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1、第 1 页 共 4 页 一、 (10 分) 计算行列式 xaaa axaa aaxa n n n 21 21 21 解：原 式 xx xx aaxa n 0 0 21 x x aaxa n n k k 00 00 2 1n k k n n axx 1 1 1 二、 (10分 ) 设1 ,3,1 ,2 1 ,10 ,2,1 2 ,30 ,1 ,1 3 ，讨论向量 组 321 ,的 线 性 相 关 性。 解：因为09 011 021 312 故 1,2,3 线 性 无 关 三、（15 分）.X2AAX 410 011 103 AX，求矩阵且满足，设 解： AAEX 1 )(2 410310 011
2、001 103102 )(AAE 410310 103102 011001 121100 410310 011001 121100 410310 011001 121100 173010 011001 242 2146 022 X 四、 （10 分） 第 2 页 共 4 页 试 判 定 方 程 组 .3222 2353 132 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx 是 否 有 解 解：对增广矩阵B做初等行变换 故方程无解 五、 （16 分）设 3)3()3( 2)1( 2)3( 321 321 321 xxx xxx xxx 问 为何值时此方程组（ 1）有唯一解 （ 2）
3、无解（ 3）有无穷多解? 解： 2110 123 00 333 211 213 A4 0)1( 100 123 101 )1( 2 A, 有 唯 一 解 ；6 当0时， 0000 0110 0101 A , 1 1 1 X 无 穷 多 解8 当1时，3)(,2)(ARAR无 解10 六、 (12 分) 求矩阵A的列向量组的一个最大无关组并把不属于最大无关组的列向量用 最大无关组线性表示其中 97963 42264 41211 21112 A 32212 23513 11321 B 13 12 2 rr rr 10450 10450 11321 第 3 页 共 4 页 解： 可见R(A) =3,
4、 故列向量组的最大无关组含3 个向量 . 因为在A的行阶梯形矩阵中, 三个非零行的首非零元在1、2、 4列, 故a1,a2, a4为列向量组的一 个最大无关组.因此a3 a1a2a54a13a23a4 七、 （12 分）设 3 阶方阵A的三个特征值 分 别 为 2，-2 ，1，EAAAB54 23 , 求 行 列 式B的 值。 解：由特征值的性质可知，B的特征值分别为 152422 23 ，15)2(4)2()2( 23 151411 23 故1 321 uuuB 八、（15 分） 求一个正交变换将二次型 32 2 3 2 2 2 1321 2334),(xxxxxxxxf化成标准形 解二次型
5、的矩阵为 310 130 004 A-2分 00000 31000 01110 41211 00000 31000 30110 40101 97963 42264 41211 21112 310 130 004 EA ,42 2 .4, 2 321 得特征值 得基础解系由对, 02, 2 1 xEA 1 1 0 1 第 4 页 共 4 页 使 f 2y124y224y32 得基础解系由对,04,4 32 xEA . 1 1 0 , 0 0 1 32 , 32 恰好正交与., 321 两两正交所以 得令单位化再将3, 2, 1, 321 i i i i , 21 21 0 1 , 0 0 1 2 . 21 21 0 3 21021 21021 010 , 321 P于是有正交矩阵