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1、复习引入： 新授： 1. 向量的概念 把既有大小、又有方向的量，叫做向量记为向量a,b,c,.等，在书写时，则在小写西文字 符的上方加一个小箭头，例如 a ,b ,c ,.等 如果向量的方向限于平面内，则叫做平面向量 向量的大小是一个非负数量，叫做向量的模记为 |a |,|b|,|c|,.或|a |,|b |,|c |,. 特别地，若一个向量的模为单位1，则叫做 单位向量 ，单位向量常记作e若一个向量的模为 0，则叫做 零向量 ，零向量总是记作0零向量的长度为0，且规定 零向量0的方向是可以任意确 定的 为了更直观的反映确定向量的大小、方向，我们又把向量 表示成如图7-2(1)上所示的带箭头的
2、短线段，箭头的方向表示 了它所表示的向量的方向，而线段的长度则是它所表示的向量 的模 (即大小 )有时，为了突出短线段的起终点，会以字符标 出起终点 (见图 7-2(2) ，此时可以以AB ,CD, 11C B等表 示向量，而向量的模，也就对应地表示为| AB |,|CD|,| 11C B| 由于我们所研究的向量只含有大小、方向两个要素，因此，即使当我们用带箭头的短线段表 示向量时，与带箭头的短线段的起终点是没有关系的为了突出这一点，有时又把向量记作自由 向量 例 1 设矩形 ABCD 的边长为2 和 3，其所有的边及对角线，能构成多少向量？这些向量的 模是多少？ 课内练习1 1. 一个正六边
3、形的所有边及中心到各顶点的连线，能构成多少向量？试写出全部所构成的向 量；若正六边形的边长为1，求全部向量的模，并判断哪些向量是单位向量？ ca 图 7-2(1) b D C 图 7-2(2) B A B1 C1 2. 向量的比较 (1)向量相等 任意两个数量a,b 都可以比较，其关系不外乎相等(a=b)或不相等 (a b)两种，只要根据两个 数的大小就可以下结论因为向量不但有大小，而且有方向， 所以比较两个向量a ,b 的相等与否， 不但要比较它们的大小，还要比较它们的方向当且仅当a,b 的大小相等 、方向相同时，才能说 a,b 相等 ，并表示成a =b；否则 a , b 就不相等 (ab)
4、在例 1 中的相等向量有且仅有 AB = DC , BA =CD, BC = AD , CB = DA ， 更仔细地说， 不相等的两个数量还可以有大于、小于的关系， 那么向量之间是否也能有大于、 小于关系呢？因为大小、方向的整体组成向量，方向是不能比较大小的，因此向量本身之间也不 能比较大小 ，即两个向量不能谈及孰大孰小当然，向量的模是数量，因此向量的模是可以比较 大小的即使两个向量a ,b 有相同的方向，且|a |b|，我们仍然只能说向量a 的模大于向量b 的 模，而不能说向量a 大于向量b 若 a=b，则把表示 a ,b 的箭头短线段的始点移到同一点时，它们必重合；反之把两条箭头短 线段的
5、始点移到同一点时重合，那么这两条短线段表示相等的向量 或同一向量 例 2 物体从点A 出发位移，第一次沿水平线位移到B，位移量为3；然后继续沿铅直方向 向下位移到C，位移量为4 (1)试以向量表示这二次位移，并在平面上作出这两个位移向量； (2)在 A 的铅直下方4 处标注点D，能否说第二次位移的位移向量是AD ？为什么？ (2)相反向量 对数量，若两个数a,b 的绝对值相等但符号相反，则把a,b 叫做一对相反数对向量，若两 个向量 a , b 的长度相等但方向相反，则这一对向量叫做相反向量，记作a=-b 或-a =b对调一个 向量的始点和终点，即得到了它的相反向量，即AB =-BA例如在例1
6、 所有的向量中，共有如 下六对相反向量： AB =- BA , BC =- CB , DC =-CD, DA =- AD , AC =-, CA , BD =- DB 例 3 对例 2 的问题，若记第一次位移向量为a ，第二次位移向量为b，现继续作第三、四 次位移，第三次位移是从C 出发向左移动3 到 D，第四此则从D 返回 A试以 a, b 表示第三、 四次位移 (3)平行向量 若两个向量a , b 的方向相同或相反，则把这一对向量叫做平行向量，也可以说向量a 平行 于向量 b 或向量 b 平行于向量a 规定零向量平行于任意向量. 根据平行向量的方向特征，若向量a 位于直线l 上(即 a 的
7、始终点都在l 上)，则只要平移a 的平行向量b，b 也必定能位于直线l 上，因此又把平行向量叫做共线向量 例 4 找出一个梯形各边构成的全部向量及这些向量之间存在的关系 课内练习2 1. 课内练习1 的所有向量中，有哪些是相等向量？哪些是相反向量？ 2. 作出一个梯形及其中线，可以构成多少向量？这些向量之间存在哪些关系？ 3. 以 F,F1都表 ,示方向向上、大小为 10N 的力，考察把F 作用在 物体 W 的左上角和F1作用在物体W 的右上角两种情况(如附图 )，物 体受力后的移动情况肯定不同，这与F=F1的结论矛盾吗？试作出合理 的解释 第 3 题图 W F1 F 复习引入： 新授： (1
8、)向量的加法运算 向量加法运算的法则 向量 a 加向量 b 的结果 a +b 是按照下列法则生成的一个向量c： 把 b 的始点移到a 的终点 后、从 a 的始点连到b 的终点 记作 c=a+b 与数量相加一样，把a 叫做被加向量，b 叫做加向量， c 叫做和向量 在 a , b 不平行的情况下，c 是重合 a, b 的始 点、以 a , b 为邻边组成的平行四边形的对角线向量， 其指向与 a , b 同侧 (平行四边形法则，见图 9-9(1) ； 也是是以 a 的终点作为b 的始点所组成的三角形的 第三边向量 (三角形法则 ，见图 9-9(2)对于三角形 法则我们可以归纳为：首尾相连首尾连 例
9、 4用两种方法作出图9-10(1)中向量 a , b 的和向量c 解(1)按平行四边形法则，把的始 点移到同一点构成一个以为相邻边的平 行四边形，对角线向量即为和向量c (见图 9-10(2) (2)移 b 的始点到a 的终点，从a 的 始点连向 b 的终点的向量即为和向量c(见图 9-10(3) 例 5 (1)若 b=-a，求 c=a+b； (2)若 a , b 平行，求c=a+b 例 6 已知向量a , b, c , d 如图 9- 12，求 f=a +b+c+d 解逐次应用向量加法的法则 移加向量的始点到被加向量的终点，从 图 9-9(1) c ab 图 9-9(2) c a b 图 9
10、-10(3) a b b c 图 9-10(2) c a b 图 9-10(1) 图 9-12 a b d c a b c d f 被加向量的始点连向加向量的终点，得 到和向量f 如图 9-12 所示，其中虚线表 示的向量，从左向右依次是a+b, a +b+c 课内练习3 1. 请举一个向量相加的实际问题 2. 向量相加的平行四边形法则和三角形法则能适用于怎样的情况？ 3. a+(-a )=0，因此 |a |+|-a|=0，这个结论正确吗？一般地，c=a+b，因此 |c|=|a|+|b|，这个结论 正确吗？由此可以对向量相加与向量的模相加作出怎样的结论？ 4. 矩形 ABCD如图，试求 AB
11、+ BC , BC + AB ,BA+ BC ,BA+CB 得到的和向量之间有哪些关系？ 5. 矩形 ABCD如第 4 题，求 ( AB + BC )+CD, AB +( BC +CD), AB + BC +DC , BA + BC + DA 得到的和向量之间有哪些关系？ 数量加法运算满足交换律(a+b=b+a)、结合律 (a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)，向量的加法运算 同样满足交换律和结合律 a+b=b+a ， a +b+c=(a +b)+c=a +(b+c)， (2)向量的减法运算 如同数量a,b 相减 a-b， 是被加数a 与加数 b 的相反数 -b 相加一样，所谓向量a ,
12、 b 相减 a - b， 实际上是向量a 与向量 b 的相反向量 - b 相加，即a+(- b)应用向量加法法则，可以得出向量减 法运算的法则图9- 13(1)中是已知向量a , b；图 9-13(2) 显示了 a +(- b)；图 9-13(2)显示了 a- b 的直接运算法则，法则的文字 表述是： a- b 的结果是一个向量c， 把 a , b 的始点移到同一点，从 b 的终点连向a 的终点的向量就是c(三角形法则 ) 对于三角形法 则我们可以归纳为：首同尾连，剪头指向被减 第 4 题图 A B C D 图 9-13(1) a b 图 9-13(2) -b a -b a c 图 9-13(
13、3) a b c 记作c=a- ba 叫做被减向量，b 叫做减向量， c 叫做差向量 例 7 在ABC 中，把每条边都作为从一个顶点到另一个顶点的向量，并把这些向量叫做边 向量为了使CA 是另两条边向量的差，另两条边向量应是怎样的？ 例 8 在ABC 中，若边向量为AB ,AC , BC ，求 (1)a= AB + BC + AC ；(2)求 b= AB - BC - AC 课内练习4 1. 在ABC中，把每条边都作为从一个顶点到另一个顶点的向量，并把这些向量叫做边向 量为了使AB 是另两条边向量的差，另两条边向量应是怎样的？ 2. 在矩形 ABCD 中的边向量为AB ,BC ,CD，求 (1
14、)a= AB - BC ；(2)b= BC - AB ；(3)c=CD- BC ；(4)d = AB - BC - CD 因为向量相减是被减向量与减向量的负向量相加，而向量相加运算满足交换律、结合律，这 样向量的减法运算所能满足的运算律也就唾手可得了，例如 a- b=-b+a，a - b- c=a- c- b=a- (b+c) (3)向量的数乘运算 在数量运算中，若a=2，b 是 a 的两倍，则b=2a在例8 向量运算中，我们两次都遇到 a = AC + AC ,b = CB + CB 这样两个相同的向量相加问题，能不能也能简写成a =2 AC , b=2 CB 呢 ？ 这 完 全 取 决 与
15、 如 何 规 定2 AC ,2 CB 的 含 义 ， 若 规 定 它 们 的 含 义 确 实 与 AC + AC ,CB +CB 相同，那么这种简写就完全合法且合理了为此我们作如下的定义： 一个实数乘以向量a 的结果是一个平行于a 的向量 b，b 的模是 a 的模 | |倍，即 |b|=| | |a|； b 的方向当0 时与 a 的方向相同 ，当0 时与 a 的方向相反 记作 b=a或 b= a ， 把向量的这种运算叫做向量的数乘运算 根据向量数乘运算的这种规定，立即可知 -a=-1 a ，a +a=2a， -a-a =-2a 把数相加和向量相加所满足的运算律结合起来，立即可得向量数乘运算满足
16、下述两个分配 律： ( + )a = a + a ， (a+b)= a +b， 其中, 是任意实数， a , b 是任意向量 根据向量的数乘运算,我们有： 如果有一个实数，使 b=a（a 0） ，则 a 与 b 是平行向量； 反之，如果a 与 b 是平行向量，则有且只有一个实数，使 b=a （a 0 ） 例 8 设 c=-2a , d =-3a, f=-2b, g =a -2b，求 h =2a +3f- 3d+4g+2b- 2c 解h =2a +3f -3d +4g+2b- 2c =2a+3(-2b)-3(-3a)+4(a -2b)+2b- 2(-2a ) =2a - 6b+9a +4a -8
17、b+2b+4a =(2+9+4+4) a-( 6+8-2)b=19a -12b 例 9 ABC 的 AC 边长为 a，现把 AB ,BC 边各延长原来的0.8 倍成为A1BC1，求边 A1C1 的长 (见图 9-15) 课内练习5 1. 已知向量a，作出向量 -2a , 3a 2. 已知向量a 的模为 s，求向量b=0.1a , c =-3a , d =2.5a 的模 3. 设 c=-a , d =-3b, f =2b, g =-2a -b，求 h=2a- 3c + 3f- 3d- 3g-2b 4. 甲、乙两人从同一点出发，取不同方向前行 当甲行进2km、 乙行进 6km 时两人相距4km，
18、问当甲、乙继续按原方向分别继续行进1.5km、4.5km 时，两人相距多少？ 复习引入： 新授： 1 平面向量的直角坐标 (1)坐标基底向量 设在平面上已经建立了一个直角坐标系xOy 方向为 x 轴正向的 单位向量i、方向为y 轴正向的单位向量j 叫做该坐标系的坐标基底向 量(见图 9-16) (2)平面向量的直角坐标 在坐标平面上给定了向量a ，平移其始点到原点后(见图 7-17)，设 其终点 A 的坐标为 (x,y)把 (x,y )叫做向量a 的坐标，记作 a=OA=(x,y) 若向量 a 的坐标为 (x,y)，则其模可以用坐标表示为 |a |= 22 yx (7-2-1) 坐标基底向量也
19、有其坐标，分别是i=(1,0), j=(0,1) 以原点 O 为始点、点A 在 x,y 轴上的投影为终点，是两个分别 平行于 i, j 的向量，根据向量加法定义，有 a =xi+yj，(7-2-2) 即有了向量的坐标，我们可以把它分解成坐标基底向量的组合 因为坐标基底向量也是自由的，你也可以不平移a，直接在a 上作分解 (见图 7-17)例如从图7-18，我们就可以直接看出 AB=i-2j =(1,-2) 课内练习1 1. 写出图 9-18 中向量OP,EF,CD的坐标，并求它们 的模 2. 向量关系的坐标表示 向量之间有相等、相反、平行(共线 )等关系当知道 O a j A y i x 图
20、7-17 xi yj xi yj x y O B D P C A E F 图 9-18 O j y i x 图 7-16 了向量的坐标后，这些共线的判定就变得十分简单 (1)相等 ：若 a =(a1,b1),b=(a2,b2)，则 a=ba1=a2, b1=b2 即两个相等向量的坐标相等，坐标相等的向量相等 (2)相反 ：若 a =(a1,b1),b=(a2,b2)，则 a=-ba1=-a2, b1=-b2 即两个相凡向量的坐标对应地互为相反数；坐标对应互为相反数的向量 相反 (3)平行 (共线 )：向量a=(a1,b1),b=(a2,b2)平行移 a ,b 的始点到 原点后，它们的终点A,B
21、 与原点共线OA 1AOB1B(见图 7-19) 2 1 2 1 b b a a 所以 两个向量的坐标对应成比例，则它们平行；平行向量的坐标必定对应成比例 例 1 已知向量a =(2,-1)，当 x 为多少时，向量b=(x,2)与 a 平行？ 解a/b 2 12 x x=-4所以当 x=-4 时 a/b 课内练习2 1. 根据向量坐标，判断下列向量中存在的共线： a=(2,-1), b=(-2, 1), c =(-6, 3), d =(42,-21), e =(2,-1), f =(8,-4), g =(-2,-1) 2. 已知向量a=(9,-4) ，当 y 为多少时，向量b=(-12,y)与
22、 a 平行？ 3平面向量运算的直角坐标表示 把向量数乘、加减法的运算法则应用于向量对坐标基底的分解式(7-2-2)，即可得向量运算的 坐标表示 (1)数乘 ：设 a =(x,y)，即 a=xi+yj，b= a，则 b= a= (xi+yj)= xi+ yj=( x, y)， 即a = (x,y )=( x, y)(7-2-3) 即向量 a 数乘后所得向量的坐标，是a 的纵、横坐标的倍 (2)加减法 ：设 a =(a1,b1)，b=(a2,b2)，则 O a A y x 图 7-19 b B A1 B1 a1 a2 b1 b2 a=a1i+b1j，b=a2i+b2j， a+b=(a1i+b1j)
23、+(a2i+b2j)=(a1+a2)i +(b1+b2)j， 即a+b=(a1+a2, b 1+b2)(7-2-4) 同理也有 a -b=(a1-a2, b1-b2) (7-2-5) 所以 向量 a , b 的和、差向量的坐标，等于 a , b 的坐标对应的和、差 (3)给定始终点的向量的坐标 向量 a =AB若已知点A,B 在坐标 A(x1,y1),B(x2,y2)(见图 7-20)， 则OA=(x1, y1),OB =(x2, y2)， AB=OB-OA=(x2-x1,y2-y1)(7-2-6) 所以 给定了始终点坐标的向量的坐标，等于终点坐标对应减去始点坐 标 例 2已知 a=(1, -
24、2), b=(2, 3)，求 a + b, ab, 2a3b 例 3 已知 A(1, 2), B( 2, 1)，求AB,BA 解应用公式 (10-2-6) ， AB=(-2-1,1-2)=(-3,-1) ；BA=(1-(-2),2-1)=(3,1) 例 4已知平行四边形ABCD 的顶点坐标A(1,1), B(2,3), C(-1,4)(见图 7-21)，求顶点D 点坐标 例 5 已知 A(2,3), B(-2,5) , 且AB=2AC，求 C 点的坐标 例 6 某人第一天按图9-23 所示方向、以速度5km/h 步行 3 小时到达 A 处；第二天又按图9-23 所示方向、以速度15km/h 骑
25、了 3 小时自行车到达B 处问 B 离此人出发点的直线距离是多少？ 课内练习2 1. 已知 a=( 1, 2), b=(2,2), 求 a+ b, ab,a+2b 2. 已知 a =( 2+x, 4), b=( 3,1 y), 且 a =b, 求 x,y 3. 根据下列条件求AB与BA的坐标： x 图 7-20 y O A B x B O D C A y 图 7-21 (1)A( 1,0), B(2,1)； (2)A( 2,1), B(3,1)；(3)A(2,1), B(0, 2)；(4)A( 2,4), B( 3,8) 4. 已知平行四边形ABCD 的 A(1, 0), B(2, 5), C
26、( 1, 1), 求 D 点坐标 5. 已知 A(6,3), B(3,5), 且AB= 2AC，求 C 点的坐标 复习引入： 新授： 1. 向量的数量积 (1)平面向量所成的角 给定两个非零平面向量a, b，移它们的始点到同一点，以表示向量 的线段所在直线为始终边的角，叫做向量 a, b 所成的角 ，记作 ( a b)( 见 图 7-25) ；为了使两个非零向量所成的角唯一，规定 0 ( ab)零向量 0与任何向量所成的角认为可以任意为了方便有时也把( ab)叫做向量之间的夹角 从向量所成角定义，立即可知 (ab)=0 a / b ( 即 a, b 共线 ) ；( a b)= a =- b (
27、 即 a , b 互为相反向量 ) 特别地，当 ( a b)= 2 ，则我们说a 与 b 垂直，记作ab (2)向量的数量积 已知向量a , b，a ,b 的 数量积是一个以下式定义的数量：a b=| a| b|cos( a b) 其中 ( a b) 表示向量a , b 之间所成的角 向量作为既有方向、又有大小的量，与数量有着区别这种区别在运算方面的体现，是向 量的有一些运算在数量运算中是找不到与之对应的类别的，数量积就属于这种运算这是因为 向量的数量积，反映的是一个向量与它在另一个向量方向上投影的积 例 1求下列向量的数量积： (1)|a|=5,|b|=4, (a b)= 2 3 ，求 a
28、b； (2)a =(3,4),|b|= 2 1 , (ab)= 2 ，求 a b； (3)a=(3,4), b =(-3,-4)，求 a b； (4)a =(1,3) ，求 a a ； (5) a=0，b=(x,y)，求 a b 课内练习1 1. 求下列向量的数量积： (1)|a|=2,|b|=8, (a b)= 4 ，求 a b； (2)a =(1,3),|b|= 3 1 , (ba )= 2 ，求 a b； (3) a=(-3,-2), b=(3,2) ，求 a b； (4)a =(5,3) ，求 a a； (5) a =(10,y) ，b=0，求 a b (3) 向量数量积的基本运算法则
29、 根据向量数量积的定义，立即可知成立如下运算法则： 交换律： a b=b a ； 图 7-25 (ab) a b 数乘分配率：( a ) b=a ( b)= (a b)，(任意R)； 分配率： (a +b) c=a c+b c 例 2设AB=(3,-1), |CD|=2, =(ABCD)= 3 ，求 (1)(2 AB ) (3CD)；(2)( AB +2CD) AB ；(3)(-4 AB ) ( AB +2CD) 课内练习2 1已知 |a |=4, |b|=3， a 与 b 的夹角为 6 5 ，求 (2a b) (a +2b) 2已知 A(-1,2),B(1,4)，|CD|=4, =(ABCD
30、)= 3 ，求 (1) AB (3CD)；(2)(2 AB +CD) AB ；(3) AB (- AB +2CD) (4)向量数量积的基本结论 从向量数量积的定义，可以得到一些经常用到的基本结论，这些结论是必须熟记的 aba b=0； 当 a /b 且同向时 ，a b=|a |b|；当 a /b 且方向相反时 ，a b=-|a |b|； a a =|a| 2，所以 |a|= a a； cos(ab)= |ba ba (7-3-2) 最后一个公式(9-3-2)对求向量所成角十分有用 例 3 已知 |a|=4, |b|=5，分别在下列条件下求a b：(1)a/b ； (2)ab 例 4 已知 |a
31、|=2, |b|=4，a b=-6，求 (a b)的余弦值 课内练习3 1. 已知 a /b，|a |=1, |b| 2，求a b 2. 下述四个命题中哪些是正确的，哪些是错误的？并说明理由： (1)0 a =0；(2)|a |=a a； (3)a b=|a|b|；(4)a b=|a b|；(5)|a b|=|a |b|cos(ab)|； (6)(a b)(a b)=(a a)(b b)=|a | 2|b|2；(7)a /b 存在实数，使 a b= |a|2； (8)(a+b) (a -b)=|a | 2-|b|2；(9)(a+b) (a -b)=a2-b2 3. 已知 |a |=1, |b|
32、=4, a b=23，求 (a b) 2平面向量数量积的坐标表示 (1)平面向量数量积的坐标表示 向量数量积 (9-3-1) 是不依赖于坐标系的几何定义，如果在坐标平面上讨论，把向量数字化(即求 出向量的坐标)，那末就能以坐标计算来表示向量的数量积 首先考察坐标基底向量i , j 的数量积，有 i i=1； i j=j i=0；j j=1(4) 现设向量a , b 的坐标为a =(x1,y1), b=(x2,y2)，即 a =x1i +y1j, b=x2i+y2j， 则a b=(x1i +y1j) ( x2i +y2j)=x1x2i i + y1y2j j+ x1y2i j+ y1x2j i
33、， 即a b=x1x2+y 1y2 (7-3-3) 这就是说， 两个向量的数量积等于它们坐标的的对应乘积的和 以坐标表示向量数量积的基本公式，能得到我们熟知的一些公式： 设 a =(x, y)，则 a a=|a|2=x 2+y2，即向量模公式 |a |= 22 yx； 特别地当 a = AB ，且起终点坐标A(x1,y1),B(x2,y2)为已知时，由 AB =(x2-x1,y2-y1)，即得 |a |=|AB|= 2 12 2 12 )()(yyxx， 此即为两点间的距离 例 5求下列向量的数量积： (1)a =(2, -1), b=(3, 1)，求 a b；(2)c=(-1, -1), d
34、=(1, -1) ，求 c d 例 6已知 a =(1, 2), b=(-2, 3) ，求 (a +b) (a -b), (a- b) (2a +b) 例 7 (1)已知 a=(-2, 6), a b=-6，设 b=(6, y)，求 y ； (2)已知 a=(2,2), ( a b)= 4 , |b|=2，求 b 的坐标 课内练习4 1. 求下列向量的数量积： (1)a=(-2, 1), b=(3, -1)，求 a b；(2)c=(4, -1), d =(2, -1)，求 c d 2. 已知 a =(2, -1), b=(-1, 5)，求 (2a +b) (2a -b), (a -2b) (2
35、a +b) 3. 设 a =(x, 6), a b=-6, b=(2, -1) ，求 x 4. 已知 |a |=1, (a b)= 4 3 , b=(-1,2)，求 a 的坐标 (2)平面向量所成角的计算公式 把( 9-3-3)向量模计算公式代入已有的向量所成角计算公式(7-3-2)，得 cos(a b)= 2 2 2 2 2 1 2 1 2121 yxyx yyxx (7-3-4) 直线间夹角或向量间所成角的计算，一直是令人头痛的事(7-3-4) 表明，只要知道向量的坐标， 就能计算出它们之间的所成角，是今后计算的主要手段 特别地，从向量数量积基本结论和(7-3-4)，还能得到 abx1x2
36、+ y1y2=0，(7-3-5) 这也是用来判定向量垂直的主要手段之一 例 8 求向量 a 与 b 所成角： (1)a =(2,1) , b=(3,-1)； (2) a=(2,-1) , b=(-3,-1) 例 9已知点 A(1,2)，B(2,3)，C( 2,5) 求证BAC = 2 课内练习5 1求求向量a 与 b 所成角： (1)a=( 1, 2), b=(2, 3)；(2)a=( 1, 2), b=(2, 5) 2. 证明以 A、B、C 为顶点的三角形是直角三角形： (1) A( 1, 4), B(5, 2), C(3, 4)；(2)A( 2, 3), B(19, 4), C( 1, 6) 3. 已知 a =(4, 2), b=( 3, 3)，当 k 为何值时， a+b 与 ka2b 垂直？ 4. 已知点 A(0,1), B(5,2)，求点 P(x,y)，使 PAPB 且 PA=PB