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1、第 1 页 共 7 页 随机事件的概率学案 考情分析 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及概率与频率的区别。 2.了解两个互斥事件的概率加法公式 考纲解读： 1.随机事件的概率和互斥事件有一个发生的概率加法公式是高考的重点和热点。 2.随机事件的概率常与排列、组合等知识相结合多以选择题或填空题的形式进行考查。 3.互斥事件的概率加法公式常出现在与分布列期望有关的解答题的运算步骤中. 基础知识 1随机事件和确定事件 (1)在条件 S下，一定会发生的事件叫做相对于条件S的必然事件 (2)在条件 S下，一定不会发生的事件叫做相对于条件S的不可能事件 (3)必然事件与不可能
2、事件统称为确定事件 (4)在条件 S下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件 (5)确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A，B，C表示 2频率与概率 (1)在相同的条件 S下重复 n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称 n 次试验中事件 A 出现的 次数 nA为事件 A 出现的频数，称事件A 出现的比例 fn(A)n A n 为事件 A 出现的频率 (2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率 fn(A)稳定在某个常 数上，把这个常数记作P(A)，称为事件 A 的概率，简称为 A 的概率 3互斥事件与对立事件 (1)互斥事件：若 AB 为不可能事件 (AB
3、?)，则称事件 A 与事件 B 互斥，其含义是：事件 A 与事件 B 在任何一次试验中不会同时发生 (2)对立事件：若 AB 为不可能事件，而 AB 为必然事件，那么事件A 与事件 B 互为对立事 件，其含义是：事件A 与事件 B 在任何一次试验中有且仅有一个发生 4概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围： 0P(A)1. (2)必然事件的概率： P(A)1. (3)不可能事件的概率： P(A)0. (4)互斥事件的概率加法公式： P(AB)P(A)P(B)(A，B 互斥) P(A1A2 An)P(A1)P(A2) P(An)(A1，A2， An彼此互斥 ) 第 2 页 共 7 页 (5)对
4、立事件的概率： P( A )1P(A) 注意事项 1.互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立 事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互 斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件 2.求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法： (1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和 公式计算； (2)间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)1P( A )，即运用逆向思维 (正难 则反)，特别是 “至多”、“至少”型题目，用间接法就显得比较简便 题型一互斥事件与对立事件的判定
5、 【例 1】甲、乙两人下棋， 和棋的概率为 1 2，乙获胜的概率为 1 3，则下列说法正确的是 ( ) A. 甲获胜的概率是 1 6 B. 甲不输的概率是 1 2 C. 乙输了的概率是 2 3 D. 乙不输的概率是 1 2 答案： A 解析：“甲获胜 ”是“和棋或乙胜 ”的对立事件，所以“甲获胜 ”的概率是 P11 2 1 3 1 6； 设事件 A 为“甲不输 ”， 则 A 是“甲胜”、“和棋”这两个互斥事件的并事件， 所以 P(A) 1 6 1 2 2 3(或设事件 A 为“甲不输 ”看作是“乙胜”的对立事件，所以 P(A)11 3 2 3. 【变式 1】一个均匀的正方体的玩具的各个面上分别
6、标以数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷 1 次，设事件 A 表示向上的一面出现奇数点，事件B 表示向上的一面出现的点数不超过3，事 件 C 表示向上的一面出现的点数不小于4，则() AA 与 B 是互斥而非对立事件 BA 与 B 是对立事件 CB 与 C 是互斥而非对立事件 DB 与 C 是对立事件 第 3 页 共 7 页 解析根据互斥事件与对立事件的意义作答，AB 出现点数 1 或 3，事件 A，B 不互斥更 不对立； BC?，BC ，故事件 B，C 是对立事件 答案D 题型二随机事件的概率与频率 【例 2】一组数据 3,4,5，s，t 的平均数是 4，这组数据的中位数是m，对于
7、任意实数 s，t， 从 3,4,5，s，t，m 这组数据中任取一个，取到数字4 的概率的最大值为 () A. 1 6 B. 1 3 C. 1 2 D. 2 3 答案： D 解析： 由 3,4,5，s，t 的平均数是 4 可得 st 2 4，易知 m4，所以当 st4 时，取到数 字 4 的概率最大，且为P4 6 2 3. 【变式 2】 某市统计的 20082011年新生婴儿数及其中男婴数(单位：人 )见下表： 时间2008 年2009 年2010 年2011年 新生婴儿数21 84023 07020 09419 982 男婴数11 45312 03110 29710 242 (1)试计算男婴各
8、年的出生频率(精确到 0.001)； (2)该市男婴出生的概率约是多少？ 解(1)2008 年男婴出生的频率为fn(A) nA n 11 453 21 8400.524. 同理可求得 2009年、2010 年和 2011年男婴出生的频率分别约为0.521、0.512、0.513. (2)由以上计算可知，各年男婴出生的频率在0.510.53 之间，所以该市男婴出生的概率约为 0.52. 题型三互斥事件、对立事件的概率 【例 3】据统计，某食品企业在一个月内被消费者投诉次数为0,1,2的概率分别为 0.4,0.5,0.1. (1)求该企业在一个月内被消费者投诉不超过1 次的概率； (2)假设一月份
9、与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投 第 4 页 共 7 页 诉 2 次的概率 解法一(1)设事件 A 表示“一个月内被投诉的次数为0”，事件 B 表示“一个月内被投诉 的次数为 1”， P(AB)P(A)P(B)0. 40.50.9. (2)设事件 Ai表示“第 i 个月被投诉的次数为0”， 事件 Bi表示“第 i 个月被投诉的次数为1”， 事件 Ci表示“第 i 个月被投诉的次数为2”，事件 D 表示“两个月内共被投诉2 次” P(Ai)0.4，P(Bi)0.5，P(Ci)0.1(i1,2)， 两个月中，一个月被投诉2 次，另一个月被投诉0 次的概率为 P(
10、A1C2A2C1)， 一、二月份均被投诉1 次的概率为 P(B1B2)， P(D)P(A1C2A2C1)P(B1B2)P(A1C2)P(A2C1)P(B1B2)， 由事件的独立性得 P(D)0.40.10.10.40.50.50.33. 法二(1)设事件 A 表示“一个月内被投诉2 次”，事件 B 表示“一个月内被投诉的次数不超 过 1 次” P(A)0.1，P(B)1P(A)10.10.9. (2)同法一 【变式 3】 某商场有奖销售中，购满100 元商品得 1 张奖券，多购多得， 1 000张奖券为一个 开奖单位，设特等奖1 个，一等奖 10 个，二等奖 50 个设 1 张奖券中特等奖、一
11、等奖、二等 奖的事件分别为 A、B、C，求： (1)P(A)，P(B)，P(C)； (2)1 张奖券的中奖概率； (3)1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率 解(1)P(A) 1 1 000，P(B) 10 1 000 1 100，P(C) 50 1 000 1 20. 故事件 A，B，C 的概率分别为 1 1 000 ， 1 100， 1 20. (2)1 张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖设“1 张奖券中奖”这个事件为M，则 M ABC.A、B、C 两两互斥，P(M)P(ABC)P(A)P(B)P(C)11050 1 000 61 1 000 . 故 1 张奖券的中奖概率为 61 1
12、 000. (3)设“1 张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件 N 与“1 张奖券中特等奖或中一 等奖”为对立事件， 第 5 页 共 7 页 P(N)1P(AB)1 1 1 000 1 100 989 1 000 . 故 1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为 989 1 000 . 重难点突破 【例 4】对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本， 得到这 M 名学生参加社区服务的次数根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直 方图，如下： 分组频数频率 10,15)100.25 15,20)24n 20,25)m p 25,3020.05 合计M
13、 1 (1)求出表中 M，p 及图中 a 的值； (2)若该校高三学生有240 人， 试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间10,15)内的 人数； (3)在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20 的学生中任选 2 人，求至多有 1 人参 加社区服务的次数在区间 25,30内的概率 解：(1)由分组 10,15)内的频数是 10，频率是 0.25 知， 10 M 0.25，所以 M40. 因为频数之和为40，所以 1024m240， m4，p m M 4 400.10. 第 6 页 共 7 页 因为 a 是对应分组 15,20)的频率与组距的商，所以a 24 4050.12. (2)因
14、为该校高三学生有240 人，分组10,15)内的频率是 0.25，所以估计该校高三学生参加 社区服务的次数在此区间内的人数为2400.2560人 (3)这个样本参加社会服务的次数不少于20 次的学生共有m26 人，设在区间 20,25) 内的人为 a1，a2，a3，a4，在区间 25,30)内的人为 b1，b2 ，则任选 2 人共有 (a1，a2)，(a1， a3)，(a1，a4)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，a4)，(a3，b1)， (a3，b2)，(a4，b1)，(a4，b2)，(b1，b2)15 种情况，而两人都
15、在 25,30)内只能是 (b1，b2)一种，所 以所求概率为 P1 1 15 14 15. 巩固提高 1.同时随机掷两颗骰子，则至少有一颗骰子向上的点数小于4 的概率为 () A. 1 9 B. 8 9 C. 1 4 D. 3 4 答案： D 解析：共有 36 种情况，其中至少有一颗骰子向上的点数小于4 有 27种情况，所以所求概 率为 27 36 3 4. 2.在第 3、6、16 路公共汽车的一个停靠站 (假定这个车站只能停靠一辆公共汽车)，有一 位乘客需在 5分钟之内乘上公共汽车赶到厂里，他可乘 3 路或 6 路公共汽车到厂里， 已知 3 路 车、6 路车在 5 分钟之内到此车站的概率分
16、别为0.20 和 0.60，则该乘客在 5 分钟内能乘上所需 要的车的概率为 () A. 0.20B. 0.60 C. 0.80D. 0.12 答案： C 解析： 令“能上车 ”记为事件 A，则 3 路或 6 路车有一辆路过即事件发生，故P(A)0.20 0.600.80. 第 7 页 共 7 页 3.先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是() A. 1 8 B. 3 8 C. 5 8 D. 7 8 答案： D 解析： 至少一次正面朝上的对立事件的概率为 1 8，故 P1 1 8 7 8. 4.在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相 同现从
17、中随机取出2 个小球，则取出的小球标注的数字之和为3 或 6 的概率是 () A. 3 10 B. 1 5 C. 1 10 D. 1 12 答案： A 解析： 由袋中随机取出2 个小球的基本事件总数为10，取出小球标注数字和为3 的事件 为 1,2.取出小球标注数字和为6 的事件为 1,5 或 2,4， 取出的小球标注的数字之和为3 或 6 的 概率为 P12 10 3 10.故应选 A. 5. 从长度分别为 2,3,4,5 的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角 形的概率是 _ 答案： 3 4 解析： 从四条线段中任取三条有4 种取法： (2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)， (3,4,5)其中能构成三角形的取法有3 种：(2,3,4)，(2,4,5)，(3,4,5)，故所 求概率为 3 4.