《圆锥曲线新题型及定点问题分析》.pdf

《《圆锥曲线新题型及定点问题分析》.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《圆锥曲线新题型及定点问题分析》.pdf（19页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、圆锥曲线新题型及定点问题分析 高三冲刺讲义：圆锥曲线新题型及定点问题分 析 圆锥曲线是解析几何的重要内容之一，也是 高考重点考查的内容合热点，知识综合性较强， 对学生逻辑思维能力、 计算能力要求很高， 这些 问题重点考查学生方程思想、函数思想、 转化思 想与划归思想的应用。 定点问题与定值问题是这 类题目的典型代表，下面我们就着重研究这些2 类问题； 在圆锥曲线中， 有一类曲线系方程， 对其参 数取值不同时， 曲线本身的性质不变， 或形态发 生某些变化，但其某些固有的共同性质始终保持 着，这就是我们所指的定值定点问题。圆锥曲线 中的几何量， 有些与参数无关， 这就构成了定值 定点问题， 她涵盖

2、两类问题， 一是懂曲线景观定 点问题；二是动曲线的某些几何量的斜率、 长度、 角度、距离、面积等为常数问题。 在几何问题中， 有些几何量与参变数无关， 即定值问题， 这类问 题求解策略是通过应有赋值法找到定值，然后将 问题转化为代数式的推导、 论证定值符合一般情 形。 所以在圆锥曲线的综合性问题里，定点定值 问题往往是我们学习的一个难点. 对于这类问题 的学习，通常有两种处理方法: 从特殊人手， 求出定点或定值， 再证明这个点 ( 值) 与变量无关 . 直接推理、计算，并在计算中消去变量，从而 得到定点 ( 定值). 而第二个方法又是我们深入且归纳的重点方法， 其中又包括： 1、通过定义代入化

3、简； 2、通过平面几何知识或 三角知识代入； 3、通过韦达定理化简； 下面我们就来介绍这些题型： 题型一：通过代入化简得定值 例 1： 已知 ),( 00 yxP为椭圆1 2 2 2 2 b y a x 上的一点，其中21FF、 为椭圆的左右焦点； 求证： 0101 ,x a c aPFx a c aPF。 证明： 0 2 0 2 02 2 22 0 2 0 2 0 2 01 2)(x a c ax a c ax a b bccxxycxPF 同理得证：01x a c aPF x y F Q A B l O 题型二：通过平面几何知识化简得到 例 2：已知椭圆E的方程为 22 1 43 xy ，

4、右焦点为 F， 直线l与圆 22 3xy相切于点Q，且Q在y轴的右侧， 设直线 l交椭圆E于不同两点 1122(,),(,)A xyB xy. （1）若直线 l的倾斜角为 4 ， 求直线 l的方程； （2）求证：| |AFAQ|BFBQ. 提示：用代入法转化AF ， 2 11 4 3 3xy AQ= 22 rOA；从而化简出AQAF是一个常值。 解（1）设直线l的方程为yxm，则有 | 3 2 m ，得 6m 又切点 Q在y轴的右侧，所以6m， 所以直线l的方程为 6yx （ 2 ） 因 为 AOQ为 直 角 三 角 形 ， 所 以 2222 11 |3AQOAOQxy 来 K 又 22 11

5、 1 43 xy 得1 1 | 2 AQx 22 11 |(1)AFxy 又 22 11 1 43 xy 得1 1 | 2 2 AFx 所以 |2AFAQ，同理可得| 2BFBQ 所以 |AFAQ|BFBQ 题型三：通过定义化简得到： 例 3：某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图 案（阴影区域）” ，其中 AC、BD是过抛物线焦点 F的两条弦，且其焦点)1 ,0(F，0BDAC，点E为y轴 上一点，记 EFA，其中为锐角 （1）求抛物线方程； （2）求证： 2 sin )1(cos2 AF （3）如果使“蝴蝶形图案”的面 积最小，求的大小？ 第(3) 问提示： 2 sin )1(cos2 AF

6、， 2 cos )sin1 (2 DF； 想想 BF和 DF如何参加他们也可以写出来。 之后面积问题就转化为三角求最值问题了。 解析:（1） 由抛物线焦点 )1 ,0(F得,抛物线方程 为 yx4 2 （2） 设 mAF，则点) 1cos,sin(mmA 所以， )cos1 (4)sin( 2 mm，既04cos4sin 22 mm 解得 2 sin )1(cos2 AF； （ 3） 同 理 ： 2 cos )sin1(2 BF， 2 cos )sin1 (2 DF， 2 sin )cos1 (2 CF “蝴蝶形图案”的面积 2 )cos(sin cossin44 2 1 2 1 DFCFBF

7、AFSSS CFDAFB 令 2 1 ,0,cossintt, ,2 1 t 则1 2 11 4 1 4 2 2 tt t S, 2 1 t 时, 即 4 “蝴蝶形图案” 的面积为 8 题型四：通过韦达化简得到 例 4、已知椭圆 E的中心在坐标原点O，焦点在坐 标轴上， 且经过 (2,1)(22,0)MN、两点，P是E上的动点 （1）求OP的最大值； （2） 若平行于OM的直线l在y轴上的截距为 (0)b b， 直线l交椭圆E于两个不同点 AB、， 求证： 直线MA与 直线 MB的倾斜角互补 解 （1）设椭圆 E的方程为 22 1(0,0,)mxnymnmn 将 (2,1),(22,0)MN代

8、 入 椭 圆E的 方 程 ， 得 41 81 mn m 2 分 解 得 11 , 82 mn， 所 以 椭 圆E的 方 程 为 22 1 82 xy 2 分 设点P的坐标为00,)xy（，则 2 22 00 OPxy 又 00 (,)P xy是E上的动点，所以 22 00 1 82 xy ，得 22 00 84xy， 代入上式得 2 222 000 83OPxyy， 0 2,2y 故00y时， max OP2 2OP的最大值为22 （2） 因为直线 l平行于OM， 且在y轴上的截距为b， 又 1 2 OM k，所以直线l的方程为 1 2 yxb 由 22 1 2 1 82 yxb xy 得 2

9、2 2240xbxb 设 11 (,)A xy、 22 (,)B xy，则 2 1212 2,24xxbx xb 又 1 1 1 1 , 2 y k x 2 2 2 1 , 2 y k x 故 12 12 12 11 22 yy kk xx 1221 12 (1)(2)(1)(2) (2)(2) yxyx xx 又 1122 11 , 22 yxb yxb，所以上式分子 1221 11 (1)(2)(1)(2) 22 xbxxbx 2 1212 (2 ) ()4 (1 )24(2 ) (2)4 (1 )0x xbxxbbbbb 故 12 0kk 所以直线MA与直线MB的倾斜角互补 题型五、通过

10、类比结论得到 例 5：椭圆T的中心为坐标原点 O，右焦点为(2,0)F， 且椭圆 T过点(2,2)E. 若 ABC的三个顶点都在椭圆T上，设三条边 的中点分别为 PNM、. （1）求椭圆 T的方程； （2）设 ABC的三条边所在直线的斜率分别 为321kkk、，且0,1,2,3 i ki. 若直线 OPONOM、的斜率之和为 0，求证： 123 111 kkk 为定值 . 解： （1）设椭圆 T的方程为 22 22 1 xy ab ，由题意知： 左焦点为 ( 2,0)F 所以 2|aEFEF23 2， 解得 2 2a，2b故椭圆T的方程为 22 1 84 xy （方法 2、待定系数法） （2）

11、设 112233 (,),(,),(,)A x yB xyC xy， 112233 ( , ),(,),(,)M s tN s tP s t， 由： 22 11 28xy ， 22 22 28xy ， 两式相减，得到 12121212 ()()2()()0xxxxyyyy 所以 12121 1 12121 11 22 yyxxs k xxyyt ，即 1 11 1 2 t ks ， 同理 2 22 1 2 t ks ， 3 33 1 2 t ks 所以 312 123123 111 2() ttt kkksss ，又因为直线 ,OM ON OP的斜 率之和为 0， 所以 123 111 0 k

12、kk 方法 2、(可参照方法 1 给分) 设直线 AB： 111 ()ytkxs ，代入椭圆 22 28xy ，得到 222 111 1111 1 (1 2)4()2()80kxtk s k xtk s 11 11 12 2 1 4() 12 tk s k xx k 1 2s，化简得 1 1 1 1 2 s k t (以下略 ) 题型六：其他综合问题 例 6：已知抛物线C： pxy2 2 )0(p，直线l交此抛物 线于不同的两个点 ),( 11 yxA、),( 22 yxB （1）当直线 l过点)0,( pM时，证明 21 yy 为定值； （2）当 pyy 21时，直线 l是否过定点？若过定点

13、， 求出定点坐标；若不过定点，请说明理由； （3）如果直线l过点 )0,(pM，过点M再作一条与 直线l垂直的直线l交抛物线C于两个不同点D、 E设线段AB的中点为P，线段DE的中点为Q，记 线段 PQ的中点为N问是否存在一条直线和一个 定点，使得点 N到它们的距离相等？若存在，求 出这条直线和这个定点； 若不存在，请说明理由 答案： （1） 2 212 pyy；（2）)0, 2 1 (（3） 存在直线 8 15p x， 点 )0, 8 17 ( p ，点 N到它们的距离相等 O x y F 例 7：在平面直角坐标系 xOy中，方向向量为 ), 1( kd的直线l经过椭圆1 918 22 yx

14、 的右焦点F，: 与 椭圆相交于 A、B两点 （1）若点A在x轴的上方，且 |OFOA，求直线l的 方程； （2）若 0k，)0 ,6(P且PAB的面积为6，求k的值； （3）当k（ 0k）变化时，是否存在一点)0 ,( 0 xC， 使得直线 AC和BC的 斜率之和为 0, 若存在，求出 0 x 的值；若不 存在，请说明理由 . 答案： （1） 03yx； （2）1k； （3）存在一点)0 ,6(。 例 8：动圆 C过定点,0 2 p F且与直线 2 p x相切，其 中0P. 设圆心C的轨迹的方程为 ( , )0F x y. （1）求 ( ,)0F x y； （2）曲 线上 的 一 定 点00

15、 ,p xy 0 (0)y 方 向 向 量 0 (,)dyp的直线l（不过点P）与曲线 交于A、B两点，设直线PA、PB斜率分别为PA k 、PB k， 计算PAPBkk； （3）曲线 上的两个定点000(,)Pxy、 000 (,)Qxy分别过点 0 P 、 0 Q 做倾斜角互补的两条直线 0 P M 、 0 Q N 分别与曲 线 交于M、 N两点，求证直线MN的斜率为定值 . 答案： （1） 02 2 ppxy； （2） 02 02 01 01 xx yy xx yy kkBPAP= p y p y yy p y p y yy 2222 2 0 2 2 02 2 0 2 1 01 = 02

16、01 22 yy p yy p = )( )2(2 0201 021 yyyy yyyp =0. （3） 00 2 yy p kMN 例:9： 已知椭圆 C的方程为 22 2 1 2 xy a (0)a，其焦点在 x轴上，点Q 27 (,) 22 为椭圆上一点 （1）求该椭圆的标准方程； （2）设动点P00(,)xy满足2OPOMON，其中M、N是椭 圆C上的点，直线 OM与ON的斜率之积为 1 2 ，求证： 22 00 2xy 为定值； （3）在（2）的条件下探究：是否存在两个定点 ,A B，使得PAPB 为定值？若存在，给出证明；若 不存在，请说明理由 答案： （1） 1 24 22 yx

17、 ； （2） 2 21 2 21 2 0 2 0 )2(2)2(2yyxxyx 2121 2 2 2 2 2 1 2 1 84)2(4)2(yyxxyxyx)2(420 2121 yyxx 20（定值） （3）存在点 A(0,10)、 B （0 ,10） ， 使得 |PBPA= 54 （定值） 例 10：设抛物线 2 :2(0)Cypx p的焦点为F，经过点 F的动直线l交抛物线C于点 11 (,)A xy， 22 (,)B xy且 12 4y y （1）求抛物线 C的方程； （2）若 2()OEOAOB（O为坐标原点），且点E在抛 物线 C上，求直线l倾斜角； （3）若点M是抛物线 C的准线

18、上的一点，直线 ,MF MA MB的斜率分别为 012 ,kk k 求证：当 0 k 为定值时， 12 kk也为定值 答案： （1） 2 4yx （2）直线l的倾斜角为arctan 2或 arctan2 （3） 0 12 MM M yy k x ，可得 0 2 M yk， 由（2）知 12 4 ,yya又 12 4y y， 10201020 12 1212 2222 1122 ykykykyk kk xxayay 12012120 2 1212 22()2()8 2 ()4 ay yk a yyyyk a y ya yy 22 000 0 222 88888(1) 2 4844(1) ak a

19、akka k aaa ，又 0 k为定值， 所以 12 kk也为定值 例 11：已知双曲线 C的中心在原点，1 ,0D是它的 一个顶点， d(1 , 2)是它的一条渐近线的一个方向 向量. (1)求双曲线 C的方程； (2)若过点 ( 3,0) 任意作一 条直线与双曲线 C交于,A B两点 (,A B都不同于 点D) ， 求证： DA DB为定值； (3)对于双曲线 : 22 22 1(0,0,) xy abab ab ，E为它的右顶点， ,M N为 双曲线上的两点 ( 都不同于点 E) ，且EMEN， 那么直线 MN是否过定点？若是，请求出此定 点的坐标； 若不是， 说明理由 . 然后在以下

20、三 个情形中选择一个，写出类似结论（不要求 书写求解或证明过程）. 情形一：双曲线 22 22 1(0,0,) xy abab ab 及它的左顶点； 情形二：抛物线 2 2(0)ypx p及它的顶点； 情形三：椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 及它的顶点 . 答案： （1） 2 2 1 2 y x； （2）DA DB=0 为定值； （3）MN过定点 ( 22 22 ()a ab ab ,0). 情形一：在双曲线： 22 22 1(0,0,) xy abab ab 中，若 E为它的左顶点，,M N为双曲线上的两 点(都不同于点 E)， 且EME N， 则直线MN 过定点 ( 22 2

21、2 ()a ab ab ,0). 情形二：在抛物线 2 2(0)ypx p中，若,M N为抛物线 上的两点 (都不同于原点 O)，且OMON， 则直线 MN过定点(2,0)p. 情形三：（1）在椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 中，若 E为它 的右顶点， ,M N为椭圆上的两点 (都不 同于点 E), 且EMEN， 则直线MN过定点 ( 22 22 ()a ab ab ,0)； （2） 在椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 中，若 E 为它的左顶点， ,M N为椭圆上的两点 (都不同于点E)，且 E ME N，则直线MN过定点 ( 22 22 ()a ba ab ,0)

22、； （3）在椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 中，若F为它的上顶点， ,M N为 椭 圆 上 的 两 点 (都 不 同 于 点F), 且 FMFN，则直线MN过定点 (0, 22 22 ()b ba ab )； （4） 在椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 中，若F为它的下顶点， ,M N 为椭圆上的两点(都不同于点 F), 且 F MF N，则直线MN过定点 (0, 22 22 ()b ab ab ). 【课后作业】 1.A、B是抛物线 2 2ypx（p0）上的两点，且 OA OB ，求证： （1）A、B两点的横坐标之积，纵坐标之积 分别都是定值； （2）直线 AB经过

23、一个定点。 证明： （1）设 A （11 ,x y） 、B （ 22 ,xy ） ，则 2 11 2ypx ， 2 22 2ypx 。 22 1212 22yypxpx = 22 1212 44p x xp y y ， 2 12 4y yp 为定 值， 2 1212 4x xy yp也为定值。 （2） 22 21212112 ()()2 ()yyyyyyp xx， 12 xx， 21 2112 2yyp xxyy 直线 AB的方程为： 2 1 11 1212 2yp yyxy yyyy 2 1212 24pp x yyyy 12 2 (2 ) p xp yy ，直线 AB过定点（ 2p，0）

24、。 2. 已知抛物线方程为 21 2 yxh，点 A、B及点 P(2， 4) 都在抛物线上，直线PA与 PB的倾斜角互补。 （1）试证明直线 AB的斜率为定值； 解析： （1）证明：把 P(2，4) 代入 21 2 yxh， 得 h=6。 所以抛物线方程为： y4=k(x 2) ，由 2 4(2) 1 6 2 yk x yx ，消去 y，得 2 2440xkxk。 所以 2 44 22 2 244 A A k xk ykk ， 因为 PA和 PB的倾角互 补，所以 PBPA kkk，用k 代 k，得 2 22 244 B B xk ykk ， 所以 BA AB AB yy k xx 2 244

25、 22( 22) kk kk = 8 2 4 k k 。 3、设抛物线 2 2ypx（p0）的焦点为 F，经过点 F的直线交抛物线于A、B两点，点 C在抛物线 的准线上，且 BC x 轴，证明：直线AC经过原 点。 方法 1： 设直线方程为 () 2 p yk x， A 11 (,)xy， B 22 (,)xy， C 2 (,) 2 p y， 2 () 2 2 p yk x ypx ， 22 2 0 py yp k ， 2 12 y yp ， 1 1 OA y k x ， 2 1 2 2 OC yp k p y ，又 2 11 2ypx， 1 1 OCOA y kk x ，即 k 也是直 线

26、OA的斜率，所以 AC经过原点 O 。 当 k 不存在时， AB x 轴，同理可证 OCOA kk。 方法 2： 如图 2 过 A作 AD x y F B A C D O N E l ，D为垂足，则： AD EF BC连结 AC与 EF 相交于点 N，则 | | ENCNBF ADACAB ， | | NFAF BCAB ，由抛物 线的定义知： |AF|=|AD| ，|BF|=|BC| ， | | | | | ADBFAFBC ENNF ABAB . 4、已知点 )0 ,1 (A， 1 P、 2 P、 3 P是平面直角坐标系上的 三点，且 1 AP、 2 AP、 3 AP成等差数列，公差为d

27、， 0d （1） 若 1 P坐标为1, 1，2d， 点 3 P在直线3180xy上 时，求点 3 P的坐标； （2）已知圆 C的方程是 222 )3()3(ryx)0(r，过点A 的直线交圆于 31 PP、两点， 2 P是圆C上另外一点， 求实数d的取值范围； （3）若 1 P、 2 P、 3 P都在抛物线 2 4yx上，点2 P的横坐 标为 3，求证：线段 13 PP的垂直平分线与x轴的交点 为一定点，并求该定点的坐标 答案： （1） 3 P的坐标为5, 3或6,0 （2）当 130r时，0dr或rd0；当13r时， 013d 或 130d （3）直线l与x轴的交点为定点 5,0 5、已知椭

28、圆 C的中心在坐标原点， 焦点在x轴上， 椭圆C上的点到焦点距离的最大值为 3， 最小值为 1 （）求椭圆 C的标准方程； （）若直线 mkxyl :与椭圆C相交于A，B两点 （ AB，不是左右顶点）， 且以AB为直径的圆过椭圆 C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点 的坐标 答案： （1） 22 1. 43 xy （2） ：直线l过定点，定点坐标为 2 (,0). 7 6、已知椭圆 E的中心在原点，焦点在x轴上，椭 圆上的点到焦点的距离的最小值 为 21，且 2 2 a c （）求椭圆 E的方程； （）过点 1 , 0作直线 交E于P、Q两点，试问： 在x轴上是否存在一个定点M，M P

29、 M Q为定值？若 存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说 明理由 答案： （1） 1 2 2 2 y x ； （2）所以 57 M(,0),MPMQ 416 ； 7、已知椭圆的焦点在 x轴上，它的一个顶点恰好 是抛物线 2 4xy的焦点，且 5 2 a c ，过椭圆的右焦点 F作与坐标轴不垂直的直线l，交椭圆于A、B两 点。 （I）求椭圆的标准方程； （）设点 (,0)M m是线段OF上的一个动点，且 ()MAMBAB，求m的取值范围； （）设点 C是点A关于x轴的对称点，在x轴上 是否存在一个定点 N，使得C、B、N 三点共线？若存在，求出定点 N的坐标， 若不存在，请说明理由。 答案： （1） 2 2 1 5 x y ； （2） 当 8 0 5 m 时，有 ()MAMBAB 成立。 （3） 在x轴上存在定点 5 (,0) 2 N， 使得C B N三点共线。