 22 (2)(1)4xy 6分 （2）当直线l的斜率不存时，直线方程为0x，与圆 C相切，不符合题意 当直线
16、l的斜率存在时，设直线方程ykx ， 由 22 (2)(1)4 ykx xy 可得 22 (1)(24)10kxkx ， 由条件可得 22 (24)4(1)0kk ，即 3 4 k - 9 - 设 11 (,)A x y， 22 (,)B xy，则 12 2 24 1 k xx k ， 12 2 1 1 x x k 22 2 12121212 22 24 (), 11 kkk yyk xxy yk x x kk 而圆心 C的坐标为（ 2，1）则 11 (2,1),CAxy uu r 22 (2,1)CBxy uu r ， 所以 1212 (2)(2)(1)(1)2CA CBxxyy uu ru
17、ur ， 即 12121212 2()()52x xxxy yyy 所以 22 2222 12424 252 1111 kkkk kkkk 解得 0k 或 4 3 k :0ly 或4 30xy .12分 21 （1） 2a ； （2）0 试题解析：（） 22 1 (1)ln 11 ( )( ) (1)2 22 xx a x gxfx xx xx ， 依题意，(1)0g， 据此， 22 1 (1 1)ln1 1 1 0 (1 1)21 2 1 a ，解得 2a 4分 （）由（）可知 ln1 ( ) 1 x f x xx ， 由 ln ( ) 1 xn f x xx ，得 ln1ln 11 xxn
18、 xxxx ， 于是 2 2 lnln1 1(2ln1) 111 xxxx nxxx xxx 对0x且1x恒成立， 令 2 ( )2 ln1h xxxx，则( )2ln22h xxx ，再次求导 2 ( )20hx x ， 若1x，可知( )h x 在区间 (1)，上递减，有( )(1)0h xh， 可知( )h x 在区间 (1)，上递减，有( )(1)0h xh， 而 2 1 0 1x ， 则 2 1 ( )0 1 h x x ， 即 2 2 1 (2 ln1)0 1 xxx x ； 若 01x，可知( )h x 在区间 (0 1)，上递增，有( )(1)0h xh， 可知( )h x 在
19、区间 (0 1)，上递减，有( )(1)0h xh，而 2 1 0 1x ， - 10 - 则 2 1 ( )0 1 h x x ，即 2 2 1 (2 ln1)0 1 xxx x 故当 2 2 1 (2ln1) 1 nxxx x 恒成立时，只需(0n，又 n 为整数， 所以， n 的最大值是0.12分 22 （1），； （2）. 【解析】（ 1）由直线的参数方程消去参数，得，即. 所以直线 的普通方程为. 圆 的极坐标方程为，即， 将 极 坐 标 方 程 与 直 角 坐 标 方 程 的 转 化 公 式代 入 上 式 可 得， 即 ，此为圆的直角坐标方程. .5分 （2）由（ 1）可知圆的圆心为，半径， 所以， 而的最小值为圆心到直线 的距离. 所以的最小值为10分 23 （1）3a（2） 1 2 m 【解析】 （1）由2fx得2xa，解得22axa，又不等式2fx的解集为|15xx， 所以 21 25 a a ，解得3a； .5分 （2）当3a时，3fxx，设22g xfxfx， 则 3 34, 2 3 222312,1 2 34,1 xx g xfxfxxxxx xx ， - 11 - 所以g x的最小值为 31 22 g ， 故 当 不 等 式22fxfxm对 一 切 实 数x恒 成 立 时 实 数m的 取 值 范 围 是 1 2 m10分