上海市2019年高二上学期期末数学试卷-Word版含解析.pdf

《上海市2019年高二上学期期末数学试卷-Word版含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《上海市2019年高二上学期期末数学试卷-Word版含解析.pdf（13页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、上海市复旦大学附中高二（上）期末数学试卷 一、填空题（共48 分，每空 4 分） 1抛物线 C的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上，且C过点（ 2，3） ，则 C的方程是 2若过点 P（2，2）可以向圆 x2+y22kx2y+k2k=0作两条切线，则实数k 的取值范围是 3参数方程（ R）化为普通方程是 4M 是椭圆上动点， F1，F2是椭圆的两焦点，则 F1MF2的最大值为 5圆 x 2+（ya）2=9与椭圆 有公共点，则实数a 的取值范围是 6与圆 x 2+y24x=0外切，且与 y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程是 7双曲线 2x23y2=k（k0）的焦点坐标是（用k表示） 8已知 P（x，y）

2、是圆（ x+1） 2+y2=1上一点，则 2x+3y的最大值为 9若直线与圆 x2+y2=1在第一象限有两个不同的交点，则实数a 的取值范围是 10椭圆 E：的右顶点为 B，过 E的右焦点作斜率为1 的直线 L与 E交于 M，N 两点，则 MBN 的面积为 11设实数 x，y 满足 x2=4y，则的最小值是 12 椭圆 C：向右平移一个单位、 向上平移两个单位可以得到椭圆C ： 设 直线 l： （2a+1）x+（1a）y3=0，当实数 a 变化时， l 被 C 截得的最大弦长是 二、选择题（共20 分，每题 5 分） 13圆 x 2+y2+2x+4y3=0上到直线 x+y+1=0的距离为 的点

3、有（） A1 个 B 2 个 C 3 个 D4 个 14“ab 0” 是“ 方程 ax 2+by2=c表示双曲线 ” 的（ ） A充分必要条件B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不必要也不充分条件 15过点（ 3，0）和双曲线 x 2ay2=1（a0）仅有一交点的直线有（ ） A1 条 B 2 条 C 4 条 D不确定 16双曲线C的左、右焦点为F1，F2，P为C的右支上动点（非顶点） ，I为F1PF2的内心当P变化 时，I 的轨迹为（） A双曲线的一部分 B椭圆的一部分 C直线的一部分D无法确定 三、解答题（共52 分，8+10+10+12+12） 17已知抛物线 C：y=2x 2 和直

4、线 l：y=kx+1，O为坐标原点 （1）求证： l 与 C必有两交点； （2）设 l 与 C交于 A，B 两点，且直线 OA和 OB斜率之和为 1，求 k 的值 18斜率为 1 的动直线 L与椭圆交于 P，Q 两点， M 是 L上的点，且满足 | MP| ?| MQ| =2， 求点 M 的轨迹方程 19已知椭圆 x 2+2y2=1上存在两点 A，B关于直线 L：y=4x+b 对称，求实数 b 的取值范围 20已知双曲线 C的渐近线方程为 x2y=0，且点 A（5，0）到双曲线上动点 P的最小距离为，求 C的方程 21设定点 A（0，1） ，常数 m2，动点 M（x，y） ，设，且 （1）求动

5、点 M 的轨迹方程； （2）设直线 L：与点 M 的轨迹交于 B，C两点，问是否存在实数m 使得？若存在， 求出 m 的值；若不存在，请说明理由 上海市复旦大学附中高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题（共48 分，每空 4 分） 1抛物线 C的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上，且C过点（ 2，3） ，则 C的方程是y 2= x 或 x2=y 【考点】抛物线的简单性质 【分析】对称轴分为是 x 轴和 y 轴两种情况， 分别设出标准方程为y2=2px和 x2=2py，然后将（2， 3） ，代入即可求出抛物线标准方程 【解答】解：（1）抛物线的顶点在坐标原点，对称轴是x 轴，并且经过

6、点（ 2，3） ， 设它的标准方程为y2=2px（p0） ，9=4p 解得： 2p= ， y2=x； （2）对称轴是 y轴，并且经过点（2，3） ，抛物线的方程为x2=2py（p0） ， 4=6p， 得：2p= ， 抛物线的方程为： x2= y 所以所求抛物线的标准方程为：y2=x 或 x2=y 故答案为： y2=x 或 x 2= y 2若过点 P（2，2）可以向圆 x 2+y22kx2y+k2k=0 作两条切线，则实数 k的取值范围是（1， 1）（ 4，+） 【考点】圆的切线方程 【分析】将圆化成标准方程，得（xk）2+（y1）2=k+1，根据方程表示圆的条件和点与圆的位置关 系，结合题意建

7、立关于k 的不等式组，解之即可得到实数k 的取值范围 【解答】解：圆 x2+y22kx2y+k2k=0，可化为（ xk） 2+（y1）2=k+1 方程 x2+y22kx2y+k2k=0表示圆， k+10，解之得 k1 又过点 P（2，2）可以向圆 x2+y22kx2y+k2k=0作两条切线， 点 P（2，2）在圆外，可得（ 2k）2+（21） 2k+1， 解之得 k1 或 k4 综上所述，可得 k 的取值范围是（ 1，1）（ 4，+） ， 故答案为（ 1，1）（ 4，+） 3参数方程（ R）化为普通方程是x 2+（y1）2=1 【考点】参数方程化成普通方程 【分析】利用同角三角函数平方关系，可

8、得结论 【解答】解：由题意，消去参数 ，可得普通方程是x2+（y1）2=1， 故答案为 x2+（y1） 2=1 4M 是椭圆上动点， F1 ，F 2是椭圆的两焦点，则 F1MF2的最大值为 arccos 【考点】椭圆的简单性质 【分析】求得椭圆的a，b，c，由椭圆中焦点三角形中，焦距所对角最大，可得F1MF2最大，此时 M 为短轴端点再由余弦定理，计算即可得到所求最大角 【解答】解：椭圆的 a=3，b=1，c=2， 由椭圆中焦点三角形中，焦距所对角最大， 可得 F1MF2最大，此时 M 为短轴端点 则 cosF1MF2= = ， 可得 F1MF2的最大值为 arccos 故答案为： arcco

9、s 5圆 x2+（ya）2=9与椭圆有公共点，则实数a 的取值范围是 6，6 【考点】椭圆的简单性质 【分析】由题意可知：椭圆焦点在 x 轴上， a=5，b=3，圆 x2+（ya）2=9的圆心坐标（ 0， a） ，半径 r=3若椭圆1 与圆 x 2+（ya）2=9 有公共点，根据图象可知数 a 的取值范围 【解答】解：椭圆焦点在 x 轴上， a=5，b=3， | x| 5，| y| 4， 圆 x2+（ya）2=9的圆心坐标（ 0，a） ，半径 r=3 若椭圆1 与圆 x2+（ya）2=9有公共点， 则实数 a 的取值范围 | a| 6； 故答案为： 6，6 6与圆 x2 +y 24x=0外切，

10、且与 y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程是 y2=8x（x0）或 y=0（x0） 【考点】轨迹方程；抛物线的定义 【分析】分动圆在 y 轴右侧和动圆在y轴左侧两种情况考虑，若动圆在y 轴右侧，则动圆圆心到定点 （2，0）与到定直线 x=2 的距离相等， 利用抛物线的定义求轨迹方程，若动圆在y 轴左侧，动圆圆心轨迹是x 负半轴 【解答】解：若动圆在y 轴右侧，则动圆圆心到定点（2，0）与到定直线 x=2 的距离相等，其轨迹 是抛物线； 且=2，其方程为 y2=8x， 若动圆在 y 轴左侧，则动圆圆心轨迹是x 负半轴，方程为y=0，x0， 故答案为 y2=8x，或 y=0，x0 7双曲线 2x23y2

11、=k（k0）的焦点坐标是（用k表示）（0，） 【考点】双曲线的简单性质 【分析】双曲线 2x23y2=k（k0） ，化为=1，即可求得 c 【解答】解；双曲线2x23y2=k（k0） ，化为=1，根据双曲线方程可知c=， 双曲线焦点坐标为（ 0，） 故答案为（ 0，） 8已知 P（x，y）是圆（ x+1） 2+y2=1上一点，则 2x+3y的最大值为 2 【考点】圆的标准方程 【分析】假设点 P的坐标为（ 1+cos ，sin ） ，利用三角函数，可求最值 【解答】解：圆的标准方程为（x+1）2+y2=1， 设 P（1+cos ，sin ） ，则 2x+3y=2cos +3sin 2=cos（

12、 + ）2 2x+3y 的最大值为：2 故答案为：2 9 若直线 与圆x 2+y2=1 在第一象限有两个不同的交点， 则实数 a的取值范围是 （，2） 【考点】直线与圆的位置关系 【分析】抓住两个关键点，一是直线过（0，1） ；一是直线与圆相切，分别求出m 的值，即可确定出 直线与圆在第一象限内有两个不同的交点时a 的范围 【解答】解：分两种情况：当直线过（0，1）时，将 x=0，y=1 代入得： a=； 当直线与圆 x 2+y2=1相切时，圆心到直线的距离 d=r=1， 解得： a=2或2（舍去） ， 则直线与圆在第一象限内有两个不同的交点时，实数a 的取值范围是（，2） 故答案为（，2）

13、10椭圆 E：的右顶点为 B，过 E的右焦点作斜率为1 的直线 L与 E交于 M，N 两点，则 MBN 的面积为， 【考点】椭圆的简单性质 【分析】由椭圆 E： 右焦点（ 1，0） ，右顶点（ 2，0） ，设直线 L 的方程为 y=x1，代入椭 圆方程，由韦达定理及弦长公式求得丨MN 丨，则 B 到直线 L 的距离 d=，MBN 的 面积 S= ?丨 MN 丨?d 【解答】解：由题意可知：椭圆 E： 右焦点（ 1，0） ，右顶点（ 2，0） ， 设直线 L的方程为 y=x1，M（x1，y1） ，N（x2，y2） ， 由，整理得： 7x28x8=0， 由韦达定理可知： x1+x2= ，x1x2=

14、， 丨 MN 丨=? =?=， 则 B到直线 L的距离 d=， MBN 的面积 S= ?丨 MN 丨?d=， MBN 的面积为， 故答案为： 11设实数 x，y 满足 x2=4y，则的最小值是2 【考点】抛物线的简单性质 【分析】抛物线的准线方程为y=1， +11 最小值是（ 3，1）与焦点（ 0，1） 的距离减去 1，可得结论 【解答】解：抛物线的准线方程为y=1， + 11 最小值是（ 3，1）与焦点（ 0， 1）的距离减去 1， 即的最小值是 31=2， 故答案为 2 12 椭圆 C：向右平移一个单位、 向上平移两个单位可以得到椭圆 C ： 设 直线 l： （2a+1）x+（1a）y3=

15、0，当实数 a 变化时， l 被 C 截得的最大弦长是8 【考点】椭圆的简单性质 【分析】直线l： （2a+1）x+（1a）y3=0，化为： a（2xy）+（x+y3）=0，利用直线系的性质 可得：直线 l 经过定点 M（1，2） ，为椭圆 C ：的中心因此当实数a 变化时， l 被 C 截得的最大弦长是2a 【解答】解：直线l： （2a+1）x+（1a）y3=0，化为： a（2xy）+（x+y3）=0， 令，解得 x=1，y=2， 因此直线 l 经过定点 M（1，2） ，为椭圆 C ：的中心 因此当实数 a 变化时， l 被 C 截得的最大弦长是2a=8 故答案为： 8 二、选择题（共20

16、分，每题 5 分） 13圆 x2+y2+2x+4y3=0上到直线 x+y+1=0的距离为的点有（） A1 个 B 2 个 C 3 个 D4 个 【考点】直线与圆的位置关系 【分析】圆 x2 +y 2+2x+4y3=0可化为（ x+1）2+（y+2）2=8，过圆心平行于直线 x+y+1=0 的直线与圆有 两个交点，另一条与直线x+y+1=0的距离为的平行线与圆相切，只有一个交点 【解答】解：圆 x2+y2+2x+4y3=0可化为（ x+1）2+（y+2）2=8 圆心坐标是（ 1，2） ，半径是 2； 圆心到直线的距离为d=， 过圆心平行于直线x+y+1=0的直线与圆有两个交点， 另一条与直线 x

17、+y+1=0的距离为的平行线与圆相切，只有一个交点 所以，共有 3 个交点 故选： C 14“ab 0” 是“ 方程 ax 2 +by 2=c表示双曲线 ” 的（ ） A充分必要条件B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不必要也不充分条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】运用反例，特殊值，结合双曲线的标准方程判断 【解答】解：若 a=1，b=1，c=0，则不能表示双曲线，不是充分条件， 反之，若方程 ax 2+by2=c表示双曲线， 则 a，b 异号，是必要条件， 故 ab0 是方程 ax2+by2=c表示双曲线的必要不充分条件， 故选： C 15过点（ 3，0）和双曲线

18、 x 2ay2=1（a0）仅有一交点的直线有（ ） A1 条 B 2 条 C 4 条 D不确定 【考点】双曲线的简单性质 【分析】直线斜率不存在时，不满足条件，直线斜率存在时，与渐近线平行的直线，满足题意，可得 结论 【解答】解：直线斜率不存在时，满不足条件； 直线斜率存在时，与渐近线平行的直线，满足题意， 过点（ 3，0）和双曲线 x2ay2=1（a0）仅有一交点的直线有 2 条 故选： B 16双曲线 C的左、右焦点为 F1，F2，P为 C的右支上动点（非顶点） ，I 为F1PF2的内心当 P变化 时，I 的轨迹为（） A双曲线的一部分 B椭圆的一部分 C直线的一部分D无法确定 【考点】轨

19、迹方程 【分析】将内切圆的圆心坐标进行转化成圆与横轴切点Q 的横坐标， PF 1 PF2=F1QF2Q=2a， F1Q+F2Q=F1F2解出 OQ，可得结论 【解答】解：如图设切点分别为M，N，Q，则PF1F2的内切圆的圆心的横坐标与Q横坐标相同 由双曲线的定义， PF 1PF2=2a=4 由圆的切线性质 PF1PF2=FIMF2N=F1QF2Q=2a， F1Q+F2Q=F1F2=2c， F1Q=a+c，F2Q=ca， OQ=F 1F2QF2=c（ca）=a F1PF2内切圆与 x轴的切点坐标为（ a，0） ， 当 P变化时， I 的轨迹为直线的一部分 故选 C 三、解答题（共52 分，8+1

20、0+10+12+12） 17已知抛物线 C：y=2x 2 和直线 l：y=kx+1，O为坐标原点 （1）求证： l 与 C必有两交点； （2）设 l 与 C交于 A，B 两点，且直线 OA和 OB斜率之和为 1，求 k 的值 【考点】抛物线的简单性质 【分析】 （1）联立抛物线 C：y=2x 2 和直线 l：y=kx+1，可得 2x2kx1=0，利用 0，即可证明 l 与 C必有两交点； （2）根据直线 OA和 OB斜率之和为 1，利用韦达定理可得k 的值 【解答】 （1）证明：联立抛物线C：y=2x 2 和直线 l：y=kx+1，可得 2x2kx1=0， =k 2+80，l 与 C必有两交点

21、； （2）解：设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则+=1 因为 y1=kx1+1，y2=kx2+1，代入，得 2k+（+）=1 因为 x1 +x 2=k，x1x2 = ，代入得 k=1 18斜率为 1 的动直线 L与椭圆交于 P，Q 两点， M 是 L上的点，且满足 | MP| ?| MQ| =2， 求点 M 的轨迹方程 【考点】椭圆的简单性质 【分析】设直线 L的方程为： y=x+t，P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ，M（m，n） 可得 y1=x1+t，y2=x2+t，t=n m直线方程与椭圆方程联立可得：3x2+4tx+2t24=0，| MP| =， 同理可得： | MQ|

22、 =利用 | MP| ?| MQ| =2，代入化简即可得出 【解答】解：设直线L的方程为： y=x+t，P（x1 ，y 1） ，Q（x2 ，y 2） ，M（m，n） 则 y1=x1+t，y2=x2+t，t=nm 联立，化为： 3x2+4tx+2t24=0， =16t212（2t24）0，解得： t26x1+x2=， | MP| = =， 同理可得： | MQ| = | MP| ?| MQ| =2，1=| （x1m） （x2m）| =， m2+2n2=1或 7 点 M 的轨迹为椭圆，其方程为m2 +2n 2=1或 7 19已知椭圆 x2 +2y 2=1上存在两点 A，B关于直线 L：y=4x+b

23、 对称，求实数 b 的取值范围 【考点】椭圆的简单性质 【分析】将 A，B 坐标代入椭圆方程，利用作差法，求得直线AB的斜率，由直线 AB的斜率为， 代入求得 AB中点 M（x0，y0） ，横坐标和纵坐标与m 的关系，代入 x2+2y21，即可求得 b 的取值范 围 【解答】解：椭圆x2+2y2=1，焦点在 x 轴上， 设椭圆上两点 A（x1，y1） 、B（x2，y2）关于直线 y=4x+b 对称， AB中点为 M（x0，y0） ，直线 AB的斜率为 则 x12+2y12=1， x2 2+2y 2 2=1， 得：（x1+x2） （x1x2）+2（y1+y2） （y1y2）=0， 由中点坐标公式

24、可知： x1+x2=2x0，y1+y2=2y0， 即 2x0?（x1x2）+2?2y0?（y1y2）=0， =?= y0= x0，代入直线方程 y=4x+b 得 x0=b，y0=b； （x0，y0）在椭圆内部， +21，即 6b249， 解得b 实数 b 的取值范围（，） 20已知双曲线 C的渐近线方程为 x2y=0，且点 A（5，0）到双曲线上动点 P的最小距离为，求 C的方程 【考点】双曲线的简单性质 【分析】由已知条件，设双曲线方程 y 2= ， 0，由定点 A（50）到双曲线 C上的动点 P的最小 距离为，运用两点距离公式，结合二次函数最值求法，可得最小值，求得 ，由此能求出双曲线方

25、程 【解答】解：双曲线C的一条渐近线 L的方程为 x2y=0， 设双曲线方程为y2= ， 0 设 P（m，n） ，则 m24n2=4 ， 点A（5，0）到双曲线上动点 P的距离为： = =， 当 m=4 时，上式取得最小值， 由题意可得=， 解得 = 1 则双曲线 C的方程为 y2=1 21设定点 A（0，1） ，常数 m2，动点 M（x，y） ，设，且 （1）求动点 M 的轨迹方程； （2）设直线 L：与点 M 的轨迹交于 B，C两点，问是否存在实数m 使得？若存在， 求出 m 的值；若不存在，请说明理由 【考点】双曲线的简单性质；轨迹方程 【分析】 （1）根据向量的表达式，可推断出点M（x

26、，y）到两个定点 F1（m，0） ，F2（m，0）的距 离之差 4，根据双曲线的定义判断出其轨迹为双曲线，进而根据c 和 a，求得 b，则其方程可得 （2）设将直线的方程代入椭圆的方程，消去y 得到关于 x 的一元二次方程，再结合根与系数的关系 利用向量数量积的坐标公式即可求得m 值，从而解决问题 【解答】解：（1）由题意，=42m， 动点 M 的轨迹是以（ m，0） ， （m，0）为焦点的双曲线的右支，方程为=1（x2） ； （2）由直线 L：与点 M 的轨迹方程，联立可得（ m25）x2+12x364（m24）=0， 设 B（x1，y1） ，C（x2，y2） ，则 x1+x2=，x1x2=， ， x 1x2+（y11） （y21）= ， x1x22（x1 +x 2）+16=， m2 =9，m=3， m2，m=3 检验 m=3 时 x1 +x 2=30，所以不存在 m