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1、第 1 页共 6 页 小专题 (六)构造全等三角形的方法技巧 方法 1利用 “角平分线 ”构造全等三角形 【方法归纳】因角平分线本身已经具备全等的三个条件中的两个(角相等和公共边相等)， 故在 处理角平分线问题时，常作以下辅助线构造全等三角形： (1)在角的两边截取两条相等的线段； (2)过角平分线上一点作角两边的垂线 1如图 ，AB CD，BE 平分 ABC ，CE 平分 BCD，点 E 在 AD 上，求证： BCAB CD. 证明：在BC 上截取 BFAB ，连接 EF. ABC 、 BCD 的平分线交AD 于点 E， ABE FBE，BCE DCE ， 在 ABE 和 FBE 中， AB
2、 FB， ABE FBE， BEBE， ABE FBE. BAE BFE. ABCD， BAE CDE180. BFE CDE 180 . BFE CFE180， CFE CDE. 在 FCE 和 DCE 中， CFE CDE， FCE DCE， CECE， FCE DCE. 第 2 页共 6 页 CFCD. BCBFCFAB CD. 2如图 ，已知 AOB 90，OM 是 AOB 的平分线 ，三角尺的直角顶点P 在射线 OM 上滑动 ， 两直角边分别与OA，OB 交于点 C，D，求证： PCPD. 证明：过点P作 PEOA 于点 E， PFOB 于点 F. PEC PFD90. OM 是 A
3、OB 的平分线 PEPF. AOB 90，CPD90 ， PCE PDO360 90 90 180. 而 PDO PDF180 ， PCE PDF. 在 PCE 和 PDF 中， PCE PDF， PEC PFD， PEPF. PCE PDF(AAS) PCPD. 方法 2利用 “截长补短法 ”构造全等三角形 【方法归纳】截长补短法的具体做法：在某一条线段上截取一条线段与特定线段相等，或将 某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种方法适用于证 明线段的和、差、倍、分等类的题目 第 3 页共 6 页 3如图 ，在 ABC 中，AD 平分 BAC ，C2B，试判断
4、AB，AC ，CD 三者之间的数量关系， 并说明理由 (想一想 ，你会几种方法 ) 解： ABAC CD.理由： 方法 1：在 AB 上截取 AE AC，连接 DE. 易证 AED ACD( SAS )， EDCD，AED C. AED B EDB， C AED B EDB. 又 C2B， B EDB. BEDE. ABAEBEACDEAC CD. 方法 2：延长 AC 到点 F， 使 CFCD，连接 DF. CFCD， CDF F. ACB CDF F， ACB 2F. 又 ACB 2B， B F. 又 BAD FAD ，AD AD ， ABD AFD( AAS) ABAFACCFAC CD
5、. 第 4 页共 6 页 4如图 ，在 ABC 中， A 60，BD，CE 分别平分 ABC 和 ACB ，BD ，CE 交于点 O，试判 断 BE，CD，BC 的数量关系 ，并加以证明 解： BCBECD. 证明：在BC 上截取 BFBE，连接 OF. BD 平分 ABC ， EBO FBO. 又 OBOB， EBO FBO. EOB FOB. A60，BD ，CE 分别平分 ABC 和 ACB ， BOC180 OBC OCB 180 1 2 ABC 1 2ACB 180 1 2 (180 A) 120. EOB DOC60. BOF60， FOC DOC 60. CE 平分 DCB ， DCO FCO. 又 OCOC， DCO FCO. CDCF. BCBFCFBECD. 5如图 ，AD BC，DC AD，AE 平分 BAD ，E 是 DC 的中点问：AD ，BC，AB 之间有何关 系？并说明理由