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1、复习模块：平面向量一 、知识点 （1）平面向量的概念及线性运算 平面向量两要素：大小，方向。 零向量： 记作 0，手写时记做 0，方向不确定。 单位向量： 模为 1 的向量。 平行的向量（共线向量） ：方向相同或相反的两个非零向量，记作a/b 。规定： 零向量 与任何一个向量平行。 相等向量： 模相等 , 方向相同，记作a = b 。负向量： 与非零向量a的模相等，方向相 反的向量，记作a。规定： 零向量的负向量仍为零向量。 向量加法的三角形法则：如图 1，作 AB =a, BC =b，则向量AC 记作 ab ，即 ab = AB BC = AC，和向量的起点是向量 a 的起点，终点是向量b
2、的终点 向量加法的平行四边形法则：如图2，在平行四边形ABCD 中， AB AD = AB BC = AC , AC 所表示的向量就是AB 与 AD 的和平行四边形法则不适用于共线向量。 向量的加法具有以下的性质： （1）a0 = 0a = a； a（ - a）= 0； （2）ab=ba； （3） （ab）c = a （ bc） 向量的减法：起点相同的两个不共线向量a、 b， a 与 b 的差运算的结果仍然是向量， 叫做 a 与 b的差向量 ，其起点是减向量b的终点，终点是被减向量a 的终点 如图 3。 a- b=a+(- b)，设 a =OA ，bOB ， 则 OAOB = BA 向量的数乘
3、运算：数与向量的乘法运算。一般地， 实数与向量 a 的积是一个向量，记 作a，它的模为|aa， 若 |a0，则当0 时，a 的方向与a 的方向 相同，当0 时，a 的方向与a 的方向相反 a A a-b B b O 图3 图1 A C B a b a+b a b 图 2 A D C B 共 线 向 量 充 要 条 件 ： 对 于 非 零 向 量a 、 b， 当0时 ， 有abab 一般地，有0a= 0, 0 = 0 . 线性组合： 一般地，ab 叫做 a, b的一个 线性组合 如果 l ab，则称 l 可以用 a，b 线性表示 （2）平面向量的坐标表示 设点 1122 (,)(,)A xyB
4、xy，则起点为 11 (,)A xy ， 终点为 22 (,)B xy的向量坐标为 2121 ()ABxxyy， 设平面直角坐标系中， 11 (,)xya， 22 (,)xyb，则 1212 (,)xxyyab 1212 (,)xxyyab 11 (,)xya 由此得到，对非零向量a、b，设 1122 (,),(,),abxyxy 若 a bab 当0时， 1221 0abx yx y （3）平面向量的内积 向量 a 与向量 b 的夹角 ，记作 。 oo ba180,0, 内积的定义： 两个向量 a,b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a 与向量 b 的内积 ， 它是一个数量，又叫做数量积记作
5、ab, 即 a b a|b|cos 结论： （1）cos | a b ab . （2）当 ba 时，有 0，所以a a|a|a| |a| 2，即 |a| a a （3）当,90a b时， ab，因此，abcos900,ab 对非零向量a， b， a b0ab. 平面向量的内积的坐标表示：设平面向量a(x1,y1),b(x2,y2) a b x1x2 y1y2 夹角公式坐标表示：当 a、b 是非零向量时，cosa,b | a b ab 1212 2222 1122 x xy y xyxy 相互垂直的向量坐标表示：aba b0x1x2 y1y20 向量的模坐标表示：设 a (x,y)，则 a 22
6、 xy 二、练习题 1 下列命题正确的是（） A.单位向量都相等 B.长度相等且方向相反的两个向量不一定是共线向量 C.若 a b0，则 a 0 或 b 0 D.对于任意向量a、 b，必有 |a b|a|b| 2如图，四边形ABCD 中， AB DC ，则相等的向量是（） A. AD 与CB B. OB 与OD C. AC 与BD D. AO 与OC 3 下列命题中， 正确的是（） A.若|a|b|，则 ab B.若 a b，则 a 与 b 是平行向量 C.若|a|b|，则 ab D.若 a 与 b不相等，则向量a 与 b 是不共线向量 4如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，在向量OB
7、 ，OC ， OD ，OE ，OF ，AB ，BC ，CD ，EF ， DE ，FA 中与 OA 共线的向量有（） A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个 5若向量 a（x3，x 23x4）与AB 相等，其中A（1，2） ，B（3，2） ，则 x等于（） A.1 B.0 C.1 D.2 6已知 a（x，y） ，b (y，x)(x，y 不同时为零 )，则 a，b 之间的关系是（） A.平行B.不平行也不垂直C.垂直D.以上都不对 7在四边形ABCD 中， ABDC，且ACBD0，则四边形ABCD 是（） A.矩形 B.菱形 C. 直角梯形 D. 等腰梯形 8已知向量a=(2，1)，b=(-1，
8、k)，a (2a-b)=0，则k= （） A-12 B-6 C6 D12 9已知向量 a=(1，2)，b=(1，0)，c=(3，4)，若 为实数，(a+ b)c，则 =（） A 1 4 B 1 2 C1 D2 10若向量 a，b，c 满足 ab 且 ac，则 c (a+2b)=（） A4B3C2D0 11已知向量 a=(1，k)，b=(2，2)，且 a+b与 a 共线，那么 a b的值为（） A1 B2 C3 D4 12设向量 a，b满足|a|=|b|=1，a b=- 1 2 ，则|a+2b|= （） A2B 3 C 5 D 7 13已知向量a、b不共线，实数x、y 满足向量等式 3xa(10
9、 y)b2xb(4y 4)a，则 x_，y_. 14若 a 与 b、c 的夹角都是60 ，而 bc，且 |a|b|c1，则（ a 2c) (bc) _. 15若向量 a=(1，1)，b(-1，2)，则 a b 等于_ 16设向量 a，b满足|a|=25，b=(2，1)，且 a 与 b 的方向相反，则 a 的坐标为 _ 17 已知向量 a=(3， 1)， b=(0， -1)， c=(k，3)， 若 a-2b 与 c共线， 则 k=_ 18已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a+b 与向量 ka-b 垂直，则 k=_ 三、解答题 19已知 a 和 b 的夹角为60 ，|a|10，|b| 8，求： （1）|ab|； （2）ab 与 a 的夹角 的余弦值 . 20 已知 a(3， 4)，b(4，3)，cxa yb，且 ac， |c| 1，求 x 和 y 的值 . 21已知 a（ ，2)，b (3，5)且 a 与 b 的夹角是钝角，求实数 的取值范围。 22若向量 a=(1，2)，b=(1，-1)，求 2a+b与 a-b 的夹角。 23若|a|b|1，ab，且 2a3b 与 ka4b也互相垂直，求 k 的值。