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1、1 浅谈数形结合思想在函数教学中的渗透 摘要：数形结合是数学教学中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动 化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多 问题便迎刃而解，且解法简捷。 关键词：渗透数形结合思想以形助数以数解形 正文： 著名数学家华罗庚认为“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”。 数形结合是指把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述结合起来，使代数的问题几何化或几何的问 题代数化，从而将抽象的思维与形象思维结合的一种思想方法，主要表现在用代数的方法解决几何问题， 或用几何的方法解决
2、代数问题，以及代数与几何的综合问题解析。数形结合包括两个方面：第一种情形是 “以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。 数形结合方法是解决数学问题尤其是函数问题的一种重要方法，特别是二次函数，不仅是学生学习的 难点之一，同时也使数形结合的思想方法在中学数学中得到最充分体现。用图形可以使抽象的数量关系变 得直观形象；而一些图形的性质，又可以赋予其数量意义，通过数量的运算使问题得到解决。 一、利用数形结合思想，基于图像进行函数性质研究。 函数与其图像的数形结合浑然一体一个函数可以用图形来表示，而借助这个图形又可以直观地分 析出函数的一些性质和特点，这为数学的研究与应用提供了很大的帮助因此函数及其图
3、像内容突显 了数形结合的思想方法教学时我们应注重数形结合思想方法的渗透，这样会收到事半功倍的效果如学 习二次函数的性质时，采用如下数形结合的思想，使抽象的性质具体化，直观化，形象化。 解析式yax 2 yax 2k ya(x h) 2 ya(x h) 2k yax 2bxc 图象 开口方 向a 0 时，开口向上， （实线部分） ；a0 时 y最小=0 a 0 时 y最小=k a 0 时 y最小=0 a 0 时 y最小=k a 0 时 y最小= a bac 4 4 2 a 0 时，在对对称轴的左侧，y 随 x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随 x 的 增大而减大。 a 0 时，在对对称轴的左
4、侧，y 随 x 的增大而减小；在对称轴的右 侧， y 随 x 的增大而减大。 二、运用数形结合思想，基于图象解决二次函数的实际问题。 在数学的解题过程中，我们经常会利用形来研究数，或者是利用数研究形，通过数和形相互转化我们 常常能把数学问题化难为易，化抽象为具体。如课本例题： 问题 : 如图以 40m/s 的速度将小球沿与地面成30角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线， 如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位： m ）与飞行时间t（单位： s）之间具有关系h = 20t5t 2 考虑以下问题： （1）球的飞行高度能否达到15m ？如能，需要多少飞行时间？ （2）球的飞行高度能否达到20
5、m ？如能，需要多少飞行时间？ 3 （3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？ （4）球从飞出到落地需要用多少时间？ 可用数来解决：即把函数转化为方程进行解答。同时也可以用形来解答：画出如下函数图象。更直观 具体地把问题简单化，一目了然。 二次函数 根据图象解答下列问题： （1）写出方程 2 0axbxc的两个根 （2）写出不等式 2 0axbxc的解集 （3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围 （4）若方程 2 axbxck有两个不相等的实数根，求k的取值范围 由图就直接可进行解答以上问题。这就是数形结合带来的方便之处。 三、巧用数形结合思想，基于图象解答中考压轴题。 中考数学压
6、轴题中很多都是与坐标系有关的，其特点是通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方 面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。关键是找 到数与形的契合点，数形的契合点以等式方程为载体，图形的相似、全等、勾股定理、解直角三角形等是 建立等式、方程的基础，灵活的采用几何问题代数化，代数问题几何化的数形结合思想，找出契合点。在 数学教学中，突出数形结合思想，有利于学生从不同的侧面加深对问题的认识和理解提供解决问题转化为 数学问题的能力。如广东省2012 年中考压轴题： 如图，抛物线 2 13 9 22 yxx与x轴交于AB、两点，与y轴交于点C，连接BCAC、
7、（1）求AB和OC的长； （2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点AB、不重合），过点E作直线l平行BC，交 AC于点D. 设AE的长为m，ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值 范围； （3）在（ 2）的条件下，连接CE，求CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相 h x 3 3 2 2 1 14 1 1 2 O y 4 切的圆的面积（结果保留） . 思路： （1）由形转化为数：求二次函数与x 轴 y 轴交点坐标即可求出AB和 OC的长。 （2）由形 DE BC ，得 ADE ACB ，转化为数：面积比等于相似比的 平方，从而可解答本题。 （3）通过添加辅助线，可得BEM BCO ，再把形转化为数：可求EM 即圆的半径。从而容易求出圆的面积。 数和形是初中数学内容的两大板块和两条主线。数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的 思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本 质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。 参考文献： 任百花：初中数学思想方法教学探究 赵章道：试论数形结合思想在教学中的渗透 江国安：初中数学综合题的教学探索 M