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1、自主梳理 1幂函数的概念 形如 _的函数叫做幂函数，其中_是自变量， _是常数 2幂函数的性质 (1)五种常见幂函数的性质，列表如下： 定义域值域奇偶性单调性过定点 yx RR奇 (1,1) yx 2 R0， )偶 0， ) (， 0 yx 3 RR奇 Yx1 2 0， )0， ) 非奇 非偶 0， ) Yx 1(， 0) (0， ) (， 0) (0， ) 奇 (， 0) (0， ) (2)所有幂函数在_上都有定义，并且图象都过点(1,1)，且在第 _象限无图象 (3) 0 时，幂函数的图象通过点_， 并且在区间 (0， )上是 _， 2 时， yf(x)的图像是 顶点为 P(3,4)，且过
2、点A(2,2)的抛物线的一部分 (1)求函数 f(x)在(， 2)上的解析式； (2)在下面的直角坐标系中直接画出函数f(x)的草图； (3)写出函数f(x)的值域 1已知 yf(x)是偶函数， 当 x0 时，f(x)(x1) 2，若当 x 2，1 2 时，nf(x)m 恒成立，则mn 的最小值为 () A. 1 3 B.1 2 C.3 4 D1 2(2013 青岛质检 )设 f(x)与 g(x)是定义在同一区间a，b上的两个函数，若函数yf(x) g(x)在 xa，b上有两个不同的零点，则称 f(x)和 g(x)在a，b上是“关联函数”，区间 a， b称为“关联区间”若 f(x)x 2 3x
3、4 与 g(x)2xm 在0,3 上是“关联函数”， 则 m 的 取值范围为 _ 3(2012 滨州模拟 )已知函数f(x)ax 2bxc(a0， bR，cR) (1)若函数f(x)的最小值是f( 1)0，且 c1，F(x) f x ，x0， f x ，xf 5 2 f(2)f(0)c. 5选 C由题意得： a0， x1x2 2 b 2a，x1 x2 b a.得 f(x1x2)f b a a b 2 a 2 b 2 a cc. 6选 B法一： f(x) x 2xa 的对称轴为 x1 2， 而 m，m1 关于 1 2对称， f(m1)f(m)0. 法二： f( m)0， m2 m a0， f(m
4、1)(m1) 2(m1)am2ma0. 7 8解析： 因为 f(x)x 2 bx1 是 R 上的偶函数，所以b 0，则 f(x)x 21，解不等式 (x1) 210， 即 p 22p32 时， f(x) 2x 212x 14. 当 x2. 又 f(x)为偶函数， f(x)f(x) 2(x) 212x 14， 即 f(x) 2x 2 12x14. 所以函数 f(x)在(， 2)上的解析式为f(x) 2x 212x 14. (2)函数 f(x)的图像如图， (3)由图像可知，函数f(x)的值域为 (，4 B 级 1选 D当 x0， f(x)f(x)(x1) 2， x 2， 1 2 ， f(x)mi
5、nf( 1) 0，f(x)maxf(2)1， m1，n0，mn 1. 2解析： 由题意知， yf(x) g(x)x 2 5x4m 在0,3 上有两个不 同的零点在同一坐标系下作出函数ym 与 yx 25x 4(x 0,3) 的图像 如图所示，结合图像可知，当x 2,3时， yx 25x 49 4， 2 ，故 当 m 9 4， 2 时，函数 ym 与 yx 25x4(x 0,3) 的图像有两个交 点 答案： 9 4， 2 3解： (1)由已知 c1，ab c0，且 b 2a 1， 解得 a1， b2.则 f(x)(x1) 2. 则 F(x) x1 2，x0， x1 2，x0. 故 F(2)F(2) (2 1) 2 (21)28. (2)由题意得f(x)x 2bx，原命题等价于 1x 2bx1 在(0,1上恒成立，即 b 1 xx 且 b 1 xx 在(0,1上恒成立 又当 x (0,1时， 1 x x的最小值为 0， 1 xx 的最大值为 2， 故 2 b0.