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1、第 1 页 共 17 页 专题突破 (十)新定义问题 1 在平面直角坐标系xOy 中， C 的半径为r，P 是与圆心C 不重合的点，点P 关于 O 的反称点的定义如下：若在射线 CP 上存在一点 P ，满足 CPCP 2r，则称 P为点 P 关于 C 的反称点，如图Z101 为点 P及其关于 C 的反称点P 的示意图 (1)当 O 的半径为1 时 分别判断点M(2，1)，N(3 2，0)，T(1， 3)关于 O 的反称点是否存在，若存在，求其 坐标； 点 P 在直线 y x2 上，若点P 关于 O 的反称点P 存在，且点P不在 x 轴上， 求点 P 的横坐标的取值范围 (2)当 C 的圆心在x
2、 轴上， 且半径为1，直线 y 3 3 x2 3与 x 轴、y 轴分别交于点 A，B.若线段 AB 上存在点P，使得点P 关于 C 的反称点P 在 C 的内部，求圆心C 的横 坐标的取值范围 图 Z101 2 对某一个函数给出如下定义：若存在实数M0，对于任意的函数值y，都满足 MyM，则称这个函数是有界函数在所有满足条件的M 中，其最小值称为这个函数的 边界值例如，图Z102 中的函数是有界函数，其边界值是1. (1)分别判断函数y 1 x(x0)和 yx 1(4a)的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b 的取值范围； (3)将函数 yx 2(1 xm，m0)的图象向下平移 m 个单位
3、长度，得到的函数的边界 值是 t，当 m 在什么范围时，满足 3 4t1? 第 2 页 共 17 页 图 Z102 3 对于平面直角坐标系xOy 中的点 P 和 C，给出如下定义： 若 C 上存在两个点A， B，使得 APB60，则称P 为 C 的关联点 已知点 D(1 2， 1 2)，E(0， 2)，F(2 3，0) (1)当 O 的半径为1 时， 在点 D，E，F 中， O 的关联点是 _； 过点 F 作直线 l 交 y 轴正半轴于点G，使 GFO30，若直线l 上的点 P(m， n)是 O 的关联点，求m 的取值范围； (2)若线段 EF 上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r
4、的取值范围 图 Z103 4 在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点P1(x1， y1)与 P2(x2，y2)的“非常距离” ， 给出如下定义： 若|x1x2|y1 y2|，则点 P1与点 P2的“非常距离”为|x1x2|； 若|x1x2|y1 y2|，则点 P1与点 P2的“非常距离”为|y1y2|. 例如：点 P1(1，2)，点 P2(3，5)，因为 |13|25|，所以点 P1与点 P2的“非常距离” 为|25|3，也就是图Z104(a)中线段 P1Q 与线段 P2Q 长度的较大值 (点 Q 为垂直于y 轴 的直线 P1Q 与垂直于 x 轴的直线P2Q 的交点 ) (1)已知点 A(1
5、 2， 0)，B 为 y 轴上的一个动点 若点 A 与点 B 的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B 的坐标； 直接写出点A 与点 B 的“非常距离”的最小值 (2)已知 C 是直线 y3 4x3 上的一个动点， 如图 (b)，点 D 的坐标是 (0，1)，求点 C 与点 D 的“非常距离”的最小值及相应的点 C 的坐标 如图 (c)，E 是以原点 O 为圆心， 1 为半径的圆上的一个动点，求点C 与点 E 的“非 第 3 页 共 17 页 常距离”的最小值及相应的点E 和点 C 的坐标 图 Z104 1模 b 是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式axb 的实数 x 的所有取值的 全体
6、叫做闭区间，表示为a，b对于一个函数，如果它的自变量x 与函数值y 满足：当m xn 时，有myn，我们就称此函数是闭区间m，n上的“闭函数”如函数y x 4，当 x1 时， y3；当 x3 时， y 1，即当 1x3 时，有 1 y3，所以说函数y x4 是闭区间 1，3上的“闭函数” (1)反比例函数y 2015 x 是闭区间 1，2015上的“闭函数”吗？请判断并说明理由； (2)若二次函数y x 2 2xk 是闭区间 1，2上的“闭函数”，求 k 的值； (3)若一次函数ykxb(k0)是闭区间 m，n上的“闭函数”，求此函数的解析式(用 含 m，n 的代数式表示 ) 2 模 定义符号
7、 mina，b 的含义为：当 ab 时， mina，b b； 当 ab时， mina，b a.如： min1， 2 2，min1， 2 1. (1)求 min x 21， 2 ； (2)已知 min x 22xk， 3 3，求实数 k 的取值范围； (3)已知当 2x3 时， min x 22x15，m(x1)x22x15.直接写出实数 m 的取 值范围 第 4 页 共 17 页 3模 如图 Z105(a)，在平面直角坐标系xOy 中，已知点 A(1，0)，B(1，1)，C(1， 0)，D(1，1)，记线段AB 为 T1，线段 CD 为 T2，点 P 是坐标系内一点给出如下定义：若 存在过点P
8、 的直线l 与 T1， T2都有公共点，则称点P 是 T1T2联络点例如，点P(0， 1 2) 是 T1T2联络点 (1)以下各点中，_是 T1T2联络点 (填出所有正确的序号 )； (0，2)； (4，2)； (3，2) (2)直接在图 (a)中画出所有T1T2联络点所组成的区域，用阴影部分表示 (3)已知点 M 在 y 轴上，以 M 为圆心， r 为半径画圆，M 上只有一个点为T1T2联络 点， 若 r1，求点 M 的纵坐标； 求 r 的取值范围 图 Z105 4一模 如图 Z106，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线yax 2bxc(a0)的顶点 为 M， 直线 ym 与 x 轴平行，
9、且与抛物线交于点A 和点 B， 如果 AMB 为等腰直角三角形， 我们把抛物线上A、 B 两点之间的部分与线段AB 围成的图形称为该抛物线的准蝶形，顶点 M 称为碟顶，线段AB 的长称为碟宽 图 Z106 (1)抛物线 y1 2x 2 的碟宽为 _，抛物线yax 2(a0)的碟宽为 _ (2)如果抛物线y a(x1) 26a(a0)的碟宽为 6，那么 a_ (3)将抛物线ynanx 2b nxcn(an0)的准蝶形记为Fn(n1，2，3， )，我们定义F1， F2， Fn为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比如果 Fn与 Fn1的相似比为 1 2，且 Fn的碟顶是 Fn1的碟宽的中点， 现在将
10、 (2)中求得的抛物线记为 y1，其对应的准蝶形记为F1. 第 5 页 共 17 页 求抛物线y2的函数解析式 请判断F1，F2， Fn的碟宽的右端点是否在一条直线上？如果是，直接写出该直 线的函数解析式；如果不是，说明理由 图 Z107 5模 定义：对于平面直角坐标系xOy 中的线段 PQ 和点 M，在 MPQ 中，当 PQ 边 上的高为2 时，称 M 为 PQ 的“等高点”，称此时MPMQ 为 PQ 的“等高距离” (1)若 P(1，2)，Q(4，2) 在点 A(1，0)，B(5 2，4)，C(0，3)中， PQ 的“等高点”是 _； 若 M(t，0)为 PQ 的“等高点”，求PQ 的“等高距离”的最小值及此时t 的值 (2)若 P(0，0)，PQ2，当 PQ 的“等高点”在y 轴正半轴上且“等高距离”最小时， 直接写出点Q 的坐标 图 Z108