人教版2018年八年级下册初二数学第十七章勾股定理经典例题(含答案解析).pdf

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1、1 经典例题透析 类型一：勾股定理的直接用法 1、在 RtABC 中， C=90 (1)已知 a=6， c=10，求 b， (2)已知 a=40，b=9，求 c； (3)已知 c=25，b=15，求 a. 思路点拨 : 写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。 解析： (1) 在 ABC 中， C=90， a=6，c=10,b= (2) 在 ABC 中， C=90， a=40，b=9,c= (3) 在 ABC 中， C=90， c=25，b=15,a= 举一反三 【变式】 :如图 B=ACD=90, AD=13,CD=12, BC=3,则 AB 的长是多少 ? 【

2、答案】 ACD =90 AD =13, CD=12 AC 2 =AD2CD2 =13 2122 =25 AC=5 又 ABC=90 且 BC=3 由勾股定理可得 AB 2 =AC 2BC2 =5 232 =16 AB= 4 AB 的长是 4. 类型二：勾股定理的构造应用 2、如图，已知：在中，. 求： BC 的长 . 思路点拨 ：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于 D，则有 ，再由勾股定理计算出AD、DC 的长，进而求出BC 的 长 . 解析 ：作于 D，则因， （的两个锐角互余） （在中，如果一个锐角等于， 那么它所对的直角边等于斜边的一半）. 根据勾股定理，在中， 2 . 根据勾股

3、定理，在中， . . 举一反三 【变式 1】如图，已知：，于 P. 求证：. 解析 ：连结 BM ，根据勾股定理，在中， . 而在中，则根据勾股定理有 . 又（已知）， . 在中，根据勾股定理有 ， . 【变式 2】已知：如图，B= D=90， A=60， AB=4 ，CD=2。求：四边形ABCD 的面积。 分析 ：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC ，或延长 AB、DC 交于 F，或延长AD 、BC 交于点 E，根 据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。 解析 ：延长 AD、BC 交于 E。 A=60， B=90， E=30。 AE=2AB=8 ，CE

4、=2CD=4 ， BE 2=AE2-AB2=82-42=48，BE= =。 DE 2= CE2-CD2=42-22=12， DE= =。 S 四边形 ABCD=SABE-SCDE=AB 2 BE-CD2 DE= 类型三：勾股定理的实际应用（一） 用勾股定理求两点之间的距离问题3、如 图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A 点出发，沿北偏东60方向走了 3 到达 B 点，然后再沿北偏西30方向走了500m 到达目的地C 点。 （1）求 A、C 两点之间的距离。 （2）确定目的地C 在营地 A 的什么方向。 解析 ： （1）过 B 点作 BE/AD DAB= ABE=60 30+CBA+ ABE

5、=180 CBA=90 即 ABC 为直角三角形 由已知可得：BC=500m，AB= 由勾股定理可得： 所以 （2）在 RtABC 中， BC=500m ，AC=1000m CAB=30 DAB=60 DAC=30 即点 C 在点 A 的北偏东30的方向 举一反三 【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5 米，宽 1.6 米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该 工厂的厂门 ? 【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH如图所示，点D 在 离厂门中线0.8 米处，且CD，与地面交于H 解： OC 1 米 (大门宽度一半)， OD 0.8

6、米 （卡车宽度一半） 在 RtOCD 中，由勾股定理得： CD .米， C . . .（米） .（米） 因此高度上有0.4 米的余量，所以卡车能通过厂门 4 （二）用勾股定理求最短问题 4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、 B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如 图实线部分请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线 思路点拨 ：解答本题的思路是：最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算线路长，然后进行比较，得出结 论 解析 ：设正方形的边长为1，则图（ 1） 、图

7、（ 2）中的总线路长分别为 AB+BC+CD 3，AB+BC+CD 3 图（ 3）中，在RtABC 中 同理 图（ 3）中的路线长为 图（ 4）中，延长EF 交 BC 于 H，则 FH BC，BH CH 由 FBH 及勾股定理得： EA ED FBFC EF1 2FH1 此图中总线路的长为4EA+EF 32.8282.732 图（ 4）的连接线路最短，即图（4）的架设方案最省电线 举一反三 【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高为4cm，是上底面的直径一只蚂蚁从点 A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程 5 解： 如图，在 Rt中，底面周长的一半cm， 根据勾股定理得

8、 （提问：勾股定理） AC （cm） （勾股定理） 答：最短路程约为cm 类型四：利用勾股定理作长为的线段 5、作长为、的线段。 思路点拨： 由勾股定理得，直角边为1 的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为和 1 的直角三角形斜边 长就是，类似地可作。 作法 ：如图所示 （1）作直角边为1（单位长）的等腰直角ACB ，使 AB 为斜边； （2）以 AB 为一条直角边，作另一直角边为1 的直角。斜边为； （3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形，这样斜边、的长度就是 、。 举一反三【变式】在数轴上表示的点。 解析： 可以把看作是直角三角形的斜边， 为了有利于画图让其他两边的长为整数， 而 10

9、 又是 9 和 1 这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3 和 1。 作法 ：如图所示在数轴上找到A 点，使 OA=3 ，作 AC OA 且截取 AC=1，以 OC 为半径， 以 O 为圆心做弧，弧与数轴的交点B 即为。 类型五：逆命题与勾股定理逆定理 6 6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确 1原命题：猫有四只脚（正确） 2原命题：对顶角相等（正确） 3原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等（正确） 4原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等（正确） 思路点拨： 掌握原命题与逆命题的关系。 解析： 1. 逆命题：有四只脚的是猫（不正确） 2. 逆命题：相等的角是对顶

10、角（不正确） 3. 逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上?（正确） 4. 逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上（正确） 总结升华： 本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。 7、如果 ABC 的三边分别为a、b、c，且满足a 2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断 ABC 的形状。 思路点拨 ：要判断 ABC 的形状，需要找到a、 b、c 的关系，而题目中只有条件a 2+b2 +c 2+50=6a+8b+10c，故只有从 该条件入手，解决问题。 解析 ：由 a 2+b2+c2+50=6a+8b+10c ，得 ： a 2-6a+9+b2-8b+16+c2-1

11、0c+25=0, (a-3) 2+(b-4)2+(c-5)2=0。 (a-3) 20, (b-4)20, (c-5)2 0。 a=3，b=4，c=5。 3 2+42=52, a 2+b2=c2。 由勾股定理的逆定理，得ABC 是直角三角形。 总结升华 ：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中也常要用到。 举一反三 【变式 1】四边形ABCD 中， B=90， AB=3 ，BC=4 ，CD=12， AD=13 ，求四边形ABCD 的面积。 【答案】：连结 AC B=90， AB=3 ， BC=4 AC 2=AB2+BC2=25（勾股定理） AC=5 AC 2+CD2=16

12、9，AD2=169 AC 2+CD2=AD2 ACD=90 （勾股定理逆定理） 【变式 2】已知 :ABC 的三边分别为m 2n2,2mn,m2+n2(m,n 为正整数 ,且 mn),判断 ABC 是否为直角三角形 . 分析 :本题是利用勾股定理的的逆定理，只要证明 :a 2+b2=c2 即可 证明： 7 所以 ABC 是直角三角形. 【变式 3】如图正方形ABCD ，E 为 BC 中点， F 为 AB 上一点，且BF=AB。 请问 FE 与 DE 是否垂直 ?请说明。 【答案】答： DEEF。 证明：设 BF=a，则 BE=EC=2a, AF=3a ，AB=4a, EF 2=BF2+BE2=

13、a2+4a2=5a2； DE 2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。 连接 DF（如图） DF 2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2。 DF 2=EF2+DE2, FEDE。 经典例题精析 类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法 1、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。 思路点拨： 在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值设未知数，再根据勾股定理 列出方程，求出未知数的值进而求面积。 解析： 设此直角三角形两直角边分别是3x，4x，根据题意得： （3x） 2+（ 4x）2202 化简得 x 216； 直角三角形的面积

14、3 3x3 4x6x 296 总结升华： 直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解。 举一反三【变式 1】等边三角形的边长为2，求它的面积。 【答案 】如图，等边ABC ，作 AD BC 于 D 则： BD BC （等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合） AB ACBC2（等边三角形各边都相等） BD 1 在直角三角形ABD 中， AB 2AD2+BD2，即： AD2AB2BD2413 AD SABC BC2 AD 注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a，则其面积为a。 【变式 2】直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。 【答

15、案 】设此直角三角形两直角边长分别是x，y，根据题意得： 8 由（ 1）得： x+y7， （x+y ） 249，x2+2xy+y249 (3) (3)(2)，得： xy12 直角三角形的面积是xy3 126（cm 2） 【变式 3】若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求 n。 思路点拨： 首先要确定斜边（最长的边）长n+3，然后利用勾股定理列方程求解。 解：此直角三角形的斜边长为n+3，由勾股定理可得： （n+1） 2+（n+2）2（ n+3）2 化简得： n 24 n 2，但当 n 2 时， n+1 10， n2 总结升华： 注意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平

16、方，在题目没有给出哪条是直角边哪条是斜 边的情况下，首先要先确定斜边，直角边。 【变式 4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（） A、 8，15， 17 B、4， 5，6 C、5，8， 10 D、8，39，40 解析： 此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断， 对数据较大的可以用c 2a2+b2 的变形： b2c2a2（ ca） （c+a）来判断。 例如：对于选择D， 8 2（ 40+39）3（ 4039） ， 以 8， 39，40 为边长不能组成直角三角形。 同理可以判断其它选项。【答案】：A 【变式 5】四边形ABCD 中， B=90， AB=3，BC=4 ，CD=12，AD=13

17、 ，求四边形ABCD 的面积。 解：连结 AC B=90， AB=3 ，BC=4 AC 2 =AB 2+BC2=25（勾股定理） AC=5 AC 2 +CD 2=169，AD2=169 AC 2 +CD 2=AD2 ACD=90 （勾股定理逆定理） S 四边形 ABCD=SABC+SACD=AB2 BC+AC 2 CD=36 类型二：勾股定理的应用 2、如图，公路MN 和公路 PQ 在点 P 处交汇，且 QPN30，点 A 处有一所中学，AP 160m。假设拖拉机行驶 时，周围 100m 以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN 上沿 PN 方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说 明理由，

18、如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？ 思路点拨：（1）要判断拖拉机的噪音是否影响学校A，实质上是看A 到公路的距离是否小于100m, 小于 100m 则受 影响，大于100m 则不受影响，故作垂线段AB 并计算其长度。 （ 2）要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学 校 A 的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。 解析 ：作 AB MN ，垂足为B。 在 RtABP 中， ABP 90， APB30，AP160， AB AP80。 （在直角三角形中，30所对的直角边等于斜边的一半） 点A 到直线 MN

19、 的距离小于100m, 这所中学会受到噪声的影响。 如图，假设拖拉机在公路MN 上沿 PN 方向行驶到点C 处学校开始受到影响，那么AC 100(m)， 9 由勾股定理得：BC 21002-8023600, BC60。 同理，拖拉机行驶到点D 处学校开始脱离影响，那么，AD 100(m)，BD 60(m), CD120(m)。 拖拉机行驶的速度为: 18km/h5m/s t120m5m/s24s。 答：拖拉机在公路MN 上沿 PN 方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24 秒。 总结升华 :勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,若图形缺少直角条件,则可以通过作辅助垂线的方法,构造

20、直角三 角形以便利用勾股定理。 举一反三【变式 1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路” 。 他们仅仅少走了_步路（假设2 步为 1m） ，却踩伤了花草。 解析：他们原来走的路为3+47(m) 设走“捷径”的路长为xm，则 故少走的路长为752(m) 又因为 2 步为 1m，所以他们仅仅少走了4 步路。 【答案】 4 【变式 2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1 的正三角形，这样的三角 形称为单位正三角形。 （1）直接写出单位正三角形的高与面积。 （2）图中的平行四边形ABCD 含有多少个单位正三角形？平行

21、四边形ABCD 的面积是多少？ （3）求出图中线段AC 的长（可作辅助线） 。 【答案】（1）单位正三角形的高为，面积是。 （2）如图可直接得出平行四边形ABCD 含有 24 个单位正三角形，因此其面积。 （3）过 A 作 AK BC 于点 K（如图所示），则在 RtACK 中， ，故 类型三：数学思想方法（一）转化的思想方法 我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决 3、如图所示，ABC 是等腰直角三角形，AB=AC ，D 是斜边 BC 的中点， E、F 分别是 AB 、AC 边上的点，且DE 10 DF，若 BE=12，CF=5

22、求线段EF 的长。 思路点拨： 现已知BE、CF，要求EF，但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是线段的转化，根据直角三角形 的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接AD 解：连接 AD 因为 BAC=90 ， AB=AC 又因为 AD 为 ABC 的中线， 所以 AD=DC=DB AD BC 且 BAD= C=45 因为 EDA+ ADF=90 又因为 CDF+ ADF=90 所以 EDA= CDF 所以 AED CFD （ASA） 所以 AE=FC=5 同理： AF=BE=12 在 RtAEF 中，根据勾股定理得： ，所以 EF=13。 总结升华 ：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾

23、股定理等知识。通过此题，我们可以了解：当已知的线段和所求 的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。 （二）方程的思想方法 4、如图所示，已知ABC 中， C=90， A=60，求、的值。 思路点拨： 由，再找出、的关系即可求出和的值。 解：在 Rt ABC 中， A=60， B=90-A=30， 则，由勾股定理，得。 因为，所以， ，。 总结升华： 在直角三角形中，30的锐角的所对的直角边是斜边的一半。 举一反三：【变式 】如图所示，折叠矩形的一边AD ，使点 D 落在 BC 边的点 F 处，已知 AB=8cm ，BC=10cm ，求 EF 的长。 解： 因为 ADE 与 AFE 关于 AE 对称，所以AD=AF ，DE=EF 。 因为四边形ABCD 是矩形，所以B= C=90， 在 RtABF 中，AF=AD=BC=10cm ，AB=8cm ， 所以。 所以。 设，则。 在 RtECF 中，即，解得。 即 EF 的长为 5cm。