单元能力测试卷9.pdf

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1、第九章单元能力测试卷 一、选择题 (本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分 ) 1若曲线 x 2 m4 y 2 9 1 的一条准线方程为x10，则 m 的值为 () A8 或 86B6 或 56 C5 或 56 D6 或 86 答案D 解析由准线是x10 及方程形式知曲线是焦点在x 轴上的椭圆，所以a2m4，b2 9，则 cm5，于是 m 4 m5 10，解得 m 6 或 86. m49， m5，均符合题意 2已知椭圆 x 2 a 2 y 2 b 21(ab0)的面积为Sab ，现有一个椭圆，其中心在坐标原点， 一个焦点坐标为(4,0)，且长轴长与短轴长的差为2，则该椭圆的面积为()

2、A15B.15 4 C3D.255 4 答案D 解析由题意得 a 2b2c242， 2a2b2， 则 ab16， a b1， 得到 a17 2 ， b15 2 . 所以 Sab 17 2 15 2 255 4 . 3过抛物线y 1 4x 2 准线上任一点作抛物线的两条切线，若切点分别为M，N，则直线 MN 过定点 () A(0,1) B(1,0) C(0， 1) D(1,0) 答案A 解析特殊值法，取准线上一点(0， 1)设 M(x1，1 4x1 2)，N(x 2， 1 4x2 2)，则过 M、N 的 切线方程分别为y1 4x1 21 2x1(xx1)，y 1 4x2 21 2x2(xx2)将

3、 (0， 1)代入得 x1 2 x 2 24， MN 的方程为y1，恒过 (0,1)点 4 设双曲线 16x 29y2144的右焦点为 F2， M 是双曲线上任意一点， 点 A 的坐标为 (9,2)， 则|MA| 3 5|MF 2|的最小值为 () A9 B.36 5 C.42 5 D.54 5 答案B 解析双曲线标准方程为 x 2 9 y 2 16 1，离心率为 5 3，运用第二定义，将 3 5|MF 2|转化为 M 到 右准线的距离 5抛物线y ax 2(a0)的焦点坐标是 ( ) A(0， a 4) B(0， 1 4a) C(0， 1 4a) D(0， a 4) 答案C 解析因为 a0，

4、所以方程可化为x2 1 ay， 所以焦点坐标为(0， 1 4a)故选 C. 6设 F1、F2分别是双曲线 x2y 2 9 1 的左、右焦点若点P 在双曲线上，且PF1 PF2 0，则 |PF1 PF2 |等于 () A.10 B210 C.5 D25 答案B 解析F1( 10，0)，F2(10，0)， 2c2 10，2a2. PF1 PF2 0， |PF1 | 2|PF 2 | 2|F 1F2| 24c240 (PF1 PF2 ) 2|PF 1 | 2 |PF 2 | 22PF 1 PF2 40， |PF1 PF2 | 2 10. 7已知椭圆 x 2 a 2 y 2 b 2 1(ab0)与双曲

5、线 x 2 m 2 y 2 n 21(m0， n0)有相同的焦点(c,0)和 (c,0)若 c 是 a 与 m 的等比中项， n 2 是 m2与 c2的等差中项，则椭圆的离心率等于() A. 1 3 B. 3 3 C.1 2 D. 2 2 答案B 解析c2am,2n2 c2 m2，又 n2 c2 m 2， m2 1 3c 2，即 m3 3 c.c 23 3 ac，则 e c a 3 3 . 8设双曲线以椭圆 x 2 25 y 2 9 1 长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线 的渐近线的斜率为() A 2 B 4 3 C 1 2 D 3 4 答案C 解析椭圆 x 2 25 y 2

6、9 1 中， a5，c4. 设双曲线方程为 x 2 a 2 y 2 b 21(a0，b0) 所以 c5， a 2 c 4.所以 a 220， b2 c2a25.所以双曲线方程为x 2 20 y 2 5 1. 所以其渐近线方程为y 5 20x 1 2x，所以其斜率为 1 2. 解决此题关键是分清椭圆与双曲线中的a，b，c 关系，这也是极易混淆之处 9已知椭圆 x 2 3 y 2 4 1 的两个焦点为F1、F2，M 是椭圆上一点，且|MF1|MF 2|1，则 MF 1F2是( ) A锐角三角形B钝角三角形 C直角三角形D等边三角形 答案C 解析由 x 2 3 y 2 4 1 知 a2，b3，c1，

7、 e 1 2. 则|MF1|MF2|4， 又|MF1|MF2|1. |MF1| 5 2，|MF 2| 3 2，又 |F 1F2|2. |MF1|F1F2|MF2|， cosMF2F1 |MF2| 2 |F 1F2| 2|MF 1| 2 2|MF2|F1F2| 0， MF2F190 .即 MF1F2是直角三角形 10已知双曲线 x 2 a 2 y 2 b 21(a0，b0)的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A， OAF 的面积为 a 2 2(O 为原点 )，则两条渐近线的夹角为 () A30B45 C60D90 答案D 解析由 y b ax 和 x a 2 c 得 A(a 2 c ， ab

8、c )， S 1 2 ab c c 1 2ab， 又 S1 2a 2， ab，其夹角为 90 . 11. 已知两点 M(3,0)，N(3,0)，点 P 为坐标平面内一动点，且|MN | |MP |MN NP 0， 则动点 P(x，y)到点 A(3,0)的距离的最小值为() A2 B3 C4 D6 答案B 解析因为 M(3,0)，N(3,0)，所以 MN (6,0)，|MN |6，MP (x3，y)，NP (x 3， y) 由|MN | |MP |MN NP 0 得 6x3 2y26(x3)0，化简整理得 y2 12x，所以 点 A 是抛物线 y2 12x 的焦点，所以点 P 到 A的距离的最小

9、值就是原点到A(3,0)的距离， 所以 d 3. 12如图，过抛物线x 24py(p0)焦点的直线依次交抛物线与圆 x 2(yp)2 p2 于点 A、 B、C、D，则 AB CD 的值是 () A8p 2 B4p2 C2p 2 Dp 2 答案D 解析|AB |AF|pyA，|CD |DF |pyD，|AB | |CD |yAyD p 2.因为 AB ，CD 的方向 相同，所以 AB CD |AB | |CD |yAyDp 2. 二、填空题 (本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上) 13 已知正方形ABCD， 则以 A、B为焦点， 且过 C、 D 两点的椭圆的离心率

10、为_ 答案2 1 解析令 AB2，则 AC2 2， 椭圆中 c1,2a22 2? a12， 可得 e c a 1 21 21. 命题思路本题考查椭圆概念和基本量的关系 14若焦点在x 轴上的椭圆 x 2 45 y 2 b 21 上有一点，使它与两个焦点的连线互相垂直，则 b 的取值范围是_ 答案 310 2 b 310 2 且 b0 解析设椭圆的两焦点为F1(c,0)，F2(c,0)以 F1F2为直径的圆与椭圆有公共点时，在 椭圆上必存在点满足它与两个焦点的连线互相垂直，此时条件满足cb，从而得 c 2 b2? a2 b 2b2? b21 2a 245 2 ，解得 310 2 b 3 10 2

11、 且 b0. 15设双曲线x 2y21 的两条渐近线与直线 x 2 2 围成的三角形区域(包含边界 )为 E， P(x，y)为该区域的一个动点，则目标函数zx2y 的最小值为 _ 答案 2 2 16以下四个关于圆锥曲线的命题中： 设 A、B 为两个定点，k 为非零常数，若|PA |PB |k，则动点P 的轨迹为双曲线； 过定圆 C 上一定点A 作圆的动弦AB，O 为坐标原点， 若OP 1 2(OA OB )，则动点 P 的轨 迹为椭圆；方程2x25x 20 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；双曲线 x 2 25 y 2 9 1 与椭圆 x 2 35y 21 有相同的焦点 其中真命题的序号为

12、_(写出所有真命题的序号) 答案 解析错误，当 k0 且 k0 且 k|AB| 时表示一条射线；当k0 且 k|AB|时，不表示任何图形；当k1 时，设 Q(x，y)，因为抛物线的准线为x 1. 所以由题意得2(x1) (x11)(x21) 即 x x1x2 2 5 2，所以 y2x41. 即 Q 点坐标为 (5 2，1) 当 xb0，且 a 2b23， 3 a 3 2 . 得 a 24，b21，曲线 C 的方程为 x 2y 2 4 1(x0， y0) y21x 2(01， y2) (2)|OM | 2x2y2， y 24 1 1 x 2 4 4 x 21， |OM | 2 x2 14 x 2

13、15459， 且当 x21 4 x 21，即 x31 时，上式取等号 故|OM |的最小值为3. 19 (本小题满分12 分)已知点 A(3,0)， 点 B 在 x 轴上， 点 M 在直线 x1 上移动，且MA MB 0，动点 C 满足 MC 3BC . (1)求 C 点的轨迹D 的方程； (2)设直线 l：yk(x1)与曲线 D 有两个不同的交点E，F，点 P(0,1)，当 EPF 为锐角 时，求 k 的取值范围 解析(1)设 M(1，y0)，C(x，y)，B(b,0) MC 3BC ， b12x 12 ，0y 02y 12 . 又MA MB 0， MA (2， y0)，MB (b1， y0

14、)， 2(b1) y020. 由得 y2 1 3(1x)，这就是 C 点的轨迹D 的方程 (2)l：yk(x1)代入 y 21 3(1x)得 3k 2x2(16k2)x3k210， 解得 x11，x2 3k 2 1 3k 2，则 y10，y2 1 3k. 设 E(1,0)，则 F(3k 21 3k 2 ， 1 3k)， PE (1， 1)， PF (3k 21 3k 2， 1 3k1) 当 EPF 为锐角时， PE PF 3k 21 3k 2 ( 1 3k1)0，解得 k 1 3. 当PF PE 时，有 k 1，应舍去 故 k 的取值范围为 (， 1)(1， 1 2)( 1 3， ) 20(本

15、小题满分12 分)如右图所示， 等腰三角形ABC 的底边 BC 的两端点是椭圆E：x 2 a 2 y 2 b 21(ab0)的两焦点，且AB 的中点 D 在椭圆 E 上 (1)若 ABC 60 ，|AB|4，试求椭圆E 的方程； (2)设椭圆离心率为e，求 cosABC. 解析(1)因为 ABC60 ，且 ABC 为等腰三角形，所以ABC 是正三角形 又因为点 B，C 是椭圆的两焦点，设椭圆焦距为2c， 则 2c|BC|AB|4，如右图所示，连结CD，由 AB 中点 D 在椭圆上，得 2a|BD|CD| 1 2|AB| 3 2 |AB|22 3， 所以 a13， 从而 a242 3，b2a2c

16、223， 故所求椭圆E 的方程为 x 2 42 3 y 2 2 3 1. (2)设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为a，b，c，且|AD|DB|m，连结 CD， 则|BO|OC|c，|DC|2am， 在 RtAOB 中， cosABC c 2m . 在 BCD 中，由余弦定理，得 cosABC 2c 2m2 2am2 2 2c m . 由式得2m 2a 2c2 a ，代入式得cos ABC ac 2a 2 c2 e 2e 2. 21(本小题满分12 分)如右图所示， F1(3,0)，F2(3,0)是双曲线C 的两焦点，直线x 4 3是双曲线 C 的右准线， A1，A2是双曲线C 的两个顶点

17、，点P 是双曲线C 右支上异于A2的 一个动点，直线A1P， A2P 交双曲线 C 的右准线分别于 M，N 两点 (1)求双曲线C 的方程； (2)求证： F1M F2N 是定值 解析(1)由已知， c 3， a 2 c 4 3， 所以 a2， b 2c2a25. 所以所求双曲线C 的方程为 x 2 4 y 2 5 1. (2)设 P 的坐标为 (x0，y0)，M，N 的纵坐标分别为y1，y2，因为 A1( 2,0)，A2(2,0)， 所以 A1P (x02，y0)，A2P (x02，y0)，A1M(10 3 ，y1)，A2N (2 3，y2) 因为 A1P 与 A1M 共线， 所以 (x02

18、)y1 10 3 y0， 所以 y1 10y0 3 x02 . 同理， y2 2y0 3 x02 . 因为 F1M (13 3 ，y1)，F2N ( 5 3，y2) 所以 F1M F2N 65 9 y1y2 65 9 20y0 2 9 x0 24 65 9 20 5 x0 24 4 9 x0 24 65 9 25 9 10. 22 (本小题满分12 分 )已知椭圆 x 2 a 2 y 2 b 2 1(ab0)的两个焦点分别为F1( c,0)和 F2(c,0)(c0)，过点 E(a 2 c ，0)的直线与椭圆相交于A，B 两点，且F1AF2B，|F1A|2|F2B|. ()求椭圆的离心率； ()

19、求直线 AB 的斜率； ()设点 C 与点 A 关于坐标原点对称，直线F2B 上有一点H(m，n)(m0)在 AF1C 的 外接圆上，求 n m的值 解析()由 F1AF2B 且 |F1A|2|F2B|，得 |EF2| |EF1| |F2B| |F1A| 1 2，从而 a 2 c c a 2 c c 1 2. 整理，得 a2 3c2.故离心率 e c a 3 3 . ()由 ()，得 b 2a2c22c2.所以椭圆的方程可写为 2x 2 3y26c2. 设直线 AB 的方程为y k(x a 2 c )，即 yk(x3c) 由已知设 A(x1， y1)，B(x2，y2)，则它们的坐标满足方程组

20、yk x3c ， 2x 23y26c2. 消去 y 并整理，得 (23k2)x218k2cx27k2c26c2 0. 依题意， 48c2(13k2)0，得 3 3 k 3 3 . 而 x1x2 18k 2c 23k 2， x1x227k 2c2 6c2 23k 2. 由题设知，点B 为线段 AE 的中点，所以 x1 3c2x2. 联立解得x19k 2c2c 23k 2，x2 9k 2c2c 23k 2. 将 x1，x2代入中，解得k 2 3 . ()解法一由()可知 x10， x23c 2 . 当 k 2 3 时，得 A(0，2c)，由已知得C(0，2c) 线段 AF1的垂直平分线l 的方程为

21、y 2 2 c 2 2 (x c 2)，直线 l 与 x 轴的交点 ( c 2，0)是 AF1C 的外接圆的圆心因此外接圆的方程为 (x c 2) 2y2(c 2c) 2 . 直线 F2B 的方程为 y2(xc)，于是点H(m，n)的坐标满足方程组 m c 2 2n29c 2 4 ， n2 mc . 由 m0，解得 m 5 3c， n2 2 3 c， 故 n m 22 5 . 当 k 2 3 时，同理可得 n m 2 2 5 . 解法二由()可知 x10， x2 3c 2 . 当 k 2 3 时，得 A(0，2c)，由已知得C(0，2c) 由椭圆的对称性知B，F2，C 三点共线因为点H(m，n)在 AF1C 的外接圆上，且 F1A F2B，所以四边形 AF1CH 为等腰梯形 由直线 F2B 的方程 y 2(xc)，知点 H 的坐标为 (m，2m2c) 因为 |AH|CF1|， 所以 m2(2m2c2c)2a2， 解得 m c(舍 )或 m 5 3 c 则 n2 2 3 c.所以 n m 22 5 . 当 k 2 3 时，同理可得 n m 2 2 5 .