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1、平面向量知识点总结 基本知识回顾： 1. 向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量, 有二个要素：大小、方向. 2. 向量的表示方法： 用有向线段表示-AB( 几何表示法 ) ； 用字母 a、b等表示 ( 字母表示法 ) ； 平面向量的坐标表示（坐标表示法）： 分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底。任作一个向量a，由平 面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得a xiyj，),(yx叫做向量a的（直 角）坐标，记作( , )ax y，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标， 特别地，i(1,0)，j(0,1)，0(0,0)。 22 axy；若),( 11 yx
2、A，),( 22 yxB， 则 1212 ,yyxxAB， 22 2121 ()()ABxxyy 3. 零向量、单位向量： 长度为0 的向量叫零向量，记为0； 长度为1 个单位长度的向量，叫单位向量. （注： | a a 就是单位向量） 4. 平行向量： 方向相同或相反的非零向量叫平行向量； 我们规定0与任一向量平行. 向量a、b、c平行，记作abc. 共线向量与平行向量 关系：平行向量就是共线向量. 性质：/(0)(abbab是唯一） | ba ba ab 0,与 同向 方向- 0,与 反向 长度- 1221 /(0)0ab bx yx y（其中 1122 (,),(,)ax ybx y）
3、5. 相等向量和垂直向量： 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 垂直向量两向量的夹角为 2 性质：0aba b 1212 0abx xy y（其中 1122 (,),(,)ax ybxy） 6. 向量的加法、减法： 求两个向量和的运算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法则和平行四边形法则。 平行四边形法则： ACab（起点相同的两向量相加，常要构造平行四边形） DBab 三角形法则 , 加法首尾相连 减法终点相连 方向指向被减数 加法法则的推广： 112n ABABB B 1nn BB 即n个向量 12 ,a a n a首尾相连成一个封闭图形，则有 12 aa0 n a 向量的减法
4、向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差。即：ab= a+ (b) ； 差向量的意义：OA= a, OB=b, 则BA=ab 平面向量的坐标运算：若 11 (,)ax y， 22 (,)bxy，则ab),( 2121 yyxx， ab),( 2121yyxx，(,)axy。 向量加法的交换律：a+b=b+a；向量加法的结合律：(a+b) +c=a+ (b+c) 常用结论： （1）若 1 () 2 ADABAC，则 D是 AB的中点 （2）或 G是 ABC的重心，则0GAGBGC 7向量的模： 1、定义：向量的大小，记为 |a| 或 |AB| 2、模的求法： 若( , )ax y，则 |a| 22
5、 xy 若 1122 (,),(,)A x yB xy， 则 |AB| 22 2121 ()()xxyy 3、性质： （1） 2 2 |aa； 22 |(0)|ab bab（实数与向量的转化关系） （2） 22 |abab，反之不然 （3）三角不等式：|ababab （4）|a bab（当且仅当,a b共线时取“ =” ） 即当,a b同向时，|a ba b；即当,a b同反向时，|a bab （5）平行四边形四条边的平方和等于其对角线的平方和， 即 2222 2|2|ababab 8实数与向量的积：实数 与向量a的积是一个向量，记作：a （1）| a|=| | a| ； （2）0 时a与a方向相同； 0；当 a 与 b 异向时， 0。 | |= |b| |a| ， 的大小由 a 及 b 的大小确定。因此，当a ， b 确定时， 的符号与大小就确 定了。这就是实数乘向量中的几何意义。 13. 两个向量垂直的充要条件： 符号语言： a ba b =0 坐标语言：设 a =(x 1,y1), b =(x 2,y2)，则 a b x1x2+y1y2=0