圆锥曲线典型例题整理.pdf

《圆锥曲线典型例题整理.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《圆锥曲线典型例题整理.pdf（7页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、1 椭圆典型例题 一、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。 例 1：已知椭圆的焦点是F1(0，1)、F2(0,1)，P 是椭圆上一点，并且PF1PF22F1F2，求椭圆的标准方 程。 解：由 PF1PF22F1F2224，得 2a4.又 c1，所以 b23. 所以椭圆的标准方程是 y2 4 x2 3 1. 2已知椭圆的两个焦点为F1(1,0)，F2(1,0)，且 2a10，求椭圆的标准方程 解： 由椭圆定义知c1，b5 21 24. 椭圆的标准方程为 x 2 25 y 2 241. 二、未知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。 例： 2. 椭圆的一个顶点为02，A，其长轴长是短轴长的2 倍，求

2、椭圆的标准方程 分析： 题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置 解： （1）当02，A为长轴端点时，2a，1b，椭圆的标准方程为：1 14 22 yx ； （2）当02，A为短轴端点时，2b，4a，椭圆的标准方程为：1 164 22 yx ； 三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出，求椭圆的标准方程。 例 3求过点 (3,2)且与椭圆 x 2 9 y 2 4 1 有相同焦点的椭圆的标准方程 解：因为c 2945，所以设所求椭圆的标准方程为 x 2 a 2 y 2 a 2 51. 由点( 3,2) 在椭圆上知 9 a 2 4 a 251， 所以a 215. 所以所求椭圆的标准方程为 x 2 15

3、y 2 101. 四、与直线相结合的问题，求椭圆的标准方程。 例 4：已知中心在原点， 焦点在x轴上的椭圆与直线01yx交于A、B两点，M为AB中点，OM 的斜率为 0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程 解： 由题意，设椭圆方程为1 2 2 2 y a x ， 由 1 01 2 2 2 y a x yx ，得021 222 xaxa， 2 2 21 1 2a axx xM， 2 1 1 1 a xy MM ， 4 11 2 ax y k M M OM ，4 2 a，1 4 2 2 y x 为所求 五、求椭圆的离心率问题。 例 5 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率 解：

4、3 1 22 2 c a c 22 3ac， 3 3 3 1 e 例 6 已知椭圆1 98 22 y k x 的离心率 2 1 e，求k的值 解：当椭圆的焦点在x轴上时，8 2 ka，9 2 b，得1 2 kc由 2 1 e，得4k 当椭圆的焦点在y轴上时，9 2 a，8 2 kb，得kc1 2 由 2 1 e，得 4 1 9 1k ，即 4 5 k满足条件的4k或 4 5 k 六、由椭圆内的三角形周长、面积有关的问题 例： 7.若ABC 的两个顶点坐标A(4,0)，B(4,0)， ABC 的周长为 18，求 2 顶点 C 的轨迹方程。 解：顶点 C 到两个定点 A，B 的距离之和为定值10，

5、且大于两定点间的距离，因此 顶点 C 的轨迹为椭圆， 并且 2a10，所以 a5,2c8，所以 c4，所以 b2a2c 29， 故顶点 C 的轨迹方程为 x2 25 y2 9 1.又 A、B、C 三点构成三角形，所以y0.所以顶点 C 的轨迹方程为 x 2 25 y 2 9 1(y0)答案： x 2 25 y 2 9 1(y0) 2已知椭圆的标准方程是 x 2 a 2 y 2 251(a5)， 它的两焦点分别是F1，F2，且F1F28，弦AB过点F1，求 ABF2的周 长 因为 F1F28，即即所以 2c8，即 c4，所以 a2251641，即 a 41，所以 ABF2的周长为 4a4 41.

6、 3设 F1、F2是椭圆 x 2 9 y 2 4 1 的两个焦点， P 是椭圆上的点，且PF1PF221，求 PF1F2的面积 解析：由椭圆方程，得 a3，b2，c5，PF1PF22a6.又 PF1PF22 1，PF14，PF22，由 2 242(2 5)2 可知 PF1F2是直角三角形，故 PF1F2的面 积为 1 2PF1 PF2 1 2 244 七、直线与椭圆的位置问题 例 8 已知椭圆1 2 2 2 y x ，求过点 2 1 2 1 ，P且被P平分的弦所在的直线方程 分析一： 已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k，利用条件求k 解法一： 设所求直线的斜率为k，则直线方程为 2 1

7、 2 1 xky代入椭圆方程，并整理得 0 2 3 2 1 2221 2222 kkxkkxk由韦达定理得 2 2 21 21 22 k kk xx P是弦中点，1 21 xx故得 2 1 k所以所求直线方程为0342yx 解法二： 设过 2 1 2 1， P 的直线与椭圆交于 11 yxA，、 22 yxB，则由题意得 1. 1 1 2 1 2 21 21 2 2 2 2 2 1 2 1 yy xx y x y x ， ， ， 得0 2 2 2 2 1 2 2 2 1 yy xx 将、代入得 2 1 21 21 xx yy ，即直线的斜率为 2 1 所求直线方程为0342yx 八、椭圆中的最

8、值问题 例 9 椭圆1 1216 22 yx 的右焦点为F， 过点31 ，A， 点M在椭圆上，当MFAM2为最小值时， 求点M 的坐标 3 解： 由已知：4a，2c所以 2 1 e，右准线8xl： 过A作lAQ，垂足为Q，交椭圆于M，故MFMQ2显然MFAM2的最小值为AQ，即M为 所求点，因此3 M y，且M在椭圆上故32 M x所以332，M 双曲线典型例题 一、根据方程的特点判断圆锥曲线的类型。 例 1讨论1 925 22 k y k x 表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征 分析： 由于9k，25k，则k的取值范围为9k，259k，25k，分别进行讨论 解：（1）当9k时，025k，09

9、k，所给方程表示椭圆，此时ka25 2 ，kb9 2 ， 16 222 bac，这些椭圆有共同的焦点（4，0） ， （4，0） （2）当259k时，025k，09k，所给方程表示双曲线，此时，ka25 2 ，kb9 2 ， 16 222 bac，这些双曲线也有共同的焦点（4，0） ， ） （4，0） （3）25k，9k，25k时，所给方程没有轨迹 说明： 将具有共同焦点的一系列圆锥曲线，称为同焦点圆锥曲线系，不妨取一些k值，画出其图形，体会 一下几何图形所带给人们的美感 二、根据已知条件，求双曲线的标准方程。 例 2根据下列条件，求双曲线的标准方程 （1）过点 4 15 3，P，5 3 16，

10、 Q且焦点在坐标轴上 （2）6c，经过点（ 5，2） ，焦点在x轴上 （3）与双曲线 1 416 22 yx 有相同焦点，且经过点223， 解： （1）设双曲线方程为1 22 n y m x P、Q两点在双曲线上， 1 25 9 256 1 16 2259 nm nm 解得 9 16 n m 所求双曲线方程为1 916 22 yx 说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的 （2）焦点在x轴上，6c，设所求双曲线方程为：1 6 22 yx （其中60） 双曲线经过点（5，2） ，1 6 425 5或30（舍去） 所求双曲线方程是1 5 2 2 y x （3）设所求双曲线方程

11、为：1601 416 22 yx 双曲线过点223，1 4 4 16 18 4或14（舍） 所求双曲线方程为1 812 22 yx 4 说明： （1）注意到了与双曲线1 416 22 yx 有公共焦点的双曲线系方程为1 416 22 yx 后，便有了以上 巧妙的设法 （2）寻找一种简捷的方法，须有牢固的基础和一定的变通能力，这也是在我们教学中应该注重的一个重 要方面 三、求与双曲线有关的角度问题。 例 3 已知双曲线1 169 22 yx 的右焦点分别为 1 F、 2 F，点P在双曲线上的左支上且32 21 PFPF，求 21PF F的大小 分析： 一般地，求一个角的大小，通常要解这个角所在的

12、三角形 解：点P在双曲线的左支上6 21 PFPF362 21 2 2 2 1 PFPFPFPF 100 2 2 2 1 PFPF10044 1222 2 21 bacFF90 21PF F 说明： （1）巧妙地将双曲线的定义应用于解题当中，使问题得以简单化 （2）题目的“点P在双曲线的左支上”这个条件非常关键，应引起我们的重视，若将这一条件改为“点P 在双曲线上”结论如何改变呢？请读者试探索 四、求与双曲线有关的三角形的面积问题。 例 4 已知 1 F、 2 F是双曲线1 4 2 2 y x 的两个焦点，点P在双曲线上且满足90 21PF F，求 21PF F的 面积 分析： 利用双曲线的定

13、义及 21PF F中的勾股定理可求 21PF F的面积 解：P为双曲线1 4 2 2 y x 上的一个点且 1 F、 2 F为焦点 42 21 aPFPF,522 21 cFF90 21PF F 在 21F PFRt中，20 2 21 2 2 2 1 FFPFPF162 21 2 2 2 1 2 21 PFPFPFPFPFPF 16220 21 PFPF2 21 PFPF1 2 1 21 21 PFPFS PFF 说明： 双曲线定义的应用在解题中起了关键性的作用 五、根据双曲线的定义求其标准方程。 例 5已知两点05 1 ，F、05 2 ，F，求与它们的距离差的绝对值是6 的点的轨迹 分析：

14、问题的条件符合双曲线的定义，可利用双曲线定义直接求出动点轨迹 解：根据双曲线定义，可知所求点的轨迹是双曲线 5c，3a16435 222222 acb 所求方程1 169 22 yx 为动点的轨迹方程，且轨迹是双曲线 例P是双曲线1 3664 22 yx 上一点， 1 F、 2 F是双曲线的两个焦点，且17 1 PF，求 2 PF的值 分析： 利用双曲线的定义求解 解： 在双曲线1 3664 22 yx 中，8a，6b，故10c 由P是双曲线上一点，得16 21 PFPF1 2 PF或33 2 PF 又2 2 acPF，得33 2 PF 说明： 本题容易忽视acPF 2 这一条件，而得出错误的

15、结论1 2 PF或33 2 PF 说明： （1）若清楚了轨迹类型，则用定义直接求出其轨迹方程可避免用坐标法所带来的繁琐运算 （2）如遇到动点到两个定点距离之差的问题，一般可采用定义去解 六、求与圆有关的双曲线方程。 5 例 6求下列动圆圆心M的轨迹方程： （1）与22 22 yxC：内切，且过点 02，A （2）与11 22 1 yxC：和41 22 2 yxC ：都外切 （3）与93 2 2 1 yxC：外切，且与13 2 2 2 yxC ：内切 分析： 这是圆与圆相切的问题，解题时要抓住关键点，即圆心与切点和关键线段，即半径与圆心距离如 果 相切 的 1 C、 2 C的 半径 为 1 r、

16、 2 r且 21 rr， 则当 它们外 切时 ， 2121 rrOO； 当它 们内切 时 ， 2121 rrOO解题中要注意灵活运用双曲线的定义求出轨迹方程 解：设动圆M的半径为r （1） 1 C与M内切，点A在C外2rMC，rMA，2MCMA 点M的轨迹是以C、A为焦点的双曲线的左支，且有： 2 2 a，2c， 2 7 222 acb双曲线方程为21 7 2 2 2 2 x y x （2）M与 1 C、 2 C都外切1 1 rMC，2 2 rMC，1 12 MCMC 点M的轨迹是以 2 C、 1 C为焦点的双曲线的上支，且有： 2 1 a，1c， 4 3222 acb 所求的双曲线的方程为：

17、 4 3 1 3 4 4 2 2 y x y （3）M与 1 C外切，且与 2 C内切 3 1 rMC，1 2 rMC，4 21 MCMC 点M的轨迹是以 1 C、 2 C为焦点的双曲线的右支，且有：2a，3c，5 222 acb 所求双曲线方程为：21 54 22 x yx 说明： （1） “定义法”求动点轨迹是解析几何中解决点轨迹问题常用而重要的方法 （2）巧妙地应用“定义法”可使运算量大大减小，提高了解题的速度与质量 （3）通过以上题目的分析，我们体会到了，灵活准确地选择适当的方法解决问题是我们无休止的追求目 标 w.w.w.k.s.5.u.c.o. 抛物线典型例题 一、求抛物线的标准方

18、程。 例 1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程 （1）yx4 2 （2）)0( 2 aayx 分析：（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出p，再写出焦点坐标和准线方程 （2）先把方程化为标准方程形式，再对a 进行讨论，确定是哪一种后，求p 及焦点坐标与准线方程 解： （1）2p，焦点坐标是（0，1） ，准线方程是：1y （2）原抛物线方程为：x a y 1 2 ， a p 1 2 当0a时， a p 4 1 2 ，抛物线开口向右，焦点坐标是)0, 4 1 ( a ，准线方程是： a x 4 1 当0a时， a p 4 1 2 ，抛物线开口向左，焦点坐标是)0 , 4 1 ( a ，

19、准线方程是： a x 4 1 综合上述，当0a时，抛物线 2 ayx的焦点坐标为)0 , 4 1 ( a ，准线方程是： a x 4 1 二、求直线与抛物线相结合的问题 例 2 若直线2kxy与抛物线xy8 2 交于 A、B 两点，且 AB 中点的横坐标为2，求此直线方程 分析： 由直线与抛物线相交利用韦达定理列出k 的方程求解另由于已知与直线斜率及弦中点坐标有关， 故也可利用“作差法”求k 6 解法一： 设),( 11 yxA、),( 22 yxB，则由： xy kxy 8 2 2 可得：04)84( 22 xkxk 直线与抛物线相交，0k且0，则1k AB 中点横坐标为：2 84 2 2

20、21 k kxx ， 解得：2k或1k（舍去）故所求直线方程为：22xy 解法二： 设),( 11 yxA、),( 22 yxB，则有 2 2 21 2 1 88xyxy 两式作差解：)(8)( 212121 xxyyyy，即 2121 21 8 yyxx yy 4 21 xx444)(22 212121 kxxkkxkxyy， 44 8 k k故2k或1k（舍去）则所求直线方程为：22xy 三、求直线中的参数问题 例 3（1）设抛物线xy4 2 被直线kxy2截得的弦长为53，求 k 值 （2）以（ 1）中的弦为底边，以x 轴上的点 P 为顶点作三角形，当三角形的面积为9 时，求 P 点坐标

21、 分析： （1）题可利用弦长公式求k， （2）题可利用面积求高，再用点到直线距离求P 点坐标 解： （1）由 kxy xy 2 4 2 得：0)44(4 22 kxkx 设直线与抛物线交于),( 11 yxA与),( 22 yxB两点则有： 4 ,1 2 2121 k xxkxx )21(5)1(54)(5)(21( 22 21 2 21 2 21 2 kkkxxxxxxAB 53)21( 5,53kAB，即4k （2）9 S，底边长为53，三角形高 5 56 53 92 h点 P 在 x 轴上，设P 点坐标是)0,( 0 x 则点 P 到直线42xy的距离就等于h，即 5 56 12 402

22、 22 0 x 1 0 x或5 0 x，即所求 P 点坐标是（ 1，0）或（ 5，0） 四、与抛物线有关的最值问题 例 4定长为 3 的线段AB的端点A、B在抛物线xy 2 上移动，求AB的中点到y轴的距离的最小值， 并求出此时AB中点的坐标 分析： 线段AB中点到y轴距离的最小值，就是其横坐标的最小值这是中点坐标问题，因此只要研究A、 B两点的横坐标之和取什么最小值即可 解：如图，设F是xy 2 的焦点，A、B两点到准线的垂线分别是AC、BD，又M到准线的垂线为MN， C、D和N是垂足，则 2 3 2 1 )( 2 1 )( 2 1 ABBFAFBDACMN 设M点的横坐标为x，纵坐标为y，

23、 4 1 xMN，则 4 5 4 1 2 3 x 等式成立的条件是AB过点F 当 4 5 x时， 4 1 2 21 Pyy，故 2 2 1 22)( 21 2 2 2 1 2 21 xyyyyyy， 7 2 21 yy， 2 2 y所以) 2 2 , 4 5 (M，此时M到y轴的距离的最小值为 4 5 说明： 本题从分析图形性质出发，把三角形的性质应用到解析几何中，解法较简 例 5已知点)2,3(M，F为抛物线xy2 2 的焦点，点P在该抛物线上移动，当PFPM取最小值时， 点P的坐标为 _ 分析： 本题若建立目标函数来求PFPM的最小值是困难的，若巧妙地利用抛物线定义，结合图形则问 题不难解决 解： 如图， 由定义知PEPF，故 2 1 3MNMEPMPFPFPM 取等号时，M、P、E三点共线，P点纵坐标为2，代入方程，求出其 横坐标为 2， 所以P点坐标为)2,2(