安徽省六安市毛坦厂中学第二次模拟考试试卷数学(理科).pdf

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1、高中毕业班第二次模拟考试试卷 数学（理科） 第卷 一、选择题（本大题共12 个小题，每小题5分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的） 1、已知集合 2 1 |log,1,|,2Uy yx xPy yx x ，则 U C P A 1 (0,) 2 B(0,) C 1 ,) 2 D 1 (,0),) 2 2、下列四个函数中，既是奇函数又是定义域上的单调递增的是 A2 x y Btanyx C 3 yx D 3 logyx 3、已知复数z满足 2015 (1) i zi( 其中 i 为虚数单位 ) ，则z的虚部为 A 1 2 B 1 2 C 1 2 i D 1 2 i

2、 4、等比数列 n a的前 n 项和为 n S，已知 3217 5,2Saa a，则 5 a A 1 2 B 1 2 C2 D2 5、设变量, x y满足约束条件 3 1 23 xy xy xy ，则目标 函数23zxy的最小值为 A6 B7 C8 D23 6、投掷两枚骰子，则点数之和是8 的概率为 A 5 36 B 1 6 C 2 15 D 1 12 7、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A 10 3 B 5 3 C 20 3 D4 8、执行右下方的程序框图，如果输入的4N，那么输出的S的值为 A 111 1 234 B 111 1 232432 C 1111 1 2345 D

3、1111 1 23243 25432 9、在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半 轴重合，终边过点(sin,cos) 88 P ，则sin(2) 12 A 3 2 B 3 2 C 1 2 D 1 2 10、在四面体S-ABC中，SA平面,120 ,2,1ABCBACSAACAB， 则该四面体的外接球的表面积为 A11 B7 C 10 3 D 40 3 11、已知 F是抛物线 2 4xy的焦点，直线1ykx与该抛物线交于第一象限 内的零点,A B，若 3AFFB，则k的值是 A3 B 3 2 C 3 3 D 2 3 3 12、设函数 22 12 ,2(),0,1,2, ,9

4、9 99 i i f xx fxx xai，记 102 |()()|()()| kkkkk Sfafafafa 9998 |()() |,1,2 kk fafak，则下列结论正确的是 A 12 1SS B 12 1SS C 12 1SS D 12 1SS 第卷 二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分，把答案填在答题卷的横线上。. 13、已知向量(2,1),( , 1)abx，且ab与b共线，则x 的值为 14、已知 828 0128 (1)(1)(1)xaa xaxa x，则 7 a 15、设点 P、Q分别是曲线( x yxee是自然对数的底数）和直线3yx上的动点， 则 P

5、、 Q 两点间距离的最小值为 16、在平面直角坐标系中有一点列 111222 (,),(,),(,), nnn P a bP a bP a b对nN，点 n P 在函数(01) x yaa的图象上， 又点 1 ( ,0),(,),(1,0) nnnnn A nP a bAn构成等腰三角形， 且 1nnnn P AP A 若对nN ，以 12 , nnn b bb 为边长能构成一个三角形，则a的取值范围是 三、解答题：本大题共6 小题，满分70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17、 （本小题满分12 分） 在ABC中，角,A B C的对边分别为, ,a b c，且满足cos(2)c

6、os()bAcaB （1）求角 B的大小； （2）若4,bABC的面积为3，求ac的值。 18、 （本小题满分12 分） 4月 23 人是“世界读书日” ，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动，为了解本 校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100 名学生对其课外阅读时间进行调查，下面是根据 调查结果绘制的学生日均课外阅读时间（单位：分钟）的频率分布直方图，若将日均课外阅 读时间不低于60 分钟的学生称为“读书谜”，低于 60 分钟的学生称为“非读书谜” （1）根据已知条件完成下面22的列联表，并据此判断是否有99% 的把握认为“读书谜” 与性别有关？ （2）将频率视为概率，现在从该校大量学生

7、中，用随机抽样的方法每次抽取1 人，共抽取 3 次，记被抽取的3 人中的“读书谜”的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列，期望E（X）和方程D（ X） 19、 （本小题满分12 分） 已知PA平面,4,1ABCD CDAD BAAD CDADAPAB。 （1）求证：CD平面ADP； （2）M为线段 CP上的点，当BMAC时，求二面角CABM的余弦值。 20、 （本小题满分12 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 经过点 3 (1,) 2 ，离心率为 3 2 。 （1）求椭圆C的方程； （2） 不垂直与坐标轴的直线l与椭圆C交于,A B两点， 线段AB的

8、垂直平分线交y 轴于点 1 (0,) 3 P，若 1 cos 3 APB，求直线l的方程。 21、 （本小题满分12 分） 已知函数2,( x fxeaxe是自然对数的底数，)aR。 （1）求函数fx的单调递增区间； （2）若k为整数，1a，且当0x时，1 1 kx fx x 恒成立，其中 fx 为 fx 的 导函数，求k的最大值。 请考生在第（ 22） 、 （23） （ 24）三体中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分， 作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上 22、 （本小题满分10 分）选修4-1：几何证明选讲 如图：O的直径AB的延长线于弦CD的延长

9、线相交于 点 P，E为O上一点， ,AEAC DE交AB于点 F。 （1）求证：,O C D F四点共圆； （2）求证：PFPOPA PB. 23、 （本小题满分10 分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程 1 2 2 ( 3 2 xt t yt 为参数）， 以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：4cos。 （1）直线l的参数方程化为极坐标方程； （2）求直线l的曲线C交点的极坐标（0,02） 24、 （本小题满分10 分）选修4-5：不等式选讲 设函数221(0),2fxxaxag xx。 （1）当1a时，求不等式fxg

10、 x的解集； （2）若fxg x恒成立，求实数a的取值范围。 2015 年石家庄市高三数学第二次模拟考试 （理科答案） 一、选择题： 1-5 CCAAB 6-10 AABAD 11-12 DB 二、填空题： 13. 214. 8 15 2 23 16.1 2 15 a 三、解答题： 17. 解: （）cos(2)cosbAcaBQ cos( 2)cosbAcaB1 分 sincos( 2sinsin)cosBACAB3 分 sin()2sincosABCB 1 cos 2 B5 分 2 3 B6分 ( ) 由 1 =sin3 2 ABC SacB得 a c 48 分. 由余弦定理得b 2a2

11、c 2+ac 2 16 (a+c ) ac 10 分 a c 2 512 分 18解（ 1）完成下面的 2 2列联表如下 非读书迷读书迷合计 男40 15 55 女20 25 45 合计60 40 100 3分 2 2 100(40251520) 60405545 K 8.249 8.249 6.635，故有 99% 的把握认为“读书迷”与性别有关。. 6分 （2）视频率为概率. 则从该校学生中任意抽取1 名学生恰为读书迷的概率为 5 2 . 由题意可 知 XB（3， 5 2 ） ，P(x=i)= 3 3 23 ( ) ( ) 55 iii e（i=0 ，1，2，3）8 分 从而分布列为 X

12、0 1 2 3 P 125 27 125 54 125 36 125 8 . 10 分 E(x)=np= 5 6 ( 或 0.6) ，D(x)=np(1-p）= 25 18 ( 或 0.72) 12 分 19. （1）证明： 因为 PA 平面 ABCD ，PA平面 ADP ， 所以平面ADP 平面 ABCD. 2 分 又因为平面ADP 平面 ABCD=AD，CD AD ， 所以 CD 平面 ADP. 4 分 （2）AD ，AP ，AB两两垂直，建立如图所示空间坐标系， 则 A（0，0，0） ，B（0，0， 1） ， C （4，0，4） ，P（0，4，0） ，则) 1 ,0 ,0(AB，)4,

13、0, 4(AC， )0, 4,0(AP，)4,4,4(PC. 6分 设 M （x, y , z), PCPM)10(，则 ), 4,(zyxPM. z x y 所以), 4,(zyx)4, 4, 4(， 4 44 4 z y x ， )4,44,4(M，) 14,44,4(BM. 因为 BM AC，所以0ACBM，) 14,44,4(0)4, 0,4(，解得 8 1 ， 所以 M 2 1 , 2 7 , 2 1 ，. 8 分 设),( 1111 zyxn为平面 ABM 的法向量， 则 0 0 1 1 AMn ABn ，又因为) 1 , 0, 0(AB，AM 2 1 , 2 7 , 2 1 所以

14、 0 2 1 2 7 2 1 0 111 1 zyx z . 令1 1 y得)0, 1 ,7( 1 n为平面 ABM 的一个法向量. 又因为 AP 平面 ABC ，所以)0, 4,0( 2 n为平面 ABC的一个法向量 . 10 分 | ,cos 21 21 21 nn nn nn 10 2 504 4 ， 所以二面角CAB M的余弦值为 10 2 . 12 分 法 2： 在平面 ABCD 内过点 B作 BH AC于 H， 在平面 ACP内过点 H作 HM AP交 PC于点 M ，连接 MB 6 分， 因为 AP 平面 ABCD ， 所以 HM 平面 ABCD. 又因为 AC平面 ABCD ，

15、 所以 HM AC. 又 BH HM=H, BH平面 BHM ，HM平面 BHM ， 所以 AC 平面 BHM. 所以 AC BM ，点 M即为所求点 . 8 分 在直角ABH中， AH= 2 2 2 2 AB， 又 AC=24 22 DACD，所以 8 1 AC AH . 又 HM AP ，所以在ACP中， 8 1 PC PM . 在平面 PCD内过点 M作 MN CD交 DP于点 N，则在PCD中， 8 1 PD PN . 因为 AB CD ，所以 MN BA. 连接 AN ，由（ 1）知 CD 平面 ADP ，所以 AB 平面 ADP. 所以 AB AD ，ABAN. 所以 DAN为二面

16、角CABM的平面角 . 10 分 在PAD中，过点N作 NSPA交 DA于 S，则 8 1 AD AS ， 所以 AS= 2 1 ， 2 7 8 7 PANS ，所以 NA= 2 25 . 所以 10 2 coscos NA AS SANDAN. 所以二面角CAB M的余弦值为 10 2 . 12 分 20解：（）由题意得 22 3 = 2 13 1 4 c a ab ，解得=2a，1b 所以椭圆C的方程是 2 2 1 4 x y 4 分 （）设直线l的方程设为ykxt，设 1122 (,),(,)A x yB xy， 联立 2 2 1 4 ykxt x y 消去y得 222 (1 4)844

17、0kxktxt 则有 12 2 8 14 kt xx k ， 2 122 44 14 t x x k ， 由 22 041kt； 121212 2 2 ()2 14 t yykxtkxtk xxt k 6 分 设,A B的中点为,D m n，则 12 2 4 214 xxkt m k ， 12 2 214 yyt n k 因为直线PD于直线l垂直，所以 1 1 3 PD n k km 得 2 1 149 t k 8 分 22 04190ktt 因为 2 1 cos2cos1 3 APBAPD所以 3 cos 3 APD,tan2APD 所以 2 2 AB PD ，由点到直线距离公式和弦长公式可

18、得 2 1 3 1 t PD k ， 2 2 2 22 1212 22 844 1414 1414 ktt ABkxxx xk kk 222 2 4114 14 kkt k 10 分 由 222 2 2 2114 142 2 1 3 1 kkt AB k PD t k 和 2 1 149 t k 解得 19,0t，2k 直线l的方程为21yx或21yx. 12 分 解法二 （）设直线l的斜率为k，设 1122 (,),(,)A x yB xy，,A B的中点为 00 ,D xy， 所以 12 12 yy k xx ， 12 0 2 xx x， 12 0 2 yy y 由题意 2 21 1 2

19、2 2 2 1(1) 4 1(2) 4 x y x y ， (1)式(2)式得 1212 1212 0 4 xxxx yyyy 1212 1212 1 0 4 yyyy xxxx 0 0 1 0 4 y k x 又因为直线PD与直线l垂直，所以 0 0 1 3 1 y k x 由 0 0 0 0 1 0 4 1 3 1 y k x y k x 解得 0 0 1 9 4 9 y xk 6 分 因为 21 cos2cos1 3 APBAPD所以 3 cos 3 APD,tan2APD 所以 2 2 AB PD ， 8 分 22 2 22 000 144 01 399 PDxyxk 设直线l的方程设

20、为 2 00 41 9 k yyk xxykx， 联立 2 2 2 41 9 1 4 k ykx x y 消去y得 22 2 22 841 41 (14)440 99 kk k kxx 120 8 2 9 xxxk， 2 2 122 41 44 9 14 k x x k ， 由 2 020k 2 2 2 2 22 12122 41 44 98 1414 914 k k ABkxxx xk k 2 2 2 820 1 914 k k k 10 分 2 2 2 2 420 1 914 2 2 8 1 9 k AB k k PD k ，解得2k，满足 2 020k. ，由 2 41 9 k ykx得

21、直线l的方程为21yx或21yx. 12 分 21. 解析：（1）Rxaexf x ,)( / . 若 0a ，则 0)( / xf恒成立，所以，)(xf在区间,上单调递增 .2分 若0a，当,ln ax时，0)( / xf，)(xf在,ln a上单调递增 . 综上，当0a时，)(xf的增区间为,；当0a时，)(xf的增区间为,ln a . 4分 （2）由于1a，所以，( )1()(1)1 1 x kx fxkx ex x 当0x时，10 x e，故 1 ()11 1 x x x kxexkx e 6分 令 1 (0) 1 x x g xxx e ，则 . 1 )2( 1 1 1 22 / x

22、 xx x x e xee e xe xg 函数 2)(xexh x 在,0上单调递增，而.0)2(,0) 1(hh 所以)(xh在,0上存在唯一的零点， 故)( / xg在,0上存在唯一的零点. .8分 设此零点为，则2 ,1. 当,0x时， 0)( / xg；当,x时，0)( / xg； 所以，)(xg在,0上的最小值为)(g.由,0)( / g可得 ,2e . 10分 所以，.3 ,21)(g由于式等价于)(gk. 故整数k的最大值为2. .12分 22解析：（ 1）连接OC，OE， 因为AEAC，所以 1 2 AOCAOECOE，.2分 又因为 1 2 CDECOE， 则AOCCDE，

23、 所以,O C D F四点共圆 . 5 分 （2）因为PBA和PDC是O的两条割线， 所以PD PCPAPB，7 分 因为,O C D F四点共圆 , 所以PDFPOC，又因为DPFOPC， 则PDFPOC， 所以 PDPF POPC ，即PF POPDPC 则PF POPAPB. 10 分 23 解 析 ： （ 1） 将 直 线:l 1 2 2 3 2 xt yt （t为 参 数 ） 消 去 参 数t， 化 为 普 通 方 程 32 30xy，2 分 将 cos sin x y 代入32 30xy得 3cossin2 30. 4分 （2）方法一：C的普通方程为 22 40xyx. 6 分 由

24、 22 32 30 40 xy xyx 解得： 1 3 x y 或 3 3 x y 8 分 所以l与C交点的极坐标分别为： 5 (2,) 3 ，(23,) 6 . 10 分 方法二：由 3cossin2 30 4cos ， 6 分 得：sin(2)0 3 ，又因为0,028 分 所以 2 5 3 或 2 3 6 所以l与C交点的极坐标分别为： 5 (2,) 3 ，(2 3,) 6 . 10 分 24解析：（ 1）当1a时，|21| 21|2xxx 1 2 42 x xx 无解， 11 1 0 22 2 22+ x x x ， 1 12 2 23 42 x x xx 3 分 综上，不等式的解集为 2 0 3 xx. 5 分 （2）| 2|21|2xaxx，转化为| 2| 21|20xaxx 令( )| 2|21|2h xxaxx， 因为 a0, 所以 1 53, 2 1 ( )1, 22 31, 2 xax a h xxax a xax ， 8 分 在 a0 下易得 min ( )1 2 a h x, 令10, 2 a a得2.aa 10 分