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1、第 1 页 共 4 页 学期： 2005 至2006学年度 第二学期 线性代数 一、计算行列式 xaa axa aax Dn (10分) 解将第一行乘 ( 1)分别加到其余各行得 axxa axxa axxa aaax Dn 000 00 00 -4分 再将各列都加到第一列上得 ax ax ax aaaanx Dn 0000 000 000 ) 1( -8分 x (n 1)a(x a) n 1 -10分 二、求矩阵 2500 3800 0012 0025 的逆阵（ 10 分） 解设 12 25 A 25 38 B -2分 则 52 21 12 25 1 1 A 85 32 25 38 1 1
2、B-6 分 于是 8500 3200 0052 0021 2500 3800 0012 0025 1 1 1 1 B A B A -10 分 得分 得分 得分 第 2 页 共 4 页 三、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3 已知123 是它的三个解向量且1(2 3 4 5) T 23 (1 2 3 4) T 求该方程组的通解（12 分） 解：由于方程组中未知数的个数是4 系数矩阵的秩为3 所以对应的齐次线性方程组的基础解 系含有一个向量 -4分 且由于123均为方程组的解由非齐次线性方程组解的结构性质得 21(23) (12) (13) (3 4 5 6) T 为其基础解系向量-10分
3、故此方程组的通解为： x k(3 4 5 6) T (2 3 4 5) T (k R) -12分 四、已知 R 3 的两个基为 a1(1 1 1) T a2(1 01) T a3(1 0 1) T； b1(1 2 1) T b2(2 3 4) T b3(3 4 3) T 求由基a1a2a3到基b1b2b3的过渡矩阵P（12 分） 解：设 e1e2e3是三维单位坐标向量组则 111 001 111 ),(),( 321321 eeeaaa 1 321321 111 001 111 ),(),(aaaeee 于是 341 432 321 ),(),( 321321 eeebbb 341 432 3
4、21 111 001 111 ),( 1 321 aaa 由基 a1a2a3到基 b1b2b3的过渡矩阵为 101 010 432 341 432 321 111 001 111 1 P-12分 五、设 2 321 321 321 1 xxx xxx xxx 问 为何值时此方程组（ 1）有唯一解（ 2）无解 （ 3）有无穷多解 ? （15 分） 解 2 11 11 111 B 2 2 ) 1)(1 ()2)(1(00 )1(110 11 r -6 分 (1)要使方程组有唯一解必须 R(A) 3因此当1且2 时方程组有唯一解.-9 分 (2)要使方程组无解必须 R(A) R(B)故 (1)(2)
5、 0 (1)(1) 2 0 得分 得分 第 3 页 共 4 页 因此2时方程组无解 -12分 (3)要使方程组有有无穷多个解必须 R(A) R(B) 3故 (1)(2) 0 (1)(1) 2 0 因此当1 时方程组有无穷多个解.-15分 六、（ 1）判定向量组 (1 3 1) T (2 1 0) T (1 4 1) T 是线性相关 还 是线 性 无关 ；（2 ）试 用 施密 特 法把 向 量组 931 421 111 ),( 321 aaa 正交化（ 16 分） 。 解： (1)以所给向量为列向量的矩阵记为A因为 000 110 121 220 770 121 101 413 121 rr A
6、-6分 所以 R(A) 2 小于向量的个数从而所给向量组线性相关-8分 （2）根据施密特正交化方法 1 1 1 11 ab-2分 1 0 1 , , 1 11 21 22 b bb ab ab-5分 1 2 1 3 1 , , , , 2 22 32 1 11 31 33 b bb ab b bb ab ab-8分 七、已知3阶矩阵A的特征值为3 ,2, 1求AAA75 23 （10 分） 解令 ( ) 3 5 2 7-2分 则(-1)-13(2) 2(3) 3 是(A)的特征值-6分 故 |A 3 5A 2 7A| | (A)|(1)(2)(3) -13 2 3 -78 -10分 八、求一个
7、正交变换将二次型 32 2 3 2 2 2 1321 4332),(xxxxxxxxf化成 标准形（ 15 分） 得分 得分 得分 第 4 页 共 4 页 解二次型的矩阵为 320 230 002 A-2分 由)1)(5)(2( 320 230 002 EA 得 A 的特征值为 122531-5分 当12 时, 解方程 (A 2E)x 0由 000 100 210 120 210 000 2EA 得特征向量 (1 0 0) T 取 p1(1 0 0) T-7 分 当25 时解方程 (A 5E)x 0由 000 110 001 220 220 003 5EA 得特征向量 (0 1 1) T 取 T ) 2 1 , 2 1 , 0( 2 p-9分 当31 时解方程 (A E)x 0 由 000 110 001 220 220 001 EA 得特征向量 (01 1) T 取 T ) 2 1 , 2 1 , 0( 3 p-11分 于是有正交矩阵T (p1p2 p3)和正交变换x Ty 使 f 2y1 2 5y2 2 y3 2-15 分