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1、1 A B CD EF 第五章 相交线与平行线 一、典型例题 例 1如图 (1)，直线 a 与 b 平行， 1(3x+70) , 2=(5x+22) , 求 3 的度数。 图(1) 例 2已知：如图 (2)， AB EFCD，EG 平分 BEF， B+ BED+ D =192 ， 图(2) 例 3如图（ 3） ，已知 ABCD，且 B=40， D=70，求 DEB 的度数。 图（ 3） 例 4平面上 n 条直线两两相交且无3 条或 3 条以上直线共点，有多少个不同交点？ A B C D E F G 3 2 l a b 4 2 例 56 个不同的点，其中只有3 点在同一条直线上，2 点确定一条直
2、线，问能确定多少条直线？ 例 610 条直线两两相交，最多将平面分成多少块不同的区域？ 例 7两条直线相交于一点，所形成的的角中有2 对对顶角， 4 对邻补角，那么，三条直线相交于一点时， 有多少对对顶角，多少对邻补角？四条直线相交于一点时，有多少对对顶角，多少对邻补角？n 条直线相 交于一点时，有多少对对顶角，多少对邻补角？ 二、巩固练习 1平面上有5个点，其中 仅有 3 点在同一直线上，过每2 点作一条直线，一共可以作直线（）条 A6B 7C8D9 2平面上三条直线相互间的交点个数是（） A 3B1 或 3C1 或 2 或 3D不一定是1，2，3 3平面上6 条直线两两相交，其中仅有3 条
3、直线过一点，则截得不重叠线段共有（） A36 条B 33 条C24 条D21 条 4已知平面中有n个点CBA,三个点在一条直线上，EFDA,四个点也在一条直线上，除些之外，再 没有三点共线或四点共线，以这n个点作一条直线， 那么一共可以画出38 条不同的直线， 这时n等于 （） （A）9 （B）10 （C）11 （D）12 5若平行直线AB、CD 与相交直线EF、GH 相交成如图示的图形，则共得同旁内角（） 3 2 1 A B C D E F A B C D E A4 对B8 对C12 对D16 对 6如图，已知FDBE，则 1+2- 3=( ) A90B135C150D 180 A B CD
4、 E F G H 第 5 题 3 1 2 A B C D E FG 第6题 第 7 题 7如图，已知ABCD， 1= 2，则 E 与 F 的大小关系； 8平面上有5个点，每两点都连一条直线，问除了原有的5 点之外这些直线最多还 有交点 9平面上3 条直线最多可分平面为个部分。 10如图，已知AB CDEF，PS GH 于 P， FRG=110，则 PSQ。 11已知 A、B 是直线 L 外的两点，则线段AB 的垂直平分线与直线的交点个数是。 12平面内有4 条直线，无论其关系如何，它们的交点个数不会超过个。 13已知：如图，DECB ，求证： AED= A+ B 14已知：如图，AB CD，求
5、证： B+ D+F=E+G 第 13 题第 14 题 15如图，已知CBAB，CE 平分 BCD ，DE 平分 CDA ， EDC+ ECD =90 ， 求证： DAAB 16一直线上5 点与直线外3 点，每两点确定一条直线，最多确定多少条不同直线？ A B C D E F G l AB CD EF G H P Q R S 第10题 A BC D E 第 15 题 4 例题答案 1、解：ab， 3 4（两直线平行，内错角相等） 1+3 2+4180( 平角的定义 ) 1 2 (等式性质 ) 则3x+70 5x+22解得 x=24 即 1142 3180- 138 评注：建立角度之间的关系，即建
6、立方程（组），是几何计算常用的方法。 B- D=24，求 GEF 的度数。 2、解： AB EFCD B=BEF， DEF= D（两直线平行，内错角相等） B+BED+ D =192 （已知） 即 B+BEF+ DEF+D=192 2（ B+D）=192（等量代换） 则 B+D=96（等式性质） B- D=24（已知） B=60（等式性质） 即 BEF=60 （等量代换） EG 平分 BEF（已知） GEF= 2 1 BEF=30 （角平分线定义） 3、解：过E 作 EFAB AB CD（已知） EFCD（平行公理） BEF= B=40 DEF= D=70（两直线平行，内错角相等） DEB=
7、DEF- BEF DEB = D-B=30 评 注 ： 证 明 或 解 有 关 直 线 平 行 的 问 题 时 ， 如 果 不 构 成 “ 三 线 八 角 ” ， 则 应 添 出 辅 助 线 。 4、解： 2 条直线产生1 个交点， 第 3 条直线与前面2 条均相交，增加2 个交点，这时平面上3 条直线共有1+2=3 个交点； 第 4 条直线与前面3 条均相交，增加3 个交点，这时平面上4 条直线共有1+2+3=6 个交点； , 则n 条直线共有交点个数：1+2+3+,+ (n-1)= 2 1 n(n-1) 评注：此题是平面上n 条直线交点个数最多的情形，需要仔细观察，由简及繁，深入思考，从中
8、发现规 律。 5、解： 6 条不同的直线最多确定：5+4+3+2+1=15 条直线，除去共线的3 点中重合多算的2 条直线，即能 确定的直线为15-2=13 条。 另法： 3 点所在的直线外的3 点间最多能确定3 条直线，这3 点与直线上的3 点最多有33=9 条直线， 加上 3 点所在的直线共有：3+9+1=13 条 评注：一般地，平面上n 个点最多可确定直线的条数为：1+2+3+,+(n-1)= 2 1 n(n-1) 6、解： 2 条直线最多将平面分成2+2=4 个不同区域； 5 3 条直线中的第3 条直线与另两条直线相交，最多有两个交点，此直线被这两点分成3 段，每一段将它所 在的区域一
9、分为二，则区域增加3 个，即最多分成2+2+3=7 个不同区域； 同理： 4 条直线最多分成2+2+3+4=11 个不同区域； , 10 条直线最多分成2+2+3+4+5+6+7+8+9+10=56 个不同区域 推广： n 条直线两两相交，最多将平面分成2+2+3+4+ ,+n=1+ 2 1 n(n+1)= 2 1 (n 2 +n+2)块不同的区域 思考：平面内n 个圆两两相交，最多将平面分成多少块不同的区域？ 7、 答案 1 5 个点中任取2 点，可以作 4+3+2+110 条直线， 在一直线上的 3 个点中任取2 点，可作 2+13 条， 共可作 10-3+18（条）故选C 2平面上3 条
10、直线可能平行或重合。故选 D 3对于 3 条共点的直线，每条直线上有4 个交点，截得3 条不重叠的线段，3 条直线共有9 条不重叠的 线段 对于 3 条不共点的直线，每条直线上有5 个交点，截得4 条不重叠的线段，3 条直线共有12 条不重叠的 线段。 故共有 21 条不重叠的线段。故选D 4由n个点中每次选取两个点连直线，可以画出 2 )1(nn 条直线， 若 CBA, 三点不在一条直线上，可以 画出 3条直线，若 FEDA, 四点不在一条直线上，可以画出6 条直线， .38263 2 )1(nn 整理得 2 n .0)90)(10( ,090nnn n+9 0 ,10n 选 B。 5直线
11、EF、GH 分别“截”平行直线AB、CD，各得 2 对同旁内角，共 4 对；直线AB 、CD 分别“截” 相交直线EF、GH，各得 6 对同旁内角，共12 对。因此图中共有同旁内角4+616 对 6 FDBE 2=AGF AGC= 1-3 1+ 2-3=AGC+ AGF=180 选 B 7解： AB CD （已知） BAD= CDA （两直线平行，内错角相等） 1= 2 （已知） BAD+ 1=CDA+ 2（等式性质） 即 EAD= FDA AEFD E F 直线的条数3 4 5 . n 对顶角的对数6 12 20 . n(n-1) 邻补角的对数12 24 40 . 2n(n-1) 2 1 A
12、 B C D E F A B C D E F G H 第 5 题 3 1 2 A B C D E FG 第 6 题 6 8解：每两点可确定一条直线，这5 点最多可组成10 条直线，又每两条直线只有一个交点，所以共有 交点个数为9+8+7+6+5+4+3+2+1 45（个）又因平面上这5 个点与其余4 个点均有4 条连线，这四条直 线共有 3+2+16 个交点与平面上这一点重合应去掉，共应去掉56=30 个交点，所以有交点的个数应为 45-3015 个 9可分 7 个部分 10解AB CD EF APQ DQG= FRG=110 同理 PSQ=APS PSQ=APQ- SPQ=DQG-SPQ =
13、110-90=20 11 0 个、 1 个或无数个 1）若线段AB 的垂直平分线就是 L，则公共点的个数应是无数个； 2）若ABL，但L不是AB 的垂直平分线，则此时 AB 的垂直平分线与 L是平行的关系，所以它们没有 公共点，即公共点个数为0 个； 3）若 AB 与 L 不垂直，那么AB 的垂直平分线与直线 L 一定相交，所以此时公共点的个数为 1 个 124 条直线两两相交最多有1+2+36 个交点 13证明：过E 作 EFBA 2=A（两直线平行，内错角相等）DECB， EFBA 1=B（两个角的两边分别平行，这两个角相等） 1+2=B+A（等式性质） 即 AED= A+ B 14证明：
14、分别过点E、F、G作AB 的平行线 EH、PF、GQ， 则 AB EHPFGQ（平行公理） ABEH ABE BEH （两直线平行，内错角相等） 同理： HEF EFP PFG FGQ QGD GDC ABE+ EFP+PFG+ GDC BEH+ HEF+ FGQ+ QGD（等式性质） 即B+D+EFG=BEF+ GFD 15证明： DE 平分 CDA CE 平分 BCD EDC= ADE ECD =BCE(角平分线定义) CDA + BCD= EDC+ADE+ ECD+BCE =2（ EDC+ECD） 180 DA CB 又CBAB DAAB 16直线上每一点与直线外3 点最多确定35=15 条直线；直线外3 点间 最 多 能 确 定3 条直线， 最多能确定15+3+1=19 条直线 A B C D E F B E F G DC H Q P l AB CD EF G H P Q R S 第10题 A BC D E 第 15 题