【北师大版】数学必修五第二章解三角形.pdf

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1、数学必修五第二章第二章解三角形 1 校本教辅数学必修五第二章第二章解三角形 知识体系总览 1.1 正弦定理和余弦定理 第一课时 ：正弦定理（一） 知识梳理 1、正弦定理 形式一：2 sinsinsin abc R ABC (2R 为ABC外接圆的直径) 形式二： R2 a Asin； R2 b Bsin； R2 c Csin； （角到边的转换） 形式三： AsinR2a ， BsinR2b ， CsinR2c ； （边到角的转换） 形式四：Bsinac 2 1 Asinbc 2 1 Csinab 2 1 S； （求三角形的面积） 2. 解决以下两类问题： 1） 、已知两角和任一边，求其他两边和

2、一角；（唯一解） 2） 、已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）。 典例剖析 题型一已知两角和任一边，求其它两边和一角 例 1 在ABC中，30A，105C，10a，求b，c 【解】因为30A，105C，所以45B因为 sinsinsin abc ABC ， 所以 sin10sin 45 102 sinsin 30 aB b A ， sin10sin105 5 25 6 sinsin 30 aC c A 正 弦 定 理 余 弦 定 理 C c B b A a sinsinsin 已知两角和任意一边， 求其他的边和角 aAbccbcos2 222 bBacacco

3、s2 222 cCabbacos2 222 应 用 举 例 已知两边及其一边的对角， 求其他的边和角 已知三边求三角 已知两边和夹角， 求第三边和其他角 数学必修五第二章第二章解三角形 2 因此，b，c的长分别为102和5 25 6 评析：已知三角形的任意两个角和一边，由三角形内角和定理，可以计算出三角形的另一角，并由正弦定 理求出另两边 题型二已知两边及其一边的对角，求其他的边和角 例 2：根据下列条件解三角形： （1）3,60 ,1bBc； （2）6,45 ,2cAa 【解】（1） sinsin bc BC ， sin1 sin 601 sin 2 3 cB C b ， ,60bc B，C

4、B，C为锐角，30 ,90CA， 22 2abc （2） sinsin ac AC ， sin6sin 453 sin 22 cA C a ，60120C或， 当 sin6sin75 6075 ,31 sinsin60 cB CBb C 时， 当 sin6sin15 12015 ,31 sinsin 60 cB CBb C 时， 所以， 31,75 ,60bBC或31,15 ,120bBC 评析： 已知三角形两边和其中一边的对角，解三角形。首先求出另一边的对角的正弦值，其次根据该正弦 值求角时，需对角的情况加以讨论是否有解？如果有解，是一解，还是两解？ 备选题正弦定理的应用 例 3.在ABC

5、中，sin()1CA, sinB= 1 3 . （I）求 sinA 的值；(II) 设 AC=6，求ABC 的面积 . 解： （）由 2 CA，且C AB， 42 B A， 2 sinsin()(cossin ) 42222 BBB A， 211 sin(1 sin) 23 AB，又sin0A， 3 sin 3 A （）如图，由正弦定理得 sinsin ACBC BA 3 6 sin 3 3 2 1 sin 3 ACA BC B ，又sinsin()sincoscossinCABABAB 32 2616 33333 116 sin63 23 2 223 ABC SACBCC 点评：解三角形问题

6、，还常常用到三角函数中的有关公式进行边角互化。 点击双基 1在 ABC 中，若 00 30, 6,90BaC，则bc等于（） A B C 数学必修五第二章第二章解三角形 3 A1B1C32D32 解： 00 tan30 ,tan302 3,24 3,2 3 b bacbcb a 答案： C 2在ABC中，若Babsin2，则A等于（） A 00 6030 或B 00 6045 或 C 00 60120 或D 00 15030 或 解： 0 1 2 sin,sin2sinsin,sin,30 2 baBBABAA或 0 150答案： D 3 ABC 中6a，36b，A= 0 30，则边c= （）

7、 A 6 B 12 C 6 或 12 D 36 解： B b A a sinsin ，sinB=A a b sin= 2 3 B= 00 60120 或 当 B=60 0 时， C=180 0 -A-B=90 0 ，c= 22 ba=12 当 B=120 0 时， C=180 0 -A-B=30 0 ，c=a=6 答案： C 4在RtABC 中， 0 90C，则BAsinsin的最大值是 _。 解： 11 sinsinsincossin 2 22 ABAAA答案： 1 2 5在 ABC 中，若aCBb则,135,30,2 00 _。 解： 00 sin62 15 ,4sin4sin154 si

8、nsinsin4 abbA AaA ABB 答案：26 课外作业 一、选择 1在 ABC 中，:1: 2:3A B C，则:a b c等于（） A1: 2:3B3: 2:1C1:3: 2D2 :3 :1 解. 132 ,:sin:sin:sin:1:3 :2 632222 ABCa b cABC答案： C 2. 在 ABC 中，若BA2，则a等于（） AAbsin2BAbcos2CBbsin2DBbcos2 解: sinsin22sincos,2 cosABBB abB答案： D 3.在 ABC 中， sinA:sinB:sinC=3:2:4, 则 A、B、C 大小关系是（） A.ABabsi

9、nAsinB 2.在中，A+B+C=, 222 ABC sin()sinABC, cos()cosABC,sincos 22 ABC 3. 若ABC为锐角，则AB 2 A 2 -BsinAcosBcosAtanB ，且 C 为钝角，故b 最小， c 最大，由tanB= 3 1 得 sinB= 10 10 由正弦定理得，最短边长b= 5 5 l 点评 : 利用正弦定理解三角形中，要注意三角形和三角函数的有关知识。 备选题正弦定理的综合应用 例 3 已知 ABC 的面积为1，tanB= 2 1 ,tanC=-2,求 ABC 的边长以及ABC 外接圆的面积。 数学必修五第二章第二章解三角形 7 解：

10、tanB= 2 1 ，0a 2 +(a+1) 2 ，a32 2 a003a答案： A 4. ABC 中， a,b,c 分别是 A、 B、 C的对边，若 ab cba 2 222 b, 则一解 若 ab，则无解 典例剖析 题型一三角形多解情况的判断 例 1.根据下列条件，判断 ABC有没有解？若有解，判断解的个数 （1） 5a ， 4b ， 120A ，求B； （2） 5a ， 4b ， 90A ，求B； （3）10 6a，20 3b，45A，求B； （4）20 2a，20 3b，45A，求B； （5）4a， 10 3 3 b，60A，求B 解： （ 1） 120A ，B只能是锐角，因此仅有一解

11、 （2） 90A ，B只能是锐角，因此仅有一解 （3）由于A为锐角，而 2 10 620 3 2 ，即Abasin，因此仅有一解90B （4）由于A为锐角，而 2 20 320220 3106 2 ，即sinbabA，因此有两解，易解得 60120B或 （5）由于A为锐角，又 10 3 4sin605 3 ，即sinabA，B无解 评析：对于已知两边和其中一边的对角，解三角形问题，容易出错，一定要注意一解、两解还是无解。这 时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。 数学必修五第二章第二章解三角形 22 题型二正、余弦定理在函数中的应用 例 2 在 ABC 中， AB5， AC3

12、，D 为 BC 中点，且AD 4，求 BC 边长 . 分析：此题所给题设条件只有边长，应考虑在假设BC 为 x 后，建立关于x的方程 .而正弦定理涉及到 两个角，故不可用.此时应注意余弦定理在建立方程时所发挥的作用.因为 D 为 BC 中点，所以BD、DC 可 表示为 x 2 ，然后利用互补角的余弦互为相反数这一性质建立方程. 解：设 BC 边为 x，则由 D 为 BC 中点，可得BDDC x 2 ， 在 ADB 中， cosADBAD 2BD2AB2 2AD BD 4 2（x 2 ） 252 2 4 x 2 在 ADC 中， cosADC AD 2 DC2AC2 2AD DC 4 2（x 2

13、 ） 232 2 4 x 2 又 ADB ADC180 cosADBcos（180 ADC） cosADC . 4 2（x 2 ） 252 2 4 x 2 4 2（x 2 ） 232 2 4 x 2 解得， x2 所以， BC 边长为 2. 评述：此题要启发学生注意余弦定理建立方程的功能，体会互补角的余弦值互为相反数这一性质的应 用，并注意总结这一性质的适用题型. 备选题正、余弦定理的综合应用 例 3 在 ABC 中，已知63, 3 1 cos,3tanACCB，求 ABC 的面积 . 解法 1：设 AB 、BC、CA 的长分别为c、a、b， . 2 1 cos, 2 3 sin,60,3ta

14、nBBBB 得由 应用正弦定理得又, 3 22 cos1sin 2 CC8 2 3 2263 sin sin B Cb c. . 3 2 6 3 3 32 2 1 3 1 2 3 sincoscossin)sin(sinCBCBCBA 故所求面积.3826sin 2 1 AbcS ABC 解法 3：同解法1 可得 c=8. 又由余弦定理可得 数学必修五第二章第二章解三角形 23 .64, 364 ,323 2 1 2 3 63 30sin sin sin sin , sinsin .12030,900 ,60.64,64 .0108, 2 1 826454,cos2 2 21 22222 aa

15、 B b A B b a B b A a ACBaa aaaaBaccab 故舍去而 得由 所得 即 故所求面积.3826sin 2 1 BacS ABC 评析：本小题主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式等基础知识，同时考查利用三角公式进行恒 等变形的技能和运算能力. 点击双基 一. 选择题： 1. 在ABC中， abB2 32 245，则 A 为（） ABCD60120603015030或或 解： a A b B A a b B sinsin sinsin， 3 2 答案： A 2. 在C A a B b B中，若，则 sincos （） ABCD30456090 解：由题意及正弦定理

16、可得tan B1 答案： B 3. 以 4、5、6 为边长的三角形一定是（） A. 锐角三角形B. 直角三角形 C. 钝角三角形D. 锐角或钝角三角形 解： ：长为 6 的边所对角最大，设它为 则 cos 162536 245 1 8 0 090 答案 A 4. 在ABC中，化简bCcBcoscos_ 解：利用余弦定理，得原式b abc ab c acb ac a 222222 22 答案： a 5. 在ABC中， abAB126045，则 a_，b_ 解： a A b B a A B bbb s i nsi n s i n si n s i n s i n ， 60 45 6 2 又abab

17、123612 612 624，答案： 3612 612624， 课外作业 一、选择 1. 在ABC中， abcbc 222 ，则 A 等于（） ABCD604512030 数学必修五第二章第二章解三角形 24 解： 由余弦定理及已知可得cosA 1 2 答案： C 2.在 ABC 中，已知b=40,c=20,C=60,则此三角形的解的情况是（） A. 有一解B. 有两解C. 无解D. 有解但解的个数不确定 解：bsinC=203c, 无解答案： C 3. 在ABC中，bAaBcoscos，则三角形为（） A. 直角三角形B. 锐角三角形 C. 等腰三角形D. 等边三角形 解： 由余弦定理可将原

18、等式化为 b bca bc a acb ac 222222 22 即，22 22 baab 答案 C 4. 在ABC中，coscossinsinABAB，则ABC是（） A. 锐角三角形B. 直角三角形 C. 钝角三角形D. 正三角形 解：原不等式可变形为cos()AB0 00 2 ABB ，()从而，CAB ()() 2 答案： C 5在 ABC 中，若8,3,7cba，则其面积等于（） A12B 2 21 C28D36 解： 011 cos,60 ,sin6 3 22 ABC AASbcA答案： D 6在 ABC 中，角,A B均为锐角，且,sincosBA则 ABC 的形状是（） A直角

19、三角形B锐角三角形C钝角三角形D等腰三角形 解：cossin()sin, 22 AABA B都是锐角，则, 222 AB ABC答案： C 7.在 ABC 中， cos 2 2 A = c cb 2 ,则 ABC 的形状是（） A. 正三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形或直角三角形D. 等腰直角三角形 解：原式可化为 2 1cos A = c cb 2 ，cosA+1=1 c b cosA= c b 由余弦定理，得 bc acb 2 222 c b ，a 222 cbABC 为直角三角形答案：B 8.在 ABC 中， A= 3 ，BC=3 ，则 ABC 的周长为（） A. 43) 3 si

20、n(3BB. 43) 6 sin(3B C. 63) 3 sin( BD. 63) 6 sin( B 数学必修五第二章第二章解三角形 25 解 ： C c B b A a sinsinsin ， C c B b sinsin = 2 3 3 =23 CB cb sinsin =23, b+c=23(sinB+sin(B 3 2 )=23(BBcos 2 3 sin 2 3 )=6) 6 sin(B a+b+c=63) 6 sin(B答案： D 二. 填空题： 9. 在ABC中，已知sin:sin:sin: :ABC654，则 cosA_ 解：由正弦定理得a b c: : :654 设 1 份为

21、 k，则 akbkck654， 再由余弦定理得cosA bca bc 222 2 1 8 答案： 1 8 10. 在 ABC中， A、B 均为锐角，且cossinAB，则ABC是_ 解： 由cossinAB得 sin()sin 2 ABA、B 均为锐角， 2 0 2 0 2 AB()()， 而 yxsin在 ()0 2 ，上是增函数 2 AB即 AB 2 CAB()() 2 ，答案：钝角三角形 11. 三角形的两边分别为5 和 3，它们夹角的余弦是方程5760 2 xx的根，则三角形的另一边长为 解：由题意得 cos 3 5 或 2（舍去） 三角形的另一边长53253522 13 22 cos

22、 答案： 213 三. 解答题： 12. .根据下列条件，判断ABC是否有解？有解的做出解答 a=7,b=8,A=105 a=10,b=20,A=80 b=10,c=56,C=60 a=23,b=6,A=30 解： a=7,b=8,a90本题无解 a=10,b=20,a20 sin60 =103absinA本题有两解 由正弦定理得sinB= a Absin = 32 30sin6 = 2 3 B=60 或 120 当 B=60 时， C=90 ,c= A Ca sin sin = 30sin 90sin32 =43 当 B=120 时， C=30 ,c= A Ca sin sin = 30si

23、n 30sin32 =23 B=60 ，C=90 ,c=43或 B=120 ， C=30 ,c=23 13：在ABC中，sin cosAA 2 2 ， AC2 ， AB3，求tan A的值和ABC的面积 . 解 2 1 )45cos( 2 2 )45cos(2cossinAAAA，又0180A 4 56 0 ,1 0 5 13 tantan(4560 )23 13 AA A s i ns i nsi n ()s i nc o sc o ss i nA105456045604560 26 4 SACABA ABC 1 2 1 2 23 26 4 3 4 26sin() 14. 已知ABC的外接圆

24、半径是2 ，且满足条件22 22 (sinsin)() sinACab B 。 （1）求角 C。（2）求ABC面积的最大值。 解： （ 1）RACabB22 2 22 且(sinsin)() sin() (sinsin)()sin2222 222 ACabB 即 ( )sin()sin()sin222 2222 RARCabRB由正弦定理知acab b 22 () 即 abcab 222 由余弦定理得cosC abc ab ab ab 222 22 1 2 C60 （2） SabC 1 2 sin 数学必修五第二章第二章解三角形 27 1 2 2260RARBsinsinsin 3 2 3 3

25、18060 3 1 2 sinsin cos()cos() cos()cos() cos() AB ABAB AB AB 当 AB 时， S有最大值3 1 2 1 3 3 2 () 第六课时 ：正、余弦定理的应用举例（1） 知识梳理 一、解斜三角形应用题的一般步骤： （1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图 （ 2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三 角形的数学模型 （3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解 （4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解 二测量的主要内容是求角和距离，教

26、学中要注意让学生分清仰角、俯角、张角、视角和方位角及坡度、 经纬度等概念，将实际问题转化为解三角形问题. 三解决有关测量、航海等问题时，首先要搞清题中有关术语的准确含义，再用数学语言（符号语言、图 形语言）表示已知条件、未知条件及其关系，最后用正弦定理、余弦定理予以解决. 典例剖析 题型一距离问题 例 1. 如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于 1 A 处时， 乙船位于甲船的北偏西105方向的 1 B处，此时两船相距20海里， 当甲船航行20分钟到达 2 A处时， 乙船航行到甲船的北偏西120方向的 2 B处，此时两船相距102海里，问乙船每小

27、时航行多少海里？ 解：如图，连结 11 A B，由已知 22 10 2A B， 12 20 30 210 2 60 A A， 1222 A AA B，又 122 18012060A A B， 122 A A B是等边三角形， 1212 10 2ABA A，由已知， 11 20A B， 112 1056045B A B ， 在 121 A B B中，由余弦定理， 222 1211121112 2cos45B BA BA BA BA B 222 20(10 2)220 102 2 200 12 10 2B B 北 1 B 2 B 1 A 2 A 1 2 0 105 甲 乙 数学必修五第二章第二章解

28、三角形 因此，乙船的速度的大小为 10 2 6030 2 20 （海里 /小时）答：乙船每小时航行302海里 题型二高度问题 例 2、在某点B处测得建筑物AE的顶端 A 的仰角为，沿 BE方向前进30m ，至点 C 处测得顶端A的仰角 为 2，再继续前进103m至 D点，测得顶端A的仰角为4，求的大小和建筑物AE的高。 解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在ACD中， AC=BC=30， AD=DC=103，ADC =180 -4， 2sin 310 = )4180sin( 30 。 sin4=2sin2cos2 cos2= 2 3 , 得 2=30=15，在 RtADE中， AE=ADsin

29、60=15 答：所求角为 15，建筑物高度为15m 解法二：（设方程来求解）设DE= x，AE=h 在 RtACE中,(103+ x) 2 + h 2 =30 2 在 RtADE中,x 2 +h 2 =(103) 2 两式相减，得x=53,h=15 在 RtACE中,tan2= x h 310 = 3 3 2=30 ,=15答：所求角为 15，建筑物高度为15m 解法三：（用倍角公式求解）设建筑物高为AE=x ，由题意，得 BAC= ，CAD=2 ， AC = BC =30m , AD = CD =103m 在 RtACE中， sin2= 30 x - 在 RtADE中， sin4= 10 3

30、 x , - 得 cos2= 2 3 ,2=30,=15， AE=ADsin60=15 答：所求角为 15，建筑物高度为15m 评析：根据题意正确画出图形是解题的关键，同时要把题意中的数据在图形中体现出来。 备选题角度问题 例 3如图1-3-2，某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号， 为45，距离我海军舰艇在A处获悉后， 测出该渔轮在方位角 为10n mile的C处，并测得渔轮正沿方位角为105的方 向，以9/n mileh的速度向小岛靠拢，我海军舰艇 立 即 以 数学必修五第二章第二章解三角形 29 21/n mileh的速度前去营救.求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到0.1， 时

31、间精确到1min） . 解 ： 设 舰 艇 收 到 信 号 后x h 在 B 处 靠 拢 渔 轮 ， 则 21ABx ， 9BCx ， 又 10AC ， 45180105120ACB. 由余弦定理，得 222 2cosABACBCAC BCACB， 即 22 2 211092 109 cos120xxx.化简，得 2 369100xx， 解得 2 40 min 3 xh（负值舍去） .由正弦定理，得 sin9 sin1203 3 sin 2114 BCACBx BAC ABx ， 所以21.8BAC，方位角为4521.866.8. 答舰艇应沿着方向角66.8的方向航行，经过40min就可靠近渔

32、轮 . 评析：本例是正弦定理、 余弦定理在航海问题中的综合应用.解本题的关键是根据实际，找出等量关系， 在画示意图时，要注意方向角的画法。 点击双基 一. 选择题： 1在 ABC 中，下列各式正确的是（） A. a b sinB sinA B.asinCcsinB C.asin(AB)csinA D.c 2a2b22abcos(AB) 解：根据正弦定理得 C c A a sinsin ,又sinC=sin(A+B), asin(AB)csinA 答案： C 2 海上有 A、 B 两个小岛相距10 nmile， 从 A 岛望 B 岛和 C 岛成 60的视角， 从 B 岛望 A 岛和 C 岛成 7

33、5 角的视角，则B、C 间的距离是（） A.52 nmile B.103 nmile C. 10 36 nmile D.56 nmile 解：根据题意知：AB=10 ，A=60 ,B=75则 C=45, C c A a sinsin a= C Ac sin sin = 45sin 60sin10 =56 答案： D 3在 200 米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30、60，则塔高为（） A. 3 400 米 B. 3 3400 米C. 2003米 D. 200米 解：如图，设塔高AB为h， RtCDB中，CD200，BCD90 -60 30 2 0 04 0 03 c o s 3

34、 03 BC 在ABC中，ABCBCD 30 ，ACB 60 -30 30BAC120 30sin120sin ABBC 3 400 2 3 2 1 3 3 400 2 3 30sinBC AB （m ） A 数学必修五第二章第二章解三角形 30 答案： A 4某人以时速a km 向东行走，此时正刮着时速a km 的南风，那么此人感到的风向为，风速 为. 答案：东南2 a 5某船开始看见灯塔在南偏东30方向，后来船沿南偏东60的方向航行30 nmile 后看见灯塔在正西方 向，则这时船与灯塔的距离是.解： 103 课后作业 1已知三角形的三边长分别为a、b、a 2abb2 ，则这个三角形的最大

35、角是（） A.135B.120C.60D.90 解：根据三角形中大边对大角，可知a2abb2 所对的角为最大角，设为，则 cos= ab bababa 2 )( 2222 =- 2 1 , 120答案： B 2如下图，为了测量隧道AB 的长度，给定下列四组数据，测量应当用数据 A.、 a、bB.、 、a C.a、b、D.、 解：根据正弦定理和余弦定理知，测量a、b、，利用余弦定理 可求 AB 的长度。 答案： C 3.海上有 A、B、 C三个小岛，已知A、B之间相距8 n mile， A、C之间相距5 nmile ，在 A岛测得 B岛 和 C岛的视角为60，则 B岛与 C岛相距的n mile数

36、为 ( ) A.7 B.6 C.5 D.4 解：根据题意知：AB=8 ，AC=5,A=60,根据余弦定理有BC 2 =8 2 1 5825 22 =49，BC=7 答案： A 4 在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为， 沿BE方向前进30 m至点C处测得顶端A的仰角为2， 再继续前进10 3 m至D点，测得顶端A的仰角为4，则等于 ( ) A15B 10 C5D 20 解：如图，BCCA，CDDA， 设AEh，则 310 4sin 30 2sin h h 2cos23，cos2 2 3 230 ，15 答案： A 5. 某人朝正东方向走x km 后，向左转 150，然后朝新方向走3 km，

37、结果他离出发点正好 是3km ，那么 x 的值为 ( ) 数学必修五第二章第二章解三角形 31 A. 3 B.23 C.23或3 D.3 解：如图，设出发点为A，则由已知可得 ABx千米，BC3 千米ABC180 -150 30 AC 3 ， CAB BCAC sin30sin ， 2 3 sin, sin 3 2 1 3 CAB CAB ， CAB60 或CAB120 当CAB60 时，ACB180 -30 -60 90x2 3 千米 当CAB120 ，ACB180 -120 -30 30xAC 3 千米答案： C 6. 已 知 一 塔 高80m ， 分 别 在 塔 底 和 塔 顶 测 得

38、一 山 的 山 顶 的 仰 角 分 别 是60 和30 ， 则 山 高 为 ( )A.240m B.180m C.140m D.120m 解： D 7. 如图 , 建造一幢宽为l 2, 房顶横截面为等腰三角形的住房, 则 ABC= , 则等于 ( )时, 可使雨水从房顶最快流下. A.30 0 B.450 C.600 D. 任意角 解：根据题意知s=AB= cos l ，加速度 a=gsin. 由s= 2 2 1 at得t 2 = 2sin 4 cossin 22 g l g l a s , =45 时t 最小答案： B 8. 一艘船以4km/h 的速度沿着与水流方向成120 的方向航行 ,

39、已知河水流速为2km/h, 则经过h3, 该船的 实际航程为 ( )A. 2 5km B. 6km C. 2 21km D.8km 解：船的实际速度是v= 2 1 42224 22 =23,则经过 3h, 该船的实际航程为 233=6 答案： B 二填空题 9一蜘蛛沿东北方向爬行xcm捕捉到一只小虫，然后向右转105 ，爬行 10 cm捕捉到另一只小虫，这时 它向右转135 爬行回它的出发点，那么x_ 解：如图， A B C 2l 第 8 题 数学必修五第二章第二章解三角形 32 ABC180 -105 75BCA 180 -135 45 ，BC10 cm A180 -75 -45 6060s

40、in 10 45sin x 2 10 10 6 2 33 2 x x 10坡度为45 的斜坡长为100 m，现在要把坡度改为30 ，则坡底要伸长_ 解：如图，DB100 m BDA45 ，BCA30设CDx(xDA) tan30 DA tan45 又DABD cos45 100 250 2 2 x30tan DA -DA 250 3 3 250 50 2 ( 3 -1) 50( 26 )(m) 答案： 50( 26 ) m 11如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在 同一水平面内的两个测点C与D测得 BCD 15 ， BDC30 ，CD 30 米，并在点C测得塔顶A的 仰角为 60 ,

41、 则 BC= 米, 塔高 AB= 米。 解：在BCD，1801530135CBD， sinsin BCCD BDCCBD 30 sinsin3015 2 sinsin135 CD BCBDC CBD 在ABC中，tan AB ACB BC tan15 2315 6ABBCACB 答案：15 2，156 三解答题 12. 如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海 里 的B 处有一艘渔船遇险等待营救甲船立即前往救援，同时把消 息 告 知 北 20 10 A B ? ?C 数学必修五第二章第二章解三角形 33 在甲船的南偏西30 ，相距 10 海里 C 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度

42、的方向沿直线前往B 处救援 （角度精确到1 ）？ 解：连接 BC,由余弦定理得BC 2=202+1022 20 10cos120 =700. 于是 ,BC=107。 sinsin120 2010 7 ACB ， sin ACB= 7 3 ， ACB 4 3 两种情况进行讨论，但对两种情形的结果进行比较后发现，目标函数有 统一的表达式，从而（3）中求最值是对这个统一的表达式进行运算的。 备选题正、余弦定理的综合应用 例 3 如图，已知 ABC是边长为1 的正三角形， M 、N分别是边AB 、AC上的点，线段MN经过 ABC的中心 G ，设MGA （ 2 33 ） （1）试将 AGM 、 AGN的

43、面积（分别记为S1与 S2） ；表示为的函数， （2）求 y 22 12 11 SS 的最大值与最小值。 解析：（1）因为 G 是边长为1 的正三角形ABC 的中心， 所以AG 233 323 ，MAG 6 ，由正弦定理 GMGA sinsin 66 （ ） 得 3 GM 6sin 6 （） ， 则 S1 1 2 GM GA sin sin 12sin 6 （ ） 。同理可求得S2 sin 12sin 6 （ ） 。 （2） y 22 12 11 yy 22 2 144 sinsin sin66 （）（）72（ 3cot 2 ）因为 2 33 ， 所以当 3 或 2 3 时， y 取得最大值y

44、max240，当 2 时， y 取得最小值ymin216。 点评：三角函数有着广泛的应用，本题就是一个典型的范例。通过引入角度，将图形的语言转化为三 角的符号语言，再通过局部的换元，又将问题转化为我们熟知的函数 4 ( )f tt t ，这些解题思维的拐点。 点击双基 1在ABC中，70,50sin2,10sin4Cba，则ABC的面积为（） A B C M N D 数学必修五第二章第二章解三角形 36 A. 8 1 B. 4 1 C. 2 1 D. 1 解： S ABC =Cabsin 2 1 =4sin10sin50sin70=4cos20 cos40 cos80 = 20sin 20si

45、n80cos40cos20cos4 = 20sin 80cos40cos40sin2 = 20sin2 160sin = 2 1 答案： C 2.如图所示 :在一幢 20m 高的楼顶A 测得对面一塔顶C 的仰角为60,塔基 D 的俯角为45 ,则这座塔的高 是( ) A. 203m B. 103m C. (10+ 103)m D. (20+203)m 解：可知BAD=45 ,AE=20,AB=20, BAC=60 , CB=ABtan 60=203所以这座塔的高CD=(20+203)m 答案： D 3在 ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（） Ab = 10 ，A = 45 ，

46、B = 70 Ba = 60 ，c = 48 ，B = 100 Ca = 7 ，b = 5 ，A = 80 Da = 14 ， b = 16 ，A = 45 解： A,B 可根据余弦定理求解，只有一解，选项C中， A为锐角，且ab, 只有一解 . 选项 D中bsin A0), 则最大内角的度数是（） A. 150 B. 120 C. 90 D. 135 解：依题意可知m 2 +3m+3所对的角为最大角，设为，则 cos=- 2 1 , 120 答案： B 7 在 ABC 中， b=asinC,c=acosB,则 ABC 一定是（） A.等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三

47、角形 数学必修五第二章第二章解三角形 41 解：由 c=acosB 得 c=a ac bca 2 222 ,a 222 cbABC 直角三角形b=asinC=a a c =c ABC 等腰直角三角形答案：D 8在 ABC 中，由已知条件解三角形，其中有两解的是 A b=20，A=45， C=80B a=30，c=28， B=60 C a=14，b=16， A=45D a=12，c=15，A=120 解：由 a=14，b=16，A=45及正弦定理，得 16 sin B = 14 sin A ，所以 sinB= 7 24 因而 B有两值 答案： C 9在 ABC 中，已知2b，1c，B= 0 45，则a（） A 2 B 2 26 C 2 26 D 2 26 解：由 C c B b sinsin 得 sinC= 2 1 c0, 0) x0,4的图象，且图象的最高点为 S(3，23)；赛道的后一部分为折线段MNP ，为保证参赛 运动员的安全，限定MNP=120 o （I）求 A , 的值和 M，P 两点间的距离； （II）应如何设计，才能使折线段赛道MNP 最长？