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1、1 每周一计第五计抽象函数解题方法与技巧 所谓抽象函数问题，是指没有具体地给出函数的解析式，只给出它的一些特征或性质。解决这类问题 常涉及到函数的概念和函数的各种性质，因而它具有抽象性、综合性和技巧性等特点。抽象函数问题既是 教学中的难点，又是近几年来高考的热点。 一、换元法换元法包括显性换元法和隐性换元法，它是解答抽象函数问题的基本方法. 例1. 已知 f(1+sinx)=2+sinx+cos 2x, 求 f(x) 解：令 u=1+sinx ，则 sinx=u-1(0u2),则 f(u)=-u 2+3u+1 (0u2) 故 f(x)=-x 2+3x+1 (0x2) 二、方程组法 运用方程组通
2、过消参、消元的途径也可以解决有关抽象函数的问题。 例 2 .2 3 2 | )(:|,) 1 (2)(),)(,(xfx x fxfxfxf(x)y求证且为实数即是实数函数设 解: x x x f x xf x fx x3 2 3 )(, 1 )(2) 1 (, 1 联立方程组，得得代换用 3 22 3 2 3 | )(| x x xf 三、待定系数法 如果抽象函数的类型是确定的，则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。 例 3已知 f(x)是多项式函数，且f(x+1)+f(x-1)=2x 2-4x,求 f(x). 解：由已知得f(x)是二次多项式，设f(x)=ax 2+bx+c (a 0)
3、 代入 f(x+1)=a(x+1) 2+b(x+1)+c=ax2+(2a+b)x+a+b+c f(x-1)= a(x-1) 2+b(x-1)+c=ax2+( b -2a)x+a-b+c f(x+1)+ f(x-1)=2ax 2+2bx+2a+2c=2x2-4x 比较系数得：a=1,b= -2,c= -1 , f(x)=x 2-2x-1. 四、赋值法 有些抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。 例 4对任意实数x,y，均满足f(x+y 2)=f(x)+2f(y)2 且 f(1)0,则 f(2001)=_. 解：令 x=y=0 ，得： f(0)=0 ,令 x=0 ,y
4、=1,得 f(0+1 2)=f(0)+2f(1)2, f(1)0 f(1)= . 令 x=n,y=1 ，得 f(n+1)=f(n)+2f(1) 2=f(n)+ 即 f(n+1)-f(n) = 1 2 ，故 f(n)= 2 n ，f(2001)= 2001 2 例 5已知 f(x)是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的实数a,b 都满足 f(ab)=af(b)+bf(a).(1)求 f(0)，f(1)的值； (2)判断 f(x)的奇偶性 ,并证明你的结论; (3)若 f(2)=2,un=f(2 n) (nN* ),求证： un+1un(nN*). 解： (1)令 a=b=0 ,得 f(0)
5、=0 ,令 a=b=1 ,得 f(1)=0 . (2)f(x)是奇函数。因为：令a=b=-1 ,得 f(-1)(-1)=-f(-1)-f(-1),f(-1)=0, 故 f(-x)=f(-1)(x)= -f(x)+xf(-1)= -f(x),故 f(x)为奇函数 . (3)先用数学归纳法证明：un=f(2 n)0 (nN* )(略 ) 五、转化法通过变量代换等数学手段将抽象函数具有的性质与函数的单调性等定义式建立联系，为 问题的解决带来极大的方便. 例 6设函数f(x)对任意实数x,y，都有 f(x+y)=f(x)+f(y),若 x0 时 f(x)0,由已知得 f(x2-x1)0,nN；f(n1
6、+n 2)=f(n1)f(n2),n1,n2N* ；f(2)=4 同时成立？若存在，求出函数f(x)的解析式；若不存在，说明理由。 解：假设存在这样的函数f(x)，满足条件，得f(2)=f(1+1)= f(1) f(1)=4 ，解得 f(1)=2 又 f(2)=4=2 2,f(3)=23 ,由此猜想： f(x)=2 x (xN*) (数学归纳证明略） 例 9已知f(x)是定义在R 上的函数， f(1)=1 ，且对任意xR 都有f(x+5)f(x)+5 ，f(x+1)f(x)+1 。若 g(x)=f(x)+1-x ,则 g(2002)=_. 解：由 f(x+1)f(x)+1 得 f(x+5)f(
7、x+4)+1f(x+3)+2f(x+2)+3f(x+1)+4 又 f(x+5)f(x)+5 f(x)+5f(x+1)+4 f(x)+1f(x+1) 又 f(x+1)f(x)+1 f(x+1)=f(x)+1 又 f(1)=1 f(x)=x g(x)=f(x)+1-x=1，故 g(2002)=1 。 七、模型法 模型法是指通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数 模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法。 应掌握下面常见的特殊模型： 特殊模型抽象函数 正比例函数f(x)=kx (k0) f(x+y)=f(x)+f(y) 幂函数f(x)=x n f(xy)
8、=f(x)f(y) fx x f yfy 或 指数函数f(x)=a x (a0 且 a1) f(x+y)=f(x)f(y) fx fxy fy 或 对数函数f(x)=log ax(a0 且 a1) f(xy)=f(x)+f(y) x ffxfy y 或 正、余弦函数f(x)=sinx f(x)=cosxf(x+T)=f(x) 正切函数f(x)=tanx ( )( ) () 1( )( ) f xf y f xy f x f y 余切函数f(x)=cotx 1( )( ) () ( )( ) f x f y f xy f xf y 例 10已知实数集上的函数f(x)恒满足f(2+x)= f(2-
9、x), 方程f(x)=0有5 个实根 , 则这5 个根之和 =_ 3 分析： 因为函数f(x)恒满足 f(2+x)= f(2-x) , 方程 f(x)=0 有 5 个实根， 可以将该函数看成是类似于二次函 数 y=k(x-2) 2 为模型引出解题思路，即函数的对称轴是x=2， 并且函数在f(2)=0 ， 其余的四个实数根关于x=2 对称 解：因为实数集上的函数f(x)恒满足 f(2+x)= f(2-x), 方程 f(x)=0 有 5 个实根，所以函数关于直线x=2 对称，所以方程的五个实数根也关于直线x=2 对称，其中有一个实数根为2，其它四个实数根位于直线x=2 两侧，关于直线x=2 对称，
10、则这5 个根之和为10。 例 11 设定义在R 上的函数f(x)， 满足当 x0 时，f(x)1 ， 且对任意x，yR， 有 f(x+y)=f(x)f(y)，f(1)=2 （1） 解不等式f(3x-x2)4； （2）解方程 f(x) 2+ 1 2 f(x+3)=f(2)+1 分析：可联想指数函数f(x)=a x。 解： (1)先证 f(x)0 ，且单调递增，因为f(x)=f(x+0)=f(x)f(0)，x0 时 f(x)1 ，所以 f(0)=1 对于任意x0，f(x)f(-x)=f(x-x)=f(0)=1， f(x)= 1 fx -x0，f(-x)100 任取 x1,x2R 且 x10，f(x
11、2-x1)1, 所以 f(x1)-f(x2)=f(x 2-x1)+x1-f(x1)=f(x2-x1)f(x1)-f(x1)=f(x1)f(x2-x1)-10 所以 xR 时， f(x)为增函数。 不等式 f(3x-x 2)4 可化为3x-x 22 解得： x|11 时，f(x)0 设 x1，x2R+，且 x1f(x 2)，故 f(x)在 R +上为减函数。 附：函数的性质 函数的周期性： 1、定义在xR 上的函数y=f(x) ，满足 f(x+a)=f(x-a) （或 f(x-2a)=f(x) ）(a0)恒成立，则y=f(x) 是周期为2a 的周期函数； 2、若 y=f(x) 的图像关于直线x=
12、a 和 x=b 对称，则函数y=f(x) 是周期为2|a-b|的周期函数； 3、若 y=f(x)的图像关于点(a,0)和 (b,0)对称，则函数y=f(x) 是周期为2|a-b|的周期函数； 4、若 y=f(x)的图像有一个对称中心A(a,0)和一条对称轴x=b（ab） ，则函数 y=f(x) 是周期为4|a-b|的周期 函数； 5、若函数y=f(x) 满足 f(a+x)=f(a-x) ，其中 a0，且如果y=f(x) 为奇函数，则其周期为4a；如果 y=f(x) 为偶 函数，则其周期为2a； 6、定义在 xR 上的函数y=f(x) ，满足 f(x+a)=-f(x) 1 ( ) fxa f x
13、 或 1 ( ) fxa f x 或 ，则 y=f(x) 是周 期为 2|a|的周期函数； 7、若 1 1 fx fxa fx 在 xR 恒成立，其中a0，则 y=f(x) 是周期为4a 的周期函数； 4 8、若 1 1 fx fxa fx 在 xR 恒成立，其中a0 ，则 y=f(x) 是周期为2a 的周期函数。 （7、 8 应掌握具体推导方法，如7） 函数图像的对称性： 1、若函数y=f(x) 满足 f(a+x)=f(b-x) ，则函数y=f(x) 的图像关于直线 2 ab x 对称； 2、若函数y=f(x) 满足 f(x)=f(2a-x) 或 f(x+a)=f(a-x) ，则函数y=f(
14、x) 的图像关于直线x=a 对称； 3、若函数y=f(x) 满足 f(a+x)+f(b-x)=c，则 y=f(x) 的图像关于点 , 22 ab c 成中心对称图形； 4、曲线 f(x,y)=0 关于点 (a,b)的对称曲线的方程为f(2a-x,2b-y)=0 ； 5、形如0, axb ycadbc cxd 的图像是双曲线，由常数分离法 dad ad axb b acc c y ddc cxcx cc 知：对称中心是点, d a c c ； 6、设函数y=f(x) 定义在实数集上，则y=f(x+a) 与 y=f(b-x) 的图像关于直线 2 ba x 对称； 7、若函数y=f(x) 有反函数，则y=f(a+x) 和 y=f -1(x+a) 的图像关于直线 y=x+a 对称。 1 1 1121 2 112 ( )( ) 1 1 fx fxafx fxa fxfxaf xf x fx