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1、图 1 北师大版初中数学九年级(下册)知识点汇总 第一章直角三角形边的关系 一 . 正切： 定义：在 RtABC 中，锐角 A 的对边与邻边的比叫做A 的正切 ，记作 tanA，即 的邻边 的对边 A A Atan; tanA 是一个完整的符号，它表示A 的正切，记号里习惯省去角的符号“ ” ； tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中A 的对边与邻边的比； tanA 不表示 “tan”乘以“A”； 初中阶段，我们只学习直角三角形中，A 是锐角的正切； tanA 的值越大，梯子越陡， A 越大； A 越大，梯子越陡， tanA 的值越大。 二. 正弦 ： 定义： 在 RtABC 中，
2、 锐角 A 的对边与斜边的比叫做 A 的正弦， 记作 sinA， 即 斜边 的对边A Asin; 三. 余弦： 定义： 在 RtABC中， 锐角 A 的邻边与斜边的比叫做 A 的余弦， 记作 cosA， 即 斜边 的邻边A Acos; 余切： 定义： 在 RtABC 中， 锐角 A 的邻边与对边的比叫做A 的余切，记作 cotA， 即 的对边 的邻边 A A Acot; 一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。 （通常我们称正弦、余弦互为余函数。同样，也称正切、余切互为余函数，可以概括为：一个锐角的 三角函数等于它的余角的余函数）用等式表达：若A 为锐角，则
3、)90cos(sinAA；)90sin(cosAA )90cot(tanAA；)90tan(cotAA 当从低处观测高处的目标时，视线与水平线 所成的锐角称为仰角 当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成 的锐角称为俯角 利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当 角度在 0 90间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小 )而增大 (或减小 )；余弦值、余切值随着角度的 增大 (或减小 )而减小 (或增大 )。(2)0sin1，0cos 1。 同角的三角函数间的关系： 倒数关系： tg ctg=1。 在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。由直角三角形中除直角外
4、的已知元素，求 出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。 在 ABC 中， C 为直角， A、B、 C 所对的边分别为a、b、c，则有 (1)三边之间的关系： a 2+b2=c2； (2)两锐角的关系： AB=90； 0o30 o45 o60 o90 o sin0 2 1 2 2 2 3 1 cos1 2 3 2 2 2 1 0 tan0 3 3 1 3 cot31 3 3 0 图 3 图 4 (3)边与角之间的关系： ;cot,tan,cos,sin a b A b a A c b A c a A ;cot,tan,cos,sin b a B a b B c a B c b B (4)面积公
5、式 :chcab 2 1 2 1 S(hc 为 C 边上的高 ); (5)直角三角形的内切圆半径 2 cba r (6)直角三角形的外接圆半径cR 2 1 解直角三角形的几种基本类型列表如下： 解直角三角形的几种基本类型列表如下： 如图 2，坡面与水平面的夹角叫做坡角 (或叫做坡比 )。用字母 i 表示，即A l h itan 从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角 。如图 3，OA、OB、OC 的方位 角分别为 45、135、225。 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90的水平角，叫做方向角 。如图 4，OA、OB、OC、 OD 的方向角分别是；北偏东30，南偏东 4
6、5(东南方向 )、南偏西为 60，北偏西 60。 第二章二次函数 二次函数的概念：形如)0( 2 ，aa、 b、cbxaxy是常数的函数，叫做x 的二次函数 。自变量的取值范 围是全体实数。)0( 2 aaxy是二次函数的特例，此时常数b=c=0. 在写二次函数的关系式时，一定要寻找两个变量之间的等量关系，列出相应的函数关系式，并确定自变量的取值 范围 。 二次函数yax 2 的图象是一条顶点在原点关于y 轴对称的曲线，这条曲线叫做抛物线 。 描述抛物线常从开口方向、对称性、y 随 x 的变化情况、抛物线的最高（或最低）点、抛物线与x 轴的交点等方面 来描述。 函数的定义域是全体实数； 抛物线
7、的顶点在 (0，0)，对称轴是 y 轴(或称直线 x0)。 图 2 h i=h:l l A B C 当 a0 时，抛物线开口向上，并且向上方无限伸展。当a0 时，抛物线开口向下，并且向下 方无限伸展。 函数的增减性： A、当 a0 时 .,0 ;,0 增大而增大随时 增大而减小随时 xyx xyx B、当 a0 时 .,0 ;,0 增大而减小随时 增大而增大随时 xyx xyx 当 a越大，抛物线开口越小；当a越小，抛物线的开口越大。 最大值或最小值：当a0，且 x0 时函数有最小值，最小值是0；当 a0，且 x0 时函数有最大值，最大值是 0 二次函数caxy 2 的图象是一条顶点在y 轴上
8、且与y 轴对称的抛物线 二次函数cbxaxy 2 的图象是以 a b x 2 为对称轴，顶点在（ a b 2 ， a bac 4 4 2 ）的抛物线。（开 口方向和大小由 a来决定） |a| 的越大，抛物线的开口程度越小，越靠近对称轴y 轴，y 随 x 增长（或下降）速度越快；|a| 的越 小，抛物线的开口程度越大，越远离对称轴y 轴，y 随 x 增长（或下降）速度越慢。 二次函数caxy 2 的图象中， a 的符号决定抛物线的开口方向，|a|决定抛物线的开口程度大小，c 决定抛物线的顶点位置，即抛物线位置的高低。 二次函数cbxaxy 2 的图象与 yax 2 的图象的关系： cbxaxy
9、2 的图象可以由 yax 2 的图象平移得到，其步骤如下： 将cbxaxy 2 配方成khxay 2 )(的形式；（其中h= a b 2 ，k= a bac 4 4 2 ）； 把抛物线 2 axy向右（ h0）或向左（ h0）或向下（k0，则当 x a b 2 时，y 随 x 的增大而增大。 若 a a b 2 时，y 随 x 的增大而减小。 最值：若 a0，则当 x= a b 2 时， a bac y 4 4 2 最小 ；若 a0 抛物线与 x 轴有 2 个交点； acb4 2 =0 抛物线与 x 轴有 1 个交点； acb4 2 抛物线与 x 轴有 0 个交点（无交点）； 当acb4 2
10、0 时，设抛物线与 x 轴的两个交点为A、B，则这两个点之间的距离： 21 2 21 2 122 4)()(| 1xxxxxxxxAB 化简后即为：)04( | 4 | 2 2 acb a acb AB - 这就是抛物线与 x 轴的两交点之间的距离公 式。 第三章圆 一. 车轮为什么做成圆形 1. 圆的定义： 描述性定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋 转所形成的圆形叫做圆；固定的端点 O 叫做圆心 ；线段 OA 叫做半径 ；以点 O 为 圆心的圆，记作 O，读作“圆 O” 集合性定义： 圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合。其中定点叫做圆心 ，
11、定长叫做圆的半 径 ，圆心定圆的位置，半径定圆的大小，圆心和半径确定的圆叫做定圆 。 对圆的定义的理解：圆是一条封闭曲线，不是圆面； 圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二是半径（即定长）。 2. 点与圆的位置关系及其数量特征： 如果圆的半径为 r，点到圆心的距离为d，则 点在圆上 d=r; 点在圆内 d dr. 其中点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明若干个点共圆，方法就是证明这几个点与一个定 点、的距离相等。 二. 圆的对称性 : 1. 与圆相关的概念： 弦和直径： 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦 。 直径：经过圆心的弦叫做直径 。 弧、半圆、优弧、劣弧： 弧：圆上任意两点间的部
12、分叫做圆弧，简称弧 ，用符号“”表示，以CD 为端点的弧记为“” ，读 作“圆弧 CD”或“弧CD” 。 半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆 。 优弧：大于半圆的弧叫做优弧 。 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧 。 (为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。 ) 弓形：弦及所对的弧组成的图形叫做弓形 。 同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆 。 等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧 。 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角 . 弦心距 :从圆心到弦的距离叫做弦心距 . 2. 圆是轴对称图形，直径所在的直线是它
13、的对称轴，圆有无数条对称轴。 3. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备： 过圆心；垂直于弦；平分弦；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧。 上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。 4. 定理：在同圆或等圆中 ,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。 推论: 在同圆或等圆中 ,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那 么它们所对应的其余各组量都分别相等. 三. 圆周角和圆心角的关系 : 1
14、. 1的弧的概念 : 把顶点在圆心的周角等分成360 份时, 每一份的角都是 1的圆心角 , 相应的整 个圆也被等分成 360 份, 每一份同样的弧叫 1弧. 2. 圆心角的度数和它所对的弧的度数相等. 这里指的是角度数与弧的度数相等,而不是角与弧相等 .即不能写成 AOB= ,这是错误的 . 3. 圆周角的定义 : 顶点在圆上 ,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角 . 4. 圆周角定理 : 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 推论 1: 同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，在同圆或等圆中，相等圆周角所对的弧也相等； 推论 2: 半圆或直径所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径
15、； 四. 确定圆的条件 : 1. 理解确定一个圆必须的具备两个条件: 圆心和半径 ,圆心决定圆的位置 ,半径决定圆的大小 . 经过一点可以作无数个圆 ,经过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上. 2. 经过三点作圆要分两种情况: (1) 经过同一直线上的三点不能作圆. (2)经过不在同一直线上的三点,能且仅能作一个圆 . 定理 : 不在同一直线上的三个点确定一个圆. 3. 三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念: (1)三角形的外接圆和圆的内接三角形: 经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆,这 个三角形叫做圆的内接三角形. (2)三角形的外心 : 三
16、角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心. (3)三角形的外心的性质 :三角形外心到三顶点的距离相等. 五. 直线与圆的位置关系 1. 直线和圆相交、相切相离的定义: (1)相交: 直线与圆有两个公共点时 ,叫做直线和圆相交 ,这时直线叫做圆的割线 . (2)相切: 直线和圆有惟一公共点时 ,叫做直线和圆相切 ,这时直线叫做圆的切线 ,惟一的公共点做切点 . (3)相离: 直线和圆没有公共点时 ,叫做直线和圆相离 . 2. 直线与圆的位置关系的数量特征: 设O 的半径为 r，圆心 O 到直线的距离为 d； d 直线 L 和 O 相交 . d=r 直线 L 和 O 相切 . dr 直线 L 和 O
17、相离 . 3. 切线的总判定定理 : 经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线. 4. 切线的性质定理 : 圆的切线垂直于过切点的半径. 推论 1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点. 推论 2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论 : 如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个 . 垂直于切线 ; 过切点 ; 过圆心 . 5. 三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形的概念. 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心, 这个三角形叫做 圆的外切三角形 . 6. 三角形内心的性质 :
18、 (1)三角形的内心到三边的距离相等. (2)过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角. 由此性质引出一条重要的辅助线: 连接内心和三角形的顶点 ,该线平分三角形的这个内角. 六. 圆和圆的位置关系. 1. 外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆 )这五种位置关系的定义. (1)外离 : 两个圆没有公共点,并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外离. (2)外切 : 两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,每个圆上的点都在另一个圆的外部时, 叫做这两个圆外 切.这个惟一的公共点叫做切点. (3)相交 : 两个圆有两个公共点,此时叫做这个两个圆相交. (4)内切 : 两个圆有
19、惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,一个圆上的都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内切. 这个惟一的公共点叫做切点. (5)内含 : 两个圆没有公共点, 并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内含.两圆同心是两圆内的一 个特例 . 2. 两圆位置关系的性质与判定: (1)两圆外离 dR+r (2)两圆外切 d=R+r (3)两圆相交 R-r d=R-r (Rr) (5)两圆内含 dr) 图 5 O B C A C B A O C BA O 3. 相切两圆的性质: 如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上. 4. 相交两圆的性质: 相交两圆的连心线垂直平分公共弦. 七. 弧长及扇形的面
20、积 1. 圆周长公式 : 圆周长 C=2R (R 表示圆的半径) 2. 弧长公式 : 弧长 180 Rn l(R 表示圆的半径 , n 表示弧所对的圆心角的度数) 3. 扇形定义 : 一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形. 4. 弓形定义 : 由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形. 弓形弧的中点到弦的距离叫做弓形高. 5. 圆的面积公式. 圆的面积 2 RS(R 表示圆的半径 ) 6. 扇形的面积公式: 扇形的面积 360 2 Rn S扇形(R 表示圆的半径, n 表示弧所对的圆心角的度数) 弓形的面积公式:(如图 5) (1)当弓形所含的弧是劣弧时, 三角形扇形弓形SSS (
21、2)当弓形所含的弧是优弧时, 三角形扇形弓形 SSS (3)当弓形所含的弧是半圆时, 扇形弓形SRS 2 2 1 八. 圆锥的有关概念: 1. 圆锥可以看作是一个直角三角形绕着直角边所在的直线旋转一周而形成的图形,另一条直角边旋转而成的面叫 做圆锥的底面,斜边旋转而成的面叫做圆锥的侧面. 2. 圆锥的侧面展开图与侧面积计算: 圆锥的侧面展开图是一个扇形,这个扇形的半径是圆锥侧面的母线长、弧长是圆锥底面圆的周长、圆心是圆锥 的顶点 . 如果设圆锥底面半径为r,侧面母线长 (扇形半径 )是 l, 底面圆周长 (扇形弧长 )为 c,那么它的侧面积是: rlrlclS2 2 1 2 1 侧 )( 2
22、lrrrrlSSS 底面侧表 九 . 与圆有关的辅助线 1.如圆中有弦的条件,常作弦心距 ,或过弦的一端作半径为辅助线. 2.如圆中有直径的条件,可作出直径上的圆周角. 3.如一个圆有切线的条件,常作过切点的半径(或直径 )为辅助线 . 4.若条件交代了某点是切点时,连结圆心和切点是最常用的辅助线. 十 . 圆内接四边形 _ 图 6 _ P _ O _ B _ A 若四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做这个四边形的外接圆. 圆内接四边形的特征: 圆内接四边形的对角互补; 圆内接四边形任意一个外角等于它的内错角. 十一 .北师版数学未出理的有关圆的性质定理 1.
23、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 如图 6， PA，PB 分别切 O 于 A、B PA=PB，PO 平分 APB 2弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。 推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。 如图 7，CD 切 O 于 C，则， ACD= B 3和圆有关的比例线段： 相交弦定理：圆内的两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等； 推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。 如图 8，AP?PB=CP?PD 如图 9，若 CD AB 于 P，AB 为 O 直径，则CP
24、2=AP?PB 4切割线定理 切割线定理，从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项； 推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。 如图 10， PT 切 O 于 T，PA 是割线，点A、B 是它与 O 的交点，则PT2=PA?PB PA、PC 是 O 的两条割线，则PD?PC=PB?PA 5两圆连心线的性质 如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，或者说，连心线过切点。 如果两圆相交，那么连心线垂直平分两圆的公共弦。 如图 11， O1与 O2交于 A、B 两点，则连心线O1O2AB 且 AC=BC 。 6两圆的公切线 两
25、圆的两条外公切线的长及两条内公切线的长相等。 如图 12，AB 分别切 O1与 O2于 A、B，连结 O1A，O2B，过 O2作 O2CO1A 于 C，公切线长为 l，两圆 的圆心距为d，半径分别为R，r 则外公切线长： 22 )(rRdL 如图 13，AB 分别切 O1与 O2于 A、B，O2CAB， O2CO1C 于 C， O1半径为 R， O2半径为 r，则 内公切线长： 22 )(rRdL _ O _ C _ D _ A _ B _ 图 7 _ O _ B _ D _ P _ A _ C 图 8 _ 图 9 _ P _ A _ B _ C _ D _ O _ 图 10 _ B _ D
26、_ C _ O _ A _ T _ P _ 图 11 _ B _ C _ A _ O _ 2 _ O_ 1 _ O_ 2 _ d _ C _ R _ r _ A _ B _ O _ 1 _ 图 13 _ 图 12 _ O_ 1 _ B _ A _ r _ R _ C _ d _ O _ 2 第四章统计与概率 1. 实验频率与理论概率的关系只是在实验次数很多时,实验频率接近于理论概念,但实验次数再多,也很难保证实验 结果与理论值相等,这就是“随机事件”的特点. 三. 游戏公平吗 ? 1. 游戏的公平性是指游戏双方各有50%赢的机会 ,或者游戏多方赢的机会相等. 2. 表示一个事件发生的可能性大小的数叫做该事件的概率.一个事件发生的概率取值在0 与 1 之间 . 3. 概率的预测的计算方法:某事件 A 发生的概率 : 基本事件的总数 包含的基本事件的个数事件 A P 4. 用分析的办法求事件发生的概率要注意关键性的两点: (1)要弄清楚我们关注的是发生哪个或哪些结果; (2)要弄清楚所有机会均等的结果. （注：表示重点部分；表示了解部分；表示仅供参阅部分；） ?