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1、高三年级五月模拟考试（一） 文科数学试题 考试时间：2015 年 5 月 10 日 一、选择题 (共 10 小题，每题5 分，共 50 分） 1. 设全集,ln 1,11 , U UR Ax yxBx xC AB则 A.2,1B. 2,1C. 1,2D. 1,2 2复数 3 1 i z i （i为虚数单位）在复平面内对应的点位于( ) A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 3若 P 是q的充分不必要条件，则p 是 q 的（） A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 4. 若抛物线 2 2(0)ypx p的焦点与双曲线 22 2xy的右焦点重合，则p的值为（） A
2、2B2C4D22 5. 一个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是全等的等腰三角形，则此三棱锥外接球的 表面积为 A 9 4 B9C4D 6. 设 1 3 11 32 1 ,log 2,log3 2 abc ，则（） Aabc Bacb Cbca Dcab 7已知直线10mxym上存在点 ( , )x y 满足 30 230 1 xy xy x ,则实数 m 的取值范围为（） A （- 1 2 ，1）B- 1 2 ， 1 C （-1， 1 2 ）D-1， 1 2 8. 将函数 2 13 ( )3cossin 222 x f xx的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 1 2 ， 再
3、将所得图象向右平移 3 得到函数g(x)，则函数g(x)的解析式为（） A ( )cos 2 x g x B( )sin2g xxC ( )sin(2) 3 g xx D ( )sin() 26 x g x 9 已知双曲线 22 22 1 xy ab (a0， b0 的左、右焦点分别为F1、 F2， 以 F1F2为直径的圆被直线 1 xy ab 截得的弦长为6a，则双曲线的离心率为（） A3 B2 C3D2 正视图侧视图 俯视图 1/2 1/2 1 1 10已知函数 2 1 ,0 ( ) log,0 xx f x xx ，若方程( )f xa有四个不同的解 1 x， 2 x， 3 x， 4 x
4、，且 1234 xxxx，则 312 2 34 1 ()xxx x x 的取值范围是（） A( 1,)B1,1C(,1)D1,1 二、填空题 (共 7 小题，每题5 分，共 35 分） 11. 已知向量 ,a b满足3,2,5abab，则向量a与b夹角的余 弦值为. 12. 若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值为_ 13在样本频率分布直方图中，样本容量为160，共有11个小长方形，若 中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形面积和的 1 4 ，则中间 一组的频数为. 14已知实数, x y均大于零，且24xy，则 22 loglogxy的最大值 为. 15. 记 12 xx为 区
5、间 12 ,xx的 长 度 已 知 函 数2 x y， x2,a(0a)，其值域为,m n，则区间,m n的长度的最小值是 16. 设O是ABC的三边中垂线的交点, ,a b c分别为角,A B C对应的边 ,已知 22 20bbc,则 BC AO的范围是 _ 17. 关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受 其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请120 名同学，每人随机写下一个 都小于 1 的正实数对（ x，y） ；再统计两数能与1 构成钝角三角形三边的数对（x, y）的个数 m； 最后再根据统计数m 来估计的值 .假如统计结果是m=3
6、4，那么可以估计_.（用 分数表示） 开始 s输出 结束 是 否 ? 4 9 s 1i 0s i ss 1 1ii 三、解答题 18. (本小题满分12 分) 已知向量xxmsin3,sin，xxncos,sin，设函数nmxf. （）求函数)(xf的单调递增区间； （）在ABC中，边cba,分别是角CBA,的对边，角A为锐角， 若1 6 2sinAAf，7cb，ABC的面积为32，求边a的长 . 19. (本小题满分12 分) 已知数列 n a中， 1 1a，其前n项的和为 n S，且满足 2 2 21 n n n S a S (2)n. ( ) 求证：数列 1 n S 是等差数列； ( )
7、 证明：当2n时， 123 1113 . 232 n SSSS n . 20. (本题满分13 分） 如图所示，矩形ABCD中，DAABE平面，2AEEBBC， FCE为上的点，且BFACE平面，ACBD和交于点G。 （）求证：/ /AEBFD平面； （）求三棱锥CBFG的体积 21. (本小题满分14 分)已知函数 11 ( )()lnf xmxx mx ， （其中常数0m） （）当2m时，求( )f x的极大值； （）试讨论( )fx在区间(0, 1)上的单调性； （） 当3,m时，曲线( )yfx上总存在相异两点 11 (,()P xf x、 22 (,()Q xf x，使 得曲线( )
8、yf x在点P、Q处的切线互相平行，求 12 xx的取值范围 22（本小题满分14 分）已知椭圆:C 22 22 1(0) xy ab ab 的右焦点为(1,0)F， 且点 3 (1, ) 2 P在椭圆C 上，O为坐标原点 （）求椭圆C的标准方程； （）设过定点(0,2)T的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，且AO B为锐角，求直线l的 斜率k的取值范围； （）过椭圆 1: C 22 2 2 1 5 3 xy a b 上异于其顶点的任一点P，作圆:O 3 422 yx的两条切线， 切点分别为,M N（,M N不在坐标轴上） ，若直线MN在x轴、 y轴上的截距分别为m、n， 证明： 22 11
9、 3mn 为定值 2015 届高三年级五月模拟考试（一）文科数学试题 一、选择题 1.C 2A 3.B 4. C 5. A 6.A 7A8. C 9.D 10 B 二、填空题 11. 3 2 12. 60 137 1332 14115.3 16. 1 ,2 4 17. 47/15 三、解答题 18 解： （ 1）xxxnmxfcossin3sin 2 x x 2sin 2 3 2 2cos1 6 2sin 2 1 x 3分 由Zkkxk 2 2 3 6 22 2 ，得)( 3 2 6 Zkkxk )(xf的单调递增区间为)( 3 2 , 6 Zkkk 6分 （2）12cos 2 1 6 2si
10、n 6 2sin 2 1 6 2sinAAAAAf 2 1 1cos22cos 2 AA又 A为锐角， 2 1 cos A， 3 A 9 分 SABC=32sin 2 1 Abc，8bc， 则bcbccbAbccba2)(cos2 2222 255a 12 分 19 解： （）当2n时， 2 1 2 21 n nn n S SS S ，2 分 11 2 nnnn SSS S . 1 11 2 nn SS ， 从而 n S 1 构成以 1为首项， 2为公差的等差数列. 6分 （）由（ 1）可知， 1 11 (1)221 n nn SS ， 1 21 n S n . 8 分 当2n时， 11111
11、111 () (21)(22)2(1)21 n S nnnnnn nnn . 10 分 从而 123 111111111313 .1(1) 2322231222 n SSSS nnnn . 12 分 20 解： （1）证明：由题意可得G 是 AC 的中点，连结FG， BF平面 ACE， CEBF而 BCBE， F 是 EC 的中点，2 分 在AEC 中， FGAE， AE平面 BFD6 分 （2） AD平面 ABE，ADBC， BC平面 ABE，则 AEBC 又 BF平面 ACE，则 AEBF，又 BC BFB， AE平面 BCE 9 分 AEFG而 AE平面 BCE， FG平面 BCF G
12、是 AC 中点， F 是 CE 中点， FGAE 且 FG 1 2AE1 RtBCE 中， BF 1 2CECF 2， 1 1 分 S CFB 1 2 2 21 V CBGFVGBCF 1 3 S CFB FG 1 3 1 1 1 3 13 分 21 解： （）当2m时， 51 ( )ln 2 f xxx x 22 51(2)(21) ( )1 22 xx fx xxx (0)x 1分 当 1 0 2 x，2x时，( )0fx；当 1 2 2 x时，( )0fx ( )f x在 1 (0,) 2 和(2,)上单调递减，在 1 (, 2) 2 单调递减 3分 故 53 ( )= (2)ln 2
13、22 f xf 极大 4分 （） 2 222 111 ()1()() 1 ( )1 mxmxxm x mmm fx xxxx (0,0)xm 5 分 当01m时，则 1 1 m ，故(0,)xm时，( )0fx；(, 1)xm时，( )0fx 此时( )fx在(0,)m上单调递减，在(, 1)m单调递增； 6分 当1m时，则 1 1 m ，故(0, 1)x，有 2 2 (1) ( )0 x fx x 恒成立， 此时( )fx在(0, 1)上单调递减； 7分 当1m时，则 1 01 m ，故 1 (0,)x m 时，( )0fx； 1 (, 1)x m 时，( )0fx 此时( )fx在 1 (
14、0,) m 上单调递减，在 1 (, 1) m 单调递增； 8分 （）由题意，可得 12 ()()fxfx（ 12 ,0xx，且 12 xx） 即 22 1122 11 11 11 mm mm xxxx 1212 1 ()xxmx x m 9分 12 xx，由不等式性质可得 212 12 () 2 xx x x恒成立，又 12 ,0xxm 212 12 1 ()() 2 xx xxm m 12 4 1 xx m m 对3,m恒成立 11分 令 1 ( )(3)g mmm m ，则 22 1(1)(1) ()10 mm g m mm 对3,m恒成立 ()g m在3,上单调递增， 10 ()(3)
15、 3 g mg 12 分 故 446 1 (3)5g m m 13 分 从而 “ 12 4 1 xx m m 对3,m恒成立 ” 等价于 “ 12 46 (3)5 xx g ” 12 xx的取值范围为 6 (,) 5 14 分 22解： （）由题意得：1c所以 22 1ab 2分 又因为点 3 (1, ) 2 P在椭圆C上，所以 22 19 1 4ab ，可解得 22 4,3ab 所以椭圆标准方程为 22 1 43 xy 4分 （）设直线l方程为2ykx，设 11 (,)A x y、 22 (,)B xy 由 22 1 43 2 xy ykx 得： 22 (43)1640kxkx， 因为 2
16、1230k，所以 2 1 4 k， 6分 又 122 16 43 k xx k ， 122 4 43 x x k 因为AOB为锐角，所以0OA OB， 即 1212 0x xy y， 所以 1212 (2)(2)0x xkxkx， 所以 2 1212 (1)2 ()40kx xk xx 8分 所以 2 22 416 (1)240 4343 k kk kk 即 2 2 1216 0 43 k k ，所以 24 3 k所以 214 43 k ， 解得 2 31 32 k或 12 3 23 k 9分 （）由题意： 1: C 22 3 1 44 xy 设点 11 (,)P x y， 22 (,)M x
17、y， 33 (,)N xy, 因为,M N不在坐标轴上，所以 2 2 1 PM OM x k ky 直线PM的方程为 2 22 2 () x yyxx y 化简得： 22 4 3 x xy y 11分 同理可得直线 PN的方程为 33 4 3 x xy y 把P点的坐标代入、得 2121 3131 4 3 4 3 x xy y x xy y 所以直线MN的方程为 11 4 3 x xy y， 12分 令0y，得 1 4 3 m x ，令0x得 1 4 3 n y ， 所以 1 4 3 x m ， 1 4 3 y n 又点P在椭圆 1 C上， 所以 2244 ()3()4 33mn ， 即 22 113 34mn 为定值 14分 -END-