平面直角坐标系知识梳理及经典题型(学生版).pdf

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1、平面直角坐标系 知识结构图： 一、知识要点： （一）有序数对：有顺序的两个数a 与 b 组成的数对。记作（a ，b） （二）平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成了平面直角坐标 系； 1、 坐标平面上的任意一点P的坐标，都和惟一的一对有序实数对 （ba,）一一对应；其 中，a为横坐标， b为 纵坐标坐标； 2、x轴上的点，纵坐标等于0；y轴上的点，横坐标等于0；坐标轴上的点不属于 任何象 限 （三）四个象限的点的坐标具有如下特征： 1、点 P（yx,）所在的象限横、纵坐标 x、y的取值的正负性； 2、点 P（yx,）所在的数轴横、纵坐标x、y中必有一数为零； （四）在平面

2、直角坐标系中，已知点P),(ba，则 1、点 P到x轴的距离为b； 2、点 P到y轴的距离为 a； 3、点 P到原点 O的距离为PO 22 ba （五）平行直线上的点的坐标特征： 1、在与 x 轴平行的直线上，所有点的纵坐标相等； 点 A、B的纵坐标都等于m； 2 、在与 y轴平行的直线上，所有点的横坐标相等； 点 C、D的横坐标都等于n； （六）对称点的坐标特征： 1、点 P),(nm关于x轴的对称点为),( 1 nmP， 即横坐标不变，纵坐标互为相反数； 象限横坐标x纵坐标y 第一象限正正 第二象限负正 第三象限负负 第四象限正负 P（ba,） a b x y O X Y A B m X

3、Y C D n 2、点 P),(nm关于y轴的对称点为),( 2 nmP， 即纵坐标不变，横坐标互为相反数； 3、点 P),(nm关于原点的对称点为),( 3 nmP，即横、纵坐标都互为相反数； 关于 x 轴对称关于 y 轴对称关于原点对称 （七）两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征： 1、若点 P（ nm, ）在第一、三象限的角平分线上，则nm，即横、纵坐标相等； 2、若点 P （ nm, ）在第二、 四象限的角平分线上，则nm，即横、 纵坐标互为相反数； 在第一、三象限的角平分线上在第二、四象限的角平分线上 （八）利用平面直角坐标系绘制区域内一些点分布情况平面图过程如下： 1、建立坐标系

4、，选择一个适当的参照点为原点，确定x 轴、 y 轴的正方向； 2、根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度； 3、在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称。 （九）用坐标表示平移：见下图 二、题型分析： X y P 1 P n n m O X y P 2 P m m n O X y P 3 P m m n O n X y P m n O y P m n O X P（ x，y） P （x， ya） P （xa， y）P （xa， y） P（ x，y 向上平移a 个单位 向下平移a 个单位 向右平移a 个单位向左平移a 个单位 题型一 ： 代数式与点坐标象限判定 此类问题

5、通常与不等式（组）联系在一起，或由点所在的象限确定字母的取值范围，或由 字母的取值范围确定点所在的象限 【例 1】在平面直角坐标系中，点3 2，在（） 第一象限第二象限第三象限第四象限 【例 2】若点 P（12mm， ）的横坐标与纵坐标互为相反数，则点 P一定在（ ） A第一象限B第二象限C 第三象限D第四象限 【例 3】若点 P（a，b）在第四象限，则点M（b-a，a-b）在（） A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限 【例 4】如果 ab0, 且 ab0, 那么点 (a ，b) 在 ( ) A、第一象限B、第二象限C、第三象限 , D、第四象限 【例 5】对任意实数x，点 P（x

6、，x 22x）一定不在（ ） A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 【例 7】点 P（x，y）在第四象限，且|x|=3，|y|=2，则 P 点的坐标是。 【例 8】若点 M (1 x ，x + 2 ) 在第二象限内，则x 的取值范围为； 习题演练： 1、在平面直角坐标系中，点P（4,2 2 m）一定在象限。 2、点 P（x1，x1）不可能在（） A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限 3、如果点M（ab，ab）在第二象限，那么点N（a，b）在第 _象限。 4、点 Q (3 a ，5 a ) 在第二象限，则a 2 - 4a + 4 + a 2 - 10a + 25 = 5、点 M（

7、a，a-1）不可能在（） A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限 6、如果 x y 0，那么点P（x，y）在（） A、 第二象限 B、第四象限 C 、第四象限或第二象限 D 、第一象限或第三象 限 题型二：用代数式求坐标轴上的点坐标 例 1：在平面直角坐标系中，已知点P（2,5 mm）在x轴上，则P点坐标为 例 2：已知 :A(1,2),B(x,y),ABx 轴, 且 B到 y 轴距离为 2, 则点 B的坐标是 . 习题演练： 1、已知点 A（m，-2） ，点 B（ 3，m-1） ，且直线ABx 轴，则 m 的值为。 2、 已知线段 AB=3，AB x轴，若点A的坐标为（1，2） ，

8、则 B点的坐标为； 3、 已知点 P（x 2-3 ，1）在一、三象限夹角平分线上，则 x= . 题型三：求对称点的坐标 解答此类问题所需知识点是：点（a,b ）关于 x 轴的对称点是(a,-b)，关于 y 轴的对称点是 (-a,b)，关于原点的对称点是（-a,-b） 【例 1】在如图 1 所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，如果以MN所在的直线为y 轴，以小正方形的边长为单位长度建立平面直角坐标系，使A点与B点关于原点对称，则 这时C点的坐标可能是（） (13) ， (21)， (21)，(31)， 【解析】根据题意，A点与B点关于原点对称，MN所在直线为y 轴，于是可确定原点为图 中 O

9、点位置，即x 轴为过 O点的一条横线，于是C点的坐标为（ 2，-1 ） ，即选 B 【点评】 本题逆向考查了两点关于原点对称问题，求 C点坐标的关键是确定直角坐标系的原 点所在 例 1：点 M （2， 3）关于 x轴的对称点 N的坐标为； 关于 y 轴的对称点P 的坐标为；关于原点的对称点Q的坐标为。 答案：（2，3） ； （-2 ，-3） ； （3，-2 ） 例 2已知点 A（a， 5） ，B（8，b）根据下列要求，确定a， b 的值 （1）A，B 两点关于y 轴对称； （2）A，B 两点关于原点对称； （3）AB x 轴； （4）A，B 两点在一，三象限两坐标轴夹角的平分线上 【分析】（1

10、）两点关于y 轴对称时，它们的横坐标互为相反数，而纵坐标相同； （2）两点关于原点对称时，两点的横纵坐标都互为相反数； （3）两点连线平行于x 轴时，这两点纵坐标相同（但横坐标不同）； （4）当两点位于一，三象限两坐标轴夹角的平分线上时，每个点的横纵坐标相同 【解答】 （ 1）当点 A（a，5） ，B（8，b）关于 y 轴对称时有： 8 5 AB AB xxa yyb （2）当点 A（a， 5） ，B（8，b）关于原点对称时有 8 5 AB AB xxa yyb 图 1 （3）当 AB x 轴时，有 8 5 AB AB xxa yyb （4）当 A，B 两点位于一，三象限两坐标轴夹角平分线上时

11、有： xA=yB且 xA=yB即 a=5， b=8 【点评】运用对称点的坐标之间的关系是解答本题的关键 习题演练： 1、点P(1，2)关于 x 轴的对称点的坐标是，关于y轴的对称点的坐标 是，关于原点的对称点的坐标是； 2、在平面直角坐标系下，下列各组中关于原点对称又关于y 轴对称的点是（） A、 （3， 2） （ 3， 2）B、 （0，3） （0， 3） C、 （3， 0） （ 3，0）D、 （3， 2） （ 3，2） 题型四：根据坐标对称求代数式的值 例 1：已知点 P(23,3)a 和点 A )23,1(b关于x轴对称，那么 ba = ； 答案 ： 2 3 习题演练： 1、已知点 A（2

12、a+3b， 2）和点 B（8，3a+2b）关于 x 轴对称，那么a+b=（） A、2 B、 2 C、0 D、4 答案： A 2、已知：点P 的坐标是 (m,1)，且点P 关于x轴对称的点的坐标是(3,n2)，则 _, nm； 答案： -3 ； 1 2 题型五：根据到坐标轴的距离求坐标 例 1：过点 A（2，-3 ）且垂直于y 轴的直线交y 轴于点 B，则点 B坐标为（） A、 （0， 2） B、 （2，0） C、 （0，-3 ） D、 （-3 ，0） 答案： C 例 2：已知点 M到 x 轴的距离为3，到 y 轴的距离为2，则 M点的坐标为（） A 、 （3， 2） B、 （-3 ，-2 ）

13、C、 （3， -2 ） D、 （2，3） ， （2，-3 ） ， （-2 ，3） ， （-2 ， -3） 答案： D 例 3：若点 P（a，b）到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，则这样的点P有 （） 、个、个、个、个 答案： D 习题演练： 1 、点 P位于 x 轴下方， y 轴左侧，距离x 轴 4 个单位长度，距离y 轴 2 个单位长度，那 么点 P的坐标是（） A、 （4，2） B、 （ 2， 4） C、 （ 4， 2） D、 （2，4） 答案： B 2、点 E（a,b ）到 x 轴的距离是4，到 y 轴距离是3，则有（） A、a=3, b=4 B、a=3,b= 4 C、a=4, b=3

14、 D、 a=4,b= 3 答案： D 3、已知点 P的坐标为（ 2 a ，3a + 6 ） ，且点 P到两坐标轴的距离相等，则点P坐标 是 ( ) A、 （3，3) B、(3 ，3) C、(6 ，一 6) D、(3 ，3) 或(6，一 6) 答案： D 题型六：根据图形的其他顶点坐标求点坐标 例 1：在平面直角坐标系中，A ，B，C三点的坐标分别为（0，0） ， （0，-5 ） ， （-2 ，-2） ，? 以这三点为平行四边形的三个顶点，则第四个顶点不可能在第_象限 答案： 一 习题演练： 1、一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（1,1） 、 （ 1，2） 、 （3,1） ， 则第四

15、个顶点的坐标为（） A、 （2，2） B、 （3，2） C、 （3，3） D、 （2，3） 答案： B 题型七：根据点的坐标求图形的面积 例 1：已知点 A（-2，0）B（4，0）C（-2 ，-3 ） 。 （1）求 A、B两点之间的距离。 （2）求点 C 到 X轴的距离。（3）求 ABC的面积。 答案： （1）6 ； （2）3 ； （3）9 习题演练： 1、在坐标系中，已知A（2，0） ，B（ 3，4） ，C（ 0，0） ，则 ABC 的面积为（） A、4 B、6 C、8 D、3 答案： A 技巧：割补法求面积 题型八 ： 求平移后的坐标 例 1：已知三角形的三个顶点坐标分别是（1，4） 、

16、（1， 1） 、 （ 4， 1） ，现将这三个点 先向右平移2个单位长度， 再向上平移3个单位长度， 则平移后三个顶点的坐标是（） A、 （ 2，2） ， （3，4） ， （1，7） B、 （ 2，2） ， （4，3） ， （1， 7） C、 （2，2） ， （3，4） ， （1，7） D、 （2， 2） ， （3，3） ， （1，7） 答案： A 例 2：线段 CD 是由线段AB 平移得到的 .点 A（ 1，4）的对应点为C（ 4，7） ，则点 B（ 4， 1）的对应点D 的坐标为（） A、 （2，9）B、 （5，3）C、 （1，2）D、 （ 9， 4） 答案： C 习题演练： 1、已知点3

17、2M，将它先向左平移4 个单位，再向上平移3 个单位后得到点， 则点的坐标是 答案：（-1,1 ） 题型九：图形变换后点的坐标 【例 4】将点( 2 2)P，沿x轴的正方向平移4个单位得到点P的坐标是（） ( 2 6)，( 6 2)，(2 2)，(22)， 【解析】将点P沿x轴的正方向平移时，横坐标发生变化，然纵坐标是不变化的，于是 点P的坐标为（ 2，2） ，即选 C 【点评】处理类似问题不妨新建一个直角坐标系草图分析一下，沿x 轴正方向平移时， 纵坐标的不变性就很直观了 【例 5】如图 2，将AOB绕点O逆时针旋转90， 得到A OB若点A的坐标为()ab， 则点A的坐标为 【解析】从图形

18、上可以看出，逆时针旋转90后，得到的A OB所在位置也很特殊， 即 B恰好落在y 轴上，于是点A的纵坐标为a, 横坐标应该为 -b; 故点A的坐标为（ -b,a ） 【点评】本题分析出得到的AOB所在位置很特殊还算容易，但在处理坐标时更容 易粗心致错，即认为点A的横坐标应该为b，忽视逆时针旋转后点A所在象限变化到第二 象限了 图 2 y A B O B A ab， x 例 1：如图 4 所示，将边长为1 的正方形OAPB 沿 x 轴正方向连续翻转2006 次，点 P 依 次落在点P1，P2，P3， P4， P2006的位置，则P2006的横坐标x2006=_ 答案： 2006 图1 图2 例

19、2：已知 ABC 在平面直角坐标系中的位置如图8 所示，将 ABC 向右平移6 个单位， 则平移后A 的坐标是（） A （ 2，1）B （2，1）C （2， 1）D （ 2， 1） 答案： B 题型十：寻点构造等腰三角形 例 1：在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，已知A 点的坐标为（1，1） ，请你在坐标轴上 找出点 B，使 AOB 为等腰三角形，则符合条件的点B 共有（） A6 个B7 个C8 个D9 个 答案： C 题型十一、平面直角坐标系下的作图问题 【例 8】如图 6，网络中每个小正方形的边长为1，点C的坐标为(0 1)， 图 6 （1）画出直角坐标系（要求标出 x轴，y轴和原点）并写出点A的坐标； （2）以ABC为基本图形，利用轴对称或旋转或平移设计一个图案，说明你的创意 【解析】（1）由题意，分析给出的点C的坐标为(0 1)，可以确定出直角坐标系数的原点及 坐标轴所在（如下图） ，于是点 A的坐标可确定为（-4 ，3） ； （2）此题较开放，如下图，图案设计的创意为：“比冀双飞” 【点评】本题是一道新课标下的开放性试题，可以充分发挥考生的主观能动性，培养发 散思维，值得同学们在今后学习时重视