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1、1 每周一计第二计由递推关系求数列通项公式 给定初始条件和递推关系是确定数列的一种方法，这类问题是近年来高考中的重点、热点问题。 1. 形如 an+1-an=f(n)型 （1）若 f(n)为常数 , 即： an+1-an=d, 此时数列为等差数列，则 an=a1+(n-1) d. （2）若 f(n)为 n 的函数时，用迭加法. 例 1. 已知数列 an满足 )2(3, 1 1 1 1 naaa n n n , 证明 2 13 n n a 证明：由已知得：an-an-1=3 n-1，故 an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+ +(a2-a1)+a1= 2 13 n n a. 练 一
2、练1 ： 已 知 数 列 an 满 足 3 1 a，)2( )1( 1 1 n nn aa nn ， 求 此 数 列 的 通 项 公 式 . 2. 形如型 ( 答案： ) （1）当 f(n)为常数，即：q a a n n 1 （q0） ，此时数列为等比数列， n a= 1 1 n qa. （2）当 f(n)为 n 的函数时 , 用累乘法 . 例2. 设 an 是首项为 1 的正项数列，且(n+1) a 2 n+1-na 2 n+an+1an=0( n=1,2,3,) ，则它的通项公式是 an=_. 解：已知等式可化为：( an+1+an)(n+1) a n+1-nan=0 0 n a( * N
3、n)(n+1)0 1nn naa, 即 1 1 n n a a n n 2n 时， n n a a n n 1 1 1 1 2 2 1 1 a a a a a a a a n n n n n =1 2 1 1 21 n n n n = n 1 . 评注：本题是关于an和 an+1的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到an与 an+1 的更为明显的关系式，从而求出an. 练一练 2: 已知 an+1=na n+n-1，a1-1, 求数列 an的通项公式 .( n a)1() 1( 1 an！- 1.) 3. 形如 an+1=can+d( c0 且 c1,d 0其中 a1=a)
4、型 用待定系数法 构造辅助数列 . 规律：将递推关系dcaa nn 1 化为) 1 ( 1 1 c d ac c d a nn , 构造成公比为c 的等比数列 1 c d an 从而求得通项公式) 1 ( 1 1 1 1 c d ac c d a n n 例 3已知数列 an中， , 2 1 2 1 ,2 11nn aaa求通项 n a. . 2 13 1333 21 n nn )( 1 nf a a n n n an 1 4 2 分析：两边直接加上 1c d , 构造新的等比数列。 解：由, 2 1 2 1 1nn aa得)1( 2 1 1 1nn aa, 所以数列 1 n a构成以11 1
5、 a为首项，以 2 1 为公比的等比数列 所以 1 ) 2 1 (1 n n a, 即1) 2 1 ( 1n n a. 4形如 an+1=pan+f(n)型 ( 1) 若bknnf)( 其中 k,b 是常数，且0k) 用构造法 例 4在数列 an中， a1=1，an+1=3an+2n 求通项 an. 解：设 an+1+p(n+1)+d=3(a n+pn+d) 则 an+1=3an+2pn+2d-p an+1=3an+2n2p=2 2d-p=0则 p=1,d= 1 2 令 cn=a n+n+ 1 2 则cn+1=3cn， cn是等比数列，公比为3 c1= 5 2 则 15 3 2 n n cg
6、151 3 22 n n an 练一练 3：在数列 an 中， 2 3 1a, 2an-an-1=6n-3 求通项 an.( 96) 2 1 (9na n n .) ( 2) 若 f(n)=q n ( 其中 q 是常数， p 1 且 n 0,1) 方法（ i） . 两边同除以pn+1. 即： , 令 n n n p a b，则 1 1 () n nn q bb pp , 变型为类型1，累加求通项 . （ii） . 两边同除以qn+1 . 即： , 令 n n n q a b, 则可化为 q b q p b nn 1 1 . 然后转化为类型3 来解， ( iii ). 待定系数法： 设 an+1
7、+q n+1 =p(an+ q n). 则 a n+1=pan+ (p-q)q n)， ，令 则 cn+1=pcncn 是等比数列，可求 cn通项。 例 5. 设 a0为常数，且an=3 n-1-2a n-1 求通项an. 解：设 an+ 3 n=-2(a n-1+ 3 n-1), 即: an=-2an-1-53 n-1, 比较系数得：15, 所以 5 1 所以)3 5 1 (23 5 11 1 n n n n aa, 所以数列 3 5 n n a 是公比为 2，首项为 1 3 5 a的等比数列 . ).()2)( 5 3 21( 5 3 1 0 Nnaa n n n 即 0 1 2)1(2)
8、1(3 5 1 aa nnnnn n . 5、形如（0,0,qsrp）型 取 倒数法 例 6. 已知数列 an中， a1=2， ，求通项公式an。 1 1 1 () nnn nn aaq pqpp qq a q p q a n n n n 1 1 1 )(Nn sra pa a n n n 1 1 )2( 12 1 1 n a a a n n n 1 pq 1 n nn caq pq 3 解：取倒数： 2 11 1nn aa 2 11 1nn aa . 34 2 2 3 22) 1( 11 1 n ann aa n n 6、形如 f(Sn,n)=0 型 可利用公式： 1 1 S SS a nn
9、 n )1( )2( n n 直接求出通项 n a（别忘了讨论n=1 的情况！） 例 7：已知数列 an的前 n 项和为 Sn=2n 2-n Sn=n 2 +n+1 ， 分别求数列 an的通项公式。 解析：当n=1 时， a1=S1=1 当 n2 时， an=2n 2-n-2(n-1)2+(n-1)=4n-3 经检验 n=1 时， a1= 1 也适合an=4n-3 当 n=1 时， a1=S1=3 当 n2 时， an=n 2+n+1-(n-1)2-(n-1)-1=2n 经检验 n=1 时， a1=3 不适合 n an 2 3 )2( ) 1( n n 7、形如 f(Sn,Sn+1)=0 型
10、方法（ i） . 看成 Sn 的递推公式，求 Sn的通项公式，再转化成类型 1-5 （ii） . 利用 an=Sn-Sn-1转化成关于an和 an-1的关系式再求。 例 8已知数列 an的首项 a1=1，前 n项和 Sn满足关系式3tSn-(2t+3)S n-1=3t （t 为常数且t0，n=2,3,4 ） （ 1 ） 求 证 ： 数 列 an 是 等 比 数 列 ； （ 2 ） 设 数 列 an 的 公 比 为f(t) ， 作 数 列 bn ， 使b1=1 ， 1 1 () n n bf b (2,)nnN，求 bn 解析： （1）由 11 1Sa， 2122 1Saaa，得 2 3(1)(
11、23)3tatt, 2 23 3 t a t ，又 1 3(23)3 nn tStSt， 12 3(23)3 nn tStSt 得 1 3(23)0 nn t ata，得 1 23 ,3,4, 3 n n at n at n a是一个首项为1，公比为的等比数列。 （2）由 2321 ( ) 33 t f t tt ，有 1 1 12 () 3 nn n bfb b n b是一个首项为1，公差为 2 3 的等差数列， 221 1(1) 33 n n bn。 8、形如 f(Sn,an)=0 型 利用 an=Sn-Sn-1转化为g(an,an-1)=0型或 h(Sn,Sn-1)=0型 2 1 23
12、3 at at 23 3 t t 4 例 9. 数列 an 的前 n 项和记为 Sn，已知).3 ,2, 1( 2 , 111nS n n aann 证明：数列是等比数列 . 方法（ 1）, 2 , 111nnnnn S n n aSSa ),()2( 1nnn SSnSn 整理得,) 1(2 1nn SnnS 所以，故是以 2 为公比的等比数列. 方法（ 2） ：事实上，我们也可以转化为 1 2 1 n n S S n n ，为一个商型的递推关系， 由 1 1 2 2 1 1 S S S S S S S S n n n n n = 111 11 122 222 1231 nnn nnn anan nnn 得， 下面易求证。 1 2 n n S n n Sn .2 1 1 n S n S nn n Sn