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1、第 1 页 共 9 页 第 16 讲直角三角形 考纲要求命题趋势 1 了解直角三角形的有关概念， 掌握其性质与判定 2掌握勾股定理与逆定理，并 能用来解决有关问题. 直角三角形是中考考查的 热点之一， 题型多样， 多以简单 题和中档难度题出现，主要考查 直角三角形的判定和性质的应 用， 以及运用勾股定理及其逆定 理来解决实际问题的能力. 知识梳理 一、直角三角形的性质 1直角三角形的两锐角_ 2直角三角形中，30 角所对的边等于斜边的_ 3直角三角形斜边上的中线等于斜边的_ 4勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 二、直角三角形的判定 1有一个角等于_的三角形是直角三角形 2有两
2、角 _的三角形是直角三角形 3如果三角形一边上的中线等于这边的_，则该三角形是直角三角形 4勾股定理的逆定理：如果三角形一条边的平方等于另外两条边的_，那么这个三 角形是直角三角形 自主测试 1在 ABC 中，若三边BC，CA，AB 满足 BC: CA: AB5: 12: 13，则 cos B() A 5 12 B12 5 C 5 13 D 12 13 2如图，在ABC 中， DE 是中位线，ABC 的平分线交DE 于 F，则 ABF 一定是 () A锐角三角形B直角三角形 C钝角三角形D等边三角形 3下列各组数据分别为三角形的三边长：2,3,4； 5,12,13；2，3，4； m 2 n 2
3、，m2n2， 2mn.其中是直角三角形的有 () ABCD 考点一、直角三角形的判定 【例 1】如图，在 ABC 中， ABAC， BAC90 ，点 D 为边 BC 上的任一点，DFAB 于 F，DEAC 于 E，M 为 BC 的中点，试判断MEF 的形状，并证明你的结论 分析： 连接 AM，可得 AM BM，然后证明 BFM AEM，得到 FM ME，EMF 90 . 第 2 页 共 9 页 解： MEF 是等腰直角三角形 连接 AM ， BAC90 ，AM 是斜边 BC 的中线， MA MBMC ，MA BC. ABAC， B BAMMAE45 . DF AB，DE AC， AFD AED
4、 FAE 90 ， 四边形 DFAE 是矩形， FDEA. 又 FB FD，FBEA， BFM AEM(SAS) ， FM EM，BMF AME. AMFBMF 90 ， EMFAMF AME90 ， MEF 是等腰直角三角形 方法总结证明一个三角形是直角三角形的方法比较多，最简捷的方法就是求出一个角等 于 90 ，也可以利用三角形一边上的中线等于这边的一半，或者利用勾股定理的逆定理证得 触类旁通1 具备下列条件的ABC 中，不能成为直角三角形的是() A A B 1 2C B A90 C C A B CD A C90 考点二、直角三角形的性质 【例 2】两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图
5、1 所示放置，图2 是由它抽象出的几何 图形， B，C，E 在同一条直线上，连接DC. (1)请找出图2 中的全等三角形，并给予证明(说明：结论中不得含有未标识的字母)； (2)证明： DCBE. (1)解： 图 2 中ABE ACD. 证明如下： ABC 与AED 均为等腰直角三角形， ABAC，AEAD， BAC EAD 90 . BACCAE EAD CAE， 即 BAE CAD. 又 AB AC，AE AD， 第 3 页 共 9 页 ABE ACD. (2)证明： 由(1) ABE ACD 知 ACD ABE45 . 又 ACB45 ， BCD ACB ACD 90 ， DC BE.
6、方法总结直角三角形除具有两锐角互余、两直角边的平方和等于斜边的平方、斜边的中线 等于斜边的一半这些性质外，还具有外接圆半径等于斜边的一半，内切圆半径等于两直角边的 和与斜边差的一半，它的外心是斜边的中点，垂心是直角顶点等性质 考点三、勾股定理及其逆定理 【例 3】 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC6 cm， BC8 cm，现将直角边AC 沿直线 AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，求 CD 的长 解： 设 CD 长 为 x cm，由折叠得 ACD AED. AEAC6 cm，AEDC 90 ，DECDx cm. 在 RtABC 中， AC6 cm，BC8 cm， ABAC
7、2 BC262 82 10(cm) EBABAE10 64(cm)，BD BC CD(8x) cm， 在 RtDEB 中，由勾股定理得DE 2BE2DB2. x 242(8x)2，解得 x3. CD 的长为 3 cm. 方法总结1勾股定理主要的用途是已知直角三角形的两边求第三边，当我们只知道直角 三角形的一边时，如果可以找到另外两边的关系，也可通过列方程的方法求出另外两条边 2勾股定理逆定理主要是已知一个三角形的三边，判断三角形是否为直角三角形 触类旁通2 如图，在四边形ABCD 中， A90 ，AB3，AD 4，CD13，CB12， 求四边形ABCD 的面积 考点四、勾股定理及其逆定理的实际
8、应用 【例 4】 如图所示，铁路上A，B 两站 (视为直线上两点)相距 14 km ，C， D 为两村庄 (可视为 两个点 )，DA AB 于 A，CBAB 于 B，已知 DA8 km ，CB6 km ，现要在铁路上建一个土特 产品收购站E，使 C，D 两村到 E 站的距离相等，则E 站应建在距A 站多少千米处？ 第 4 页 共 9 页 分析： 因为 DA AB 于 A，CB AB 于 B，在 AB 上找一点可构成两个直角三角形，我们可想 到通过勾股定理列方程进行求解 解： 设 E 站应建在距A 站 x km 处， 根据勾股定理有8 2x262(14x)2，解得 x6. 所以 E 站应建在距A
9、 站 6 km 处 方法总结勾股定理及其逆定理的实际应用，是把实际问题转化为数学问题，建立勾股定 理或逆定理的数学模型通过解决数学问题，使实际问题得以解决 触类旁通3 有一块直角三角形的绿地，量得两直角边的长分别为6 m，8 m，现在要将绿 地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8 m 为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地 的周长 1(2012 广东广州 )在 RtABC 中， C90 ， AC9，BC12，则点C 到 AB 的距离是 () A 36 5 B12 25 C 9 4 D 33 4 2(2012 浙江湖州 )如图，在 RtABC 中， ACB90 ，AB10，CD 是 AB 边
10、上的中线， 则 CD 的长是 () A20 B10 C5 D5 2 3(2012 浙江宁波 )勾股定理是几何中的一个重要定理在我国古算书周髀算经中就有 “若勾三，股四，则弦五”的记载如图1 是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可 以用其面积关系验证勾股定理图2 是由图1 放入矩形内得到的，BAC90 ，AB 3，AC 4，点 D，E，F，G，H，I 都在矩形KLMJ 的边上，则矩形KLMJ 的面积为 () 第 5 页 共 9 页 A90 B100 C110 D121 4(2012 山东烟台 )一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D 恰好放在等腰直角三 角板的斜边AB 上， BC 与
11、 DE 交于点 M.如果 ADF 100 ，那么 BMD 为_ . 5(2012 四川巴中 )已知 a，b，c 是 ABC 的三边长，且满足关系式c 2a2b2|ab| 0，则 ABC 的形状为 _ 6(2012 重庆 )如图，在RtABC 中， BAC90 ，点 D 在 BC 边上，且 ABD 是等边三 角形若AB2，求 ABC 的周长 (结果保留根号) 1如图所示，将一个有45 度角的三角板的直角顶点放在一张宽为3 cm 的纸带边沿上，另 一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30 度角，则三角 板的最大边的长为() A3 cm B6 cm C32cm D62cm 2在 ABC 中，三边长分别为a，b，c，且 a c2b，ca 1 2b，则 ABC 是( ) A直角三角形B等边三角形 C等腰三角形D等腰直角三角形 3一个直角三角形两边的长分别为15,20，则第三边的长是() A57 B25 C57或 25 D无法确定 4如图，在RtABC 中，以三边AB，BC，CA 为直径向外作半圆，设直线AB 左边阴影部 分的面积为S1，右边阴影部分的面积和为S2，则 () AS1S2BS1S2 CS1S2D无法确定 5直角三角形纸片的两直角边长分别为6,8，现将 ABC 如图那样折叠，使点A 与点 B 重