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1、2016 届零诊考试 数学试题（文科） 一、选择题：每小题5 分，共 12 小题，共 60 分. 1. 已知集合 M0,1,2,3,4 ， N1,3,5 ， PM N， 则 P 的真子集共有() A.1 个 B.3 个 C.5 个 D.7 个 2. 已知函数 0,2 0,log )( 3 x xx xf x ，则(9)(0)ff() .0A.1B.2C.3D 3. 公比为 2 的等比数列 n a的各项都是正数，且 410 16a a，则 6 a 等于() A.1 B.2 C.4 D.8 4曲线 23 3xxy在点)2, 1(处的切线方程为 () A53xyB53xyC13xyDxy2 5. 已
2、知函数) 2 sin()(xxf，) 2 cos()(xxg，则下列结论中正确的是 () A函数)()(xgxfy的最小正周期为2 B函数)()(xgxfy的最大值为 1 C将函数)(xfy的图象向右平移 2 单位后得)(xg的图象 D将函数)(xfy的图象向左平移 2 单位后得)(xg的图象 6如下左图，在平面直角坐标系中，AC 平行于 x 轴，四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形， 记四边形位于直线xt(t0)左侧图形的面积为f(t)，则 f(t)的大致 图象是 () 7. 下列判断正确的是 () A. 若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题 “pq” 为真命题 B. 命题“ 若0x
3、y，则0x” 的否命题为 “ 若0xy，则0x” C. “ 1 sin 2 ” 是“ 6 ” 的充分不必要条件 D. 命题“,20 x xR” 的否定是 “ 0 0 ,20 x xR” 8. 设的导函数是)()(xfxf，且 2 ( )34,fxxx 则1yfx+ln2 的单调减区间 为() A.4,1 B.5,0 C. 3 , 2 D. 5 , 2 9. 定义一种运算bcaddcba),(),(， 若函数) 5 1 (, 4 13 (tan)log1 ()( 3 x xxf， 0 x 是方程0)(xf的解，且 10 0xx，则)( 1 xf的值() A恒为负值 B等于 0 C恒为正值 D不大
4、于 0 10. 设实数 x，y 满足 2 02 22 x yx xy ，则 1 3 y x 的取值范围是 () A. 5 7 5， B.1 , 7 5 C. 5 7 5 1， D. ， 5 7 5 1 11. 已知 M 是ABC内一点， 且2 3AB AC， 30BAC， 若M B C、MAB、 MAC的面积分别为 1 2 、 x、 y ，则 14 xy 的最小值是 () A.18 B.16 C.9 D.4 12. 已知正实数是自然对数的底数其中满足、eccabc a c e cba,lnln,2 1 ， 则 a b ln的取值范围是 () A. ，1B. 2ln 2 1 , 1C.1,eD.
5、11e， 二、填空题：共4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13设)(xf是定义在 R 上的奇函数，当0x时，( )0fx，且 1 ()0 2 f，则 不等式0)(xf的解集为 . 14已知xaxxxf4)( 23 有两个极值点 1 x 、 2 x ，且( )f x在区间（ 0，1）上有 极大值，无极小值，则a的取值范围是 . 15已知ABC中，内角CBA、的对边的边长为cba、，且 BcaCbcos2cos,则y B2cos21的值为 . 16. 已知定义在R上的奇函数fx 满足4fxfx ，且0,2x时， 2 log1fxx. 现有以下甲，乙，丙，丁四个结论： 甲：31f； 乙：函数
6、 f x 在6, 2 上是增函数； 丙：函数 fx 关于直线4x对称； 丁：若0,1m，则关于 x的方程0fxm在8,8 上所有根之和为 -8. 则其中正确结论的序号是 _ 三、解答题：共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）已知 ABC 的角 A、B、C 所对的边分别是a、b、c，设向量 m(a， b)，n(sinB，sinA)，p(b2，a2) (1)若 mn，请判定 ABC 的形状； (2)若 mp，边长 c2，角 C 3，求 ABC 的面积 18 （10分）已知等比数列 an中，a1a310，前 4 项和为 40. (1)求数列 an 的通
7、项公式； (2)若等差数列 bn的各项为正，其前n 项和为 Tn，且 T315，又 a1b1， a2b2，a3b3成等比数列，求Tn. 19 （12 分）已知二次函数1, 2 xfbxaxxf若为偶函数，且集合A= xxfx)(为单元素集合 . （1）求xf的解析式 ; （2）设函数 x emxfxg)()(，若函数)(xg在2, 3x上单调，求实数 m 的取值范围 20 （12 分）南山中学近几年规模不断壮大，学生住宿异常紧张，学校拟用1000 万元购一块空地，计划在该空地上建造一栋至少8 层，每层 2000 平方米的 学生电梯公寓经测算，如果将公寓建为x(x8) 层，则每平方米的平均建筑
8、费用为 56048x(单位：元 ) (1)写出拟修公寓每平米的平均综合费用y 关于建造层数 x 的函数关系式； (2)该公寓应建造多少层时，可使公寓每平方米的平均综合费用最少？最少 值是多少？ （结果精确到 1 元） (注：平均综合费用平均建筑费用平均购地费用，平均购地费用 购地总费用 建筑总面积 ) 21. （12 分）已知函数 f(x)6cos 4x5sin2x4 cos2x . (1)判断 f(x)的奇偶性； (2)求 f(x)的周期和单调区间； (3)若关于 x 的不等式 f(x)m 2-m有解，求实数 m 的取值范围 22. （14 分）已知函数.ln)(xxxf （1）求函数)(x
9、f的单调区间和最小值； （2）若函数 x axf xF在e, 1上是最小值为 2 3 ，求 a的值； （3）当 e b e bb 1 ) 1 (:,0求证时（其中 e=2.718 28 是自然对数的底数） . 零诊参考答案(数文 ) 一、选择题：BDBCC CDB A A AD 二、填空题： 13. 2 1 0 2 1 -，; 14. 2 7 a; 15. 0; 16. 甲 ,丁 三、解答题 17.解： (1) mn， asinAbsinB，即 a a 2Rb b 2R，其中 R 是 ABC 外接圆半径， ab. ABC 为等腰三角形 (2)由题意可知m p0，即 a(b 2)b(a2) 0.
10、abab. 由余弦定理可知，4 a2 b2ab(ab)2 3ab，即 (ab) 23ab4 0. ab4(舍去 ab 1)， S1 2absinC 1 2 4 sin 3 3 18.解： (1)设等比数列 an的公比为q， 则 a1a1q 210， a1a1qa1q 2a 1q 340， a11， q 3. ana1qn 13n1 . 等比数列 an的通项公式为 an3 n1. (2)设等差数列 bn 的公差为 d，则 T3b1b2b33b215， b25. 又 a1b1，a2b2，a3b3成等比数列，(a2b2)2(a1b1)(a3b3)， 即(35)2(1b1)(9b3)，64(6d)(1
11、4d) d 10 或 d2. b115， d 10 (舍去 )或 b13， d2. Tnnb1 nn1 2 d3nn n1 2 2n 22n. 19.（1）xxxf 2 2 1 （2）若xg在2 , 3上单调递增，则0xg在2, 3x上恒成立， 即 012 2 1 2x emxx 在2, 3x上恒成立，即 112 2 1 min 2 xxm 若xg在2, 3上单调递减，则0xg在2, 3x上恒成立， 即012 2 12x emxx在2, 3x上恒成立， 即712 2 1 max 2 xxm,71,m 20. 解(1)依题意得y(560 48x) x2000 100001000 56048x x
12、 5000 ( x8，xN * )； (2)提示：均值不等式失效，求导或由x=10 时， y=1540；x=11 时， y=1543. 故该公寓应建造10 层时，可使公寓每平方米的平均综合费用最少，最小值为1540 元 21. 解：(1)由 cos2x0 得 2x k 2，kZ，解得 x k 2 4，kZ，f(x)的定义域为 x|x k 2 4，kZ f(x)的定义域关于原点对称当x k 2 4，k Z 时， f(x) 6cos 4x 5sin2x4 cos2x 6cos 4 x5cos 2x1 cos2x (2cos 2x1)(3cos2 x1) cos2x 3cos2x1， f(x)是偶函
13、数 (2)f(x)3cos 2x131 cos2x 2 1 1 2 3 2cos2x.T 2 ， f(x)的最小正周期为 . 增 区 间 为 、 4 -, 2 kk)(, 4 Zkkk ， 减 区 间 为 、 4 , kk )( 2 , 4 Zkkk (3)当 x k 2 4(kZ)时， 0 cos 2x1且 cos2x 1 2， 13cos 2x12 且 3cos2x11 2， f(x)的值域为 y|1 y1 2或 1 2y2 由关于 x 的不等式 f(x)m2-m 有解得 2m2-m 解得 1m2 22.解：（1）.ln1ln,0)(),0(1ln)( 1 exxfxxxf即令 )., 1
14、 . 1 1 e x e ex 同理，令. 1 ,0(0)( e xxf可得f(x)单调递增区间为), 1 e ， 单调递减区间 为 1 ,0( e . 由此可知. 1 ) 1 ()( min ee fxfy （2） 2 x ax xF 当1-a时， F（x）在e, 1上单调递增， 2 3 min axF，, 1- 2 3 a， 舍去； 当ea-时，xF在e, 1单调递减， 2 3 )( min eFxF，e e a- , 2 舍去； 若1, ea，xF在a, 1单调递减，在ea,单调递增， 2 3 1ln min aaFxF，1,eea. 综上所述：ea （3）由（ I）可知当0b时，有 e bb e xfbf 1 ln, 1 )()( min ， 即 1 11 ln()ln( ) b e b ee . 1 1 ( ) b e b e .