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1、第 1 页 共 47 页 （2017 浙江宁波第24 题）在一次课题学习中，老师让同学们合作编题，某学习小组受赵爽 弦图的启发，编写了下面这道题，请你来解一解： 如图，将矩形ABCD 的四边 BA、 CB 、 DC 、AD分别延长至E、F、 G 、H，使得 AECG=，BFDH=，连接EF， FG ， GH ，HE. (1) 求证：四边形EFGH 为平行四边形； (2) 若矩形 ABCD 是边长为1 的正方形，且45FEB = ， tan2AEH =，求AE的长 . 【答案】（1）证明见解析； （2）2 【解析】 试题分析：（1）易证 AH=CF ，结合已知条件由勾股定理可得EH=FG，同理可
2、得EF =GH，从而 得证 . （2）设 AE=x，则 BE =x+1，由45FEB = 可得 DH=x+1，AH=x+2,由 tan2AEH =可求出结 果. 试题分析：（ 1）在矩形ABCD中， AD=BC， BAD=BCD=90 又 BF=DH AD+DH=BC+BF 即 AH=CF 在 RtAEH 中， EH= 22 AEAH 在 RtCFG 中， FG= 22 CGCF AE=CG EH=FG 同理得： EF =HG 四边形EFGH为平行四边形 （2）在正方形ABCD中， AB=AD=1 设 AE=x,则 BE=x+1 第 2 页 共 47 页 在 RtBEF 中，45FEB = B
3、E=BF BF=DH DH=BE=x+1 AH=AD+DH=x+2 tan2AEH = AH=2AE 2+x=2x x=2 即 AE=2 考点： 1.矩形的性质； 2.平行四边形的判定；3.正方形的性质；4.解直角三角形. 4.（2017 甘肃庆阳第26 题）如图，矩形ABCD中， AB=6， BC=4，过对角线BD 中点 O 的直 线分别交AB， CD边于点 E，F （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长 【答案】 (1)证明见解析 .（2） 4 13 3 【解析】 试题分析：（ 1）根据平行四边形ABCD 的性质，判定BOE DOF（ASA ），得出四边形 BEDF的对角线互相平分，进而得出结论； （2）在RtADE 中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE，由勾股定理求出BD，得出 OB，再由勾股定理求出EO，即可得出EF的长