《安徽省六安市毛坦厂中学2015年高考第二次模拟考试考试数学(理)试题.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《安徽省六安市毛坦厂中学2015年高考第二次模拟考试考试数学(理)试题.pdf（19页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、绝密启用前 2014-2015年高中毕业班第二次统一检测题 数学（理科） 本试卷共4 页， 20 小题，满分150 分. 考试用时120 分钟 . 注意事项： 1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔，将自己所在县（市、区）、姓名、试室号、 座位号填写在答题卷上对应位置，再用2B 铅笔将准考证号涂黑. 2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需要改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷上或草稿纸上. 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应 的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上
2、新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上 要求作答的答案无效. 参考公式： 球的表面积 2 4 RS 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分 40 分 1若复数(2)(1)iai是纯虚数 (i是虚数单位，a是实数 )，则a等于（） A. -1 B. 2 1 C.2 D. 3 2为了了解潮州市居民月用电情况，抽查了该市100 户居民月用电量（单位：度），得到频率分布 直方图如下：根据下图可得这100 户居民月用电量在150,300 的用户数是（） A. 70 B. 64 C. 48 开始 np 是 输入 p 结束 输出S 否 1 2 n SS 1nn 0,0nS D.30 3已知数列 n
3、 a的前 n 项和 2 nSn，则 22 32 aa的值为（） A. 9 B. 16 C.21 D.11 4. 在ABC中，若CBA 222 sinsinsin，则ABC的形状是（） A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D不能确定 5执行右边的程序框图，若输出 127 128 s，则输入p（） A.6 B. 7 C.8 D.9 6. 设集合 1 0 1 x Ax x ,1Bx xa, 则“1a”是“AB”的（） A充分不必要条件B必要不充分条件 C充分必要条件D既不充分又必要条件 7已知)2,1 (A，) 1,(aB，)0 ,( bC三点共线，其中0, 0 ba，则 ba 21 的最小值是（）
4、 A2 B4 C6 D 8 8已知奇函数)(xfy的导函数0fx在 R 恒成立，且yx,满足不等式 0)2()2( 22 yyfxxf，则 22 yx的取值范围是( ) A. 22,0B. 2,0C. 2 ,1 D. 8 ,0 二、填空题：本大题共7 小题，考生作答6 小题，每小题5 分，满分30 分 （一）必做题（9 13 题） 9设随机变量X服从正态分布(0,1)N，若(1),P xp则01xP_. 10右图是一个几何体的三视图，根据图中数据， 得该几何体的表面积是_. 11已知n为正偶数，且 n x x) 2 1 ( 2 的展开式中第3 项的 二项式系数最大，则第3 项的系数是 （用数字
5、作答） 12 抛物线 21 4 yx上到焦点的距离等于6 的点的坐标为 13函数 f（x）=sin (x)的导函数( )yfx的部分图像右图所示，其中 A,C 为图像与 x 轴的两个交点，B 为图像的最低点，P 为图像与y 轴的交点 若在曲线段ABC与 x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在ABC 内的概率为 . （二）选做题（14 、15 题，考生只能从中选做一题） 14 （坐标系与参数方程选做题）已知圆的极坐标方程2cos， 直线的极坐标方程为cos2sin70， 则圆心到直线距离为 15 （几何证明选讲选做题）如图所示， O的两条切线PA和PB相交于点P，与O相切于,A B 两点，C是
6、O上的一点，若70P，则ACB_. 三解答题：本大题共6 小题，满分80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 16 （本小题满分12 分） 已知向量1, 3 sin x m，)0( , 3 cos 2 1 , 2 3 A x AAn,函数fxn m的最大值为2 （ 1）求( )f x的最小正周期和解析式； （ 2）设,0, 2 ， 10 (3) 213 f ， 6 (32 ) 5 f ，求 sin()的值 17 （本小题满分12 分） 甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5 局仍未出现连胜，则判定 获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为 1 3 ，乙获胜的概率
7、为 2 3 ，各局比赛结果相互独立。 （ 1）求乙在4 局以内（含4 局）赢得比赛的概率； （ 2）若每局比赛胜利方得1 分，对方得0 分，求甲最终总得分X 的分布列及数学期望。 18 （本小题满分14 分） 如图 1,平面五边形SABCD 中SADABCDACDBCABSA, 3 2 , 2, 2 15 沿 AD 折起 成.如图 2，使顶点S 在底面的射影是四边形ABCD 的中心O，M为BC上一点， 2 1 BM. （1）证明：SOMBC平面； （2）求二面角CSMA的正弦值。 19 （本小题满分14 分） 已知数列 n a的前 n 项和 n T满足 1 26 nn aT，且 1 6a （
8、1）求数列 n a的通项公式； M O C B A D B A S D C S 如图 1 如图 2 （ 2）求数列 n a 1 的前 n 项和 n S； （ 3）证明： 2 12 111 3 333 n n SSS 20.（本小题满分14 分） 已知直线 3 :1 3 lyx过椭圆)0(1: 2 2 2 2 ba b y a x C的一个焦点和一个顶点。 （ 1）求椭圆C 的标准方程； （ 2）过原点的直线与椭圆C 交于 A， B 两点（ A，B 不是椭圆C 的顶点） . 点 D 在椭圆 C 上， 且AD AB，直线 BD 与x轴交于点 M ，求常数使得 BDAM kk 21 （本小题满分14
9、 分） 已知函数 2 ( )() ln() x f xaR xaax （1）当 a=0 时，求函数( )f x的单调区间； （2）当 a=1 时，设 2 ( ) ( ) x h x f x ， （i）若对任意的,0x， 2 ( )h xkx成立，求实数k 的取值范围； （ ii）对任意 12 1xx,证明：不等式 1212 1112 2 ()()2 xxxx h xh xxx 恒成立 . 潮州市 2014-2015学年度高考第二次模拟考试 数学 ( 理科 )参考答案及评分说明 一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，满分40 分 题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案C B B A B
10、A D D 解析： 5 12 1111127 17 2222128 nn Sp. 6.( 1,1)A,(1,1)Baa，当1a时，(0,2)B，AB,反之，若AB，不一 定有1a， 7.由1,2 ,1,1ACbABa共线，有2a+b=1有 2 2122 28 242 abab a b abab . 8. 因为函数y=( )f x为奇函数，所以)2()2( 22 yyfxxf，由函数y=( )f x的导函数 0fx在 R 恒成立，知函数y=( )f x为减函数， 22 22yyxx 即2) 1() 1( 22 yx，故 22 yx的最小值为0，最大值为直径22， 从而 22 yx的最小值为0，最
11、大值为直径的平方8 二、填空题： 9. p 2 1 ；10. 12 ；11. 3 2 ；12.(25,5) ( 2 5,5),；13. 4 ； 14. 8 5 5 ；15.55 解析： 13.由图知 2 22 T AC， 1 22 ABC SAC，设 AC 的横坐标分别为,a b. 设曲线段ABC与 x 轴所围成的区域的面积为S则 ( )( )sin()sin()2 b b a a Sfx dxf xab， 由几何概型知该点在ABC 内的概率为 2 24 ABC S P S . 三、解答题： 16 解：（1） 63 (sin 3 cos 2 1 3 sin 2 3 3 cos 2 1 3 si
12、n 2 3 )( x A xx A x A x Axf3 分 ( )f x的最小正周期 2 6 1 3 T4 分 因为 0A ，由题意知A=2, 5 分 所以 1 ( )2sin(), 36 f xxxR 6 分 （2） 101 32sin32sin, 132326 f 61 (32 )2sin(32 )2sin2cos, 5362 f 8 分 53 sin,cos, 135 ,0, 2 2 2 512 cos1sin1, 1313 2 234 sin1cos1, 55 10 分 5312433 sin()= sincoscossin 13513565 12 分 17 解:用 A 表示“乙在4
13、 局以内（含4 局）赢得比赛” ， k A表示“第k局乙获胜”， k B表示“第 k局甲获胜”，则 21 (),(),1,2,3, 4,5 33 kk P AP Bk 1 分 （） 121231234 ( )()()()P AP A AP B A AP AB A A 121231234 () ()() () ()()()() 22122212256 33333333381 P A P AP B P A P AP A P BA P A 4 分 （）X的可能取值为0,1,2,3 5 分 12 2 24 (0)() 3 39 P XP A A6 分 1231234 1 2 22 1 2 220 (1
14、)()() 3 3 33 3 3 381 P XP B A AP A B A A 7 分 121221234512345(2)()()()() 1 12 1 12 1 21 21 2 12 261 3 33 3 333 33 33 3 33 3243 P XP B BP A B BP A B A B AP B A B A A 14 (3)1(0)(1)(2) 243 P XP XP XP X 9 分 故X的分布列为 X 0 1 2 3 P 4 9 20 81 61 243 14 243 4206114224 0123 981243243243 EX12 分 18.解： （）证明：题知四边形AB
15、CD为菱形，O为菱形中心，连结OB，则AOOB， 因 3 BAD，故sin2sin1 6 OBABOAB1 分 又因为 1 2 BM，且 3 OBM ，在 OBM 中 222 2cosOMOBBMOB BMOBM 2 2113 12 1cos 2234 3 分 所以 222 OBOMBM，故OMBM即OMBC 4 分 又顶点 S 在底面的射影是四边形ABCD 的中心O有ABCDSO平面， 所以BCSO, 5 分 从而BC与平面 SOM 内两条相交直线OM, SO都垂直，所以SOMBC平面 6 分 （）法二如图2，连结,AC BD，因ABCD为菱形，则ACBDO，且ACBD， 以O为坐标原点，,
16、OA OB OS的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向， 建立空间直角坐标系oxyz，2 分 因 3 BAD，故cos3,sin1, 66 OAABOBAB 所以0,0,0 ,3,0,0,0,1,0 ,3,0,0,0,1,0 ,3,1,0 .OABCOBBC3 分 由 1 ,2 2 BMBC知， 131 ,0 444 BMBC 从而 3 3 ,0 44 OMOBBM，即 33 ,0 . 44 M 4 分 题意及如图2 知ABSO,有 M O C B A D B A S D C S 如图 1 如图 2 x y z 2 3 3 4 15 22 OASASO, 3 (0,0,) 2 OS5 分 , 0
17、, 0BCOMBCOS所以SOMBC平面6 分 （）由（）知， 33333 3,0,3,0, 24422 ASMSCS, 设平面ASM的法向量为 1111 ,nx y z，平面SMC的法向量为 2222 ,nxyz8 分 由 0,0,n ASn MS 得 11 111 3 - 30 2 333 0 442 xz xyz 故可取1 5 3 1,2 , 3 n9 分 由 22 0,0,nMSnCS得 222 22 333 0 442 3 30 2 xyz xz 故可取 2 1,3,2n11 分 从而法向量 12 ,n n的夹角的余弦值为 12 12 12 15 cos, 5| | n n n n
18、nn 13 分 故所求二面角ASMC的正弦值为 10 5 . 14 分 19.解： （1）由 1 26 nn aT得 1 26(2) nn aTn - ：有 11 22 nnnn aaTT2 分 即 1 3(2) nn aan，4 分 又 1 6a，由有 211 262618aTa知 21 3aa 5 分 数列 n a是以 6 为首项，公比为3 的等比数列， 1 6 32 3 nn n a6 分 （2）由（ 1）得： 111 2 3 n n a ，7 分 得 12 12 11 (1) 1111 111131 33 () 1 2 33324 3 1 3 n n nnn n S aaa ，8 分
19、（3）证法一：由（2）得：由 14 331 nn n S 9 分 1111 313 312 3312 3 nnnnn 11 分 1111 14442 ,(1,2,.,) 3312 3312 33 kkkkkk k kn S 12 分 221 12 1 1 1111111 3 2(1)23(1)3 1 3333333 1 3 n nnn n SSS 14 分 证法二： 1 11 2 2 3 1431 3 46 331(31)(31)(31)(31) n n nnnnnn n S 11 2 311 66 () (31)(31)3131 n nnnn 12 分 212231 12 111111111
20、 6()()() 333313131313131 nnn n SSS 11 116 6 ()33 23131 nn 14 分 证法三：当1n时，不等式显然成立， 当2n时，令 14 , 331 nnn n c S 1 1 1 441141 1 3133 313 3 3 nn nn n cc11 分 121 211 1111 2, 3333 nnn nn cccc12 分 1221 1 1 1111 3 .2(1.)23(1)3 1 3333 1 3 n nnn ccc . 14 分 综上得命题得证. 证法四：令 14 , 331 nnn n c S 下面用数学归纳法证明， 当1n时，结论显然成
21、立9 分 假设当(1)nk k时，结论成立，即 12 3 k ccc， 当1nk时， 左边 = 121kk cccc 2 444 2 111 3(3)3(3)3(3) 333 k 2 1444 2() 3313131 k 1 233 3 所以当1nk时，结论也成立13 分 综合、可知 12 3 n ccc即 2 12 111 3 333 n n SSS 对nN都成立 . 14 分 20.解： （1）直线 3 :1 3 lyx过两点0,1 ,3,01 分 因为椭圆)0(1: 2 2 2 2 ba b y a x C的焦点在x 轴时， 故焦点为3,0，顶点为1 ,02 分. 3, 1cb3 分.
22、2 22 cba4 分. 所以，所求椭圆C 的方程为 2 2 1 4 x y5 分 （2）设 111122 (,)(0),(,)A xyx yD xy，则 11 (,)Bxy，直线 AB 的斜率 1 1 AB y k x ，6 分 又ABAD，所以直线AD 的斜率 1 1 x k y ，7 分 设直线 AD 的方程为ykxm，由题意知0,0km，8 分 由 2 2 1 4 ykxm x y ，可得 222 (1 4)8440kxmkxm. 所以 12 2 8 14 mk xx k ，9 分 因此 12122 2 ()2 14 m yyk xxm k ， 由题意知， 12 xx，所以 121 1
23、21 1 44 BD yyy k xxkx ，11 分 所以直线BD 的方程为 1 11 1 () 4 y yyxx x ， 令0y，得 1 3xx，即 1 (3 ,0)Mx. 可得 1 1 2 AM y k x . 13 分 所以2 AMBD kk，即2.因此存在常数2使得结论成立. 14 分 21.解： （）当a=0 时， 2 ( )(0,1) ln x f xxx x ， 2 2ln1 ( )(0,1) ln xx fxxx x 1 分 ( )0( )0fxfx令得 ，令 得0 且 2 分 ( )0,11,f xee的单调减区间为:,; 单调增区间为 4 分 （）当a= 时，( )ln(
24、1)(0),h xxx x 5 分 （i）0,1,h(1)ln 210kx时 取，知 2 ( )h xkx不恒成立，0k舍去6 分 22 0,( )( )ln(1)kg xh xkxxxkx当设 则 1(221) ( )12 11 xkxk gxkx xx 7 分 令( )0gx得 12 21 0,1 2 k xx k 2 211 00, 22 k xx k 若，即 k-,g0在x上恒成立 2 0,00,g xxx在上是增函数，从而有 gg=0，即hkx 在恒成立 1 2 k- 8 分 2 21121 00, 222 kk xx kk 若，即 -k0, 当x时,g0, 21 0, 2 k x
25、k g在上单调递减 2 0000 21 0,0 2 1 0 2 k xxkx k k 当取 x时 ,gg=0, 即 h不成立 不合舍去 9 分 综上： 1 2 k- 10 分 （ii ）要证明 1212 1112 2 ()()2 xxxx h xh xxx 只需证明 2 ) 1() 1( )1ln()1ln( ) 1()1( 21 21 21 xx xx xx 只需证明 12 12 12 (1)(1)1 ln(1)ln(1) (1)(1)2 xx xx xx 11 分 即证明 1 1 ln 2 1 1 ) 1( ) 1( 1 )1( )1( 2 1 2 1 2 1 x x x x x x ,令)1( 1 1 2 1 t x x t，则需证明0ln 2 1 1 1 t t t 12 分 令)1(ln 2 1 1 1 )(tt t t x，则0 ) 1(2 ) 1( )( 2 2 tt t x）上单调递减，在（1)(t 0ln 2 1 1 1 0)1()(t t t t即 故不等式 2 ) 1() 1( )1ln()1ln( 21 21 21 xx xx xx 得证 14 分 -END-