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1、9.6 乘法公式再认识因式分解（二） 第 1 课时 运用平方差公式进行分解因式 一、教学目标： 1. 使学生进一步理解因式分解的意义. 2. 使学生理解平方差公式的意义，弄清公式的形式和特征. 3. 会运用平方差公式分解因式. 4. 通过对比整式乘法和分解因式的关系，进一步发展学生的逆向思维能力. 5. 感受整式乘法和分解因式矛盾的对立统一观点. 6. 培养学生积极主动参与探索的意识以及观察能力. 7. 感悟换元的思想方法 . 说明以前学习运用公式法分解因式，主要的评价手段是能否牢记公式的特点，在 运用公式解题时过分地追求问题的熟练和技巧，无形之中影响了学生学习数学的兴趣和 信心.现在我们试图
2、先通过对具体的数字运算或简单图形的面积计算让学生对公式有一 个感性认识，让学生在与同伴交流中思考、感悟，使学生内心产生解决问题的欲望，从 而进一步上升到理性认识.这种设计更符合学生从“特殊到一般” 、从“具体到抽象”的 认知特点 . 二、教学重点、难点： 1. 理解平方差公式的意义，弄清公式的形式和特征. 2. 会运用平方差公式对某些多项式进行分解因式 三、教具、学具： 投影仪、条件较好的使用多媒体演示 四、教学过程： （一）设置情景： 情景 1：小组讨论： 9921 是 100 的整数倍吗？ 你是怎样想的？ 说明：学生可能直接计算出结果，应予以肯定.在这儿可以设计系列问题予以引导： 1.判断
3、某个数是否是另一个数的整数倍可以怎么判断？ 如：12 是 3 的整数倍吗？（学生知道就是把12 分解因数 .） 2.类似地要判断 99 21 是 100的整数倍呢？也可以想到尝试分解 . 3.99 21 可以写成（ 99+1） （991）吗？为什么可以这么写？ 99921 可以吗？ 4.a 21 可以写成（ a+1）(a1)吗？ 5.a 24 可以写成乘积形式吗？你认为可以写成什么样子呢？ 6.a 2b2 呢？ 情景 2：和老师比一比，看谁算的又快又准确：572562962952 ( 25 17 ) 2( 25 8 ) 2 说明：算式的设计要体现出运用分解计算的简便性，以激发学生的好奇心和求知
4、欲. 问：为什么你们没有老师算的快呢？你想知道老师是怎么计算的吗？ 思考：在以上的这些算式中，你发现他们有什么共同点？用自己的语言说一说. 情景 3：计算图中的阴影部分面积（用a、b 的代数式表示） 问题一：整体计算可以怎样表示？ 问题二：分割成如图两部分可以怎样计算？ 问题三：比较两种计算的结果你有什么发现？ 说明：学生可能先分割再整体得出：(a+b)(ab)=a 2b2 (1) 也有的是先整体再分割得出a 2b2=(a+b)(ab) (2) 两种形式加以比较进一步明确整式乘法和因式分解的关系. 思考： 1.对于（ 1）式从左边到右边的变形叫什么？ 2.对于（ 2）式从左边到右边的变形叫什么
5、？ 3.我们已经学习提公因式法分解因式.在（2）式的左边有公因式吗？但它写成右边 的形式是分解因式吗？可见，没有公因式的某些多项式也可以用别的方法分解. （二）平方差公式的特征辨析： 把乘法公式 (a+b)(ab)=a 2b2 反过来得： a 2b2=(a+b)(ab) 我们可以运用这个公式对某些多项式进行分解因式.这种方法叫运用平方差公式法. 议一议 ： 下列多项式可以用平方差公式分解吗？ （1）x2y2（2）x2+y2（3）x2y2 （4）x2+y2（5）64a2（6）4x29y2 说明：这里是学生自主辨析公式特点的好机会，一定让学生自己讨论，只要能辨别 哪些能用公式就可以，教师在具体使用
6、时，可以先出示前面4 道题，为了降低难度可以 先把第 5 题写为 82a2然后改写成 64a2形式，让学生体会转化的数学思想.对于最后 一题若学生对幂的运算较生疏，可以适当补充练习，如：填空：4a2=( )2 9 4 b 2=( ) 2 x 2y2=( ) 2.进而让学生自己体会公式中的 a 与 b 可以表示一个数， 也可以表示一个式子， 渗透换元的思想方法 .最后，教师可以用简练的语言总结平方差公式的特点： 1.左边特征是：二项式，每项都是平方的形式，两项的符号相反. 2.右边特征是：两个二项式的积，一个是左边两项的底数之和，另一个是这两个底 数之差 . 3.在乘法公式中，平方差是指计算的结
7、果，在分解因式时，平方差是指要分解的多 项式. （三）例题教学 例 1 把下列多项式分解因式： (1) 3625x 2 (2) 16a 29b2 分析：观察是否符合平方差公式的形式，应引导学生把36、25x 2、16a2、9b2 改写 成 62、(5x)2、(4a) 2 和(3b)2形式，能否准确的改写是本题的关键. 解：3625x2=62(5x)2 =(6+5x)(65x) 16a 29b2=(4a)2(3b)2 =(4a+3b)(4a3b) 说明： (1)对于多项式中的两部分不是明显的平方形式,应先变形为平方形式 ,再运用 公式分解 ,以免出现 16a 29b2=(16a+9b)(16a9
8、b)的错误 . （2）在此还要提醒防止出现分解后又乘开的现象，这是旧知识的“倒摄作用”所 引起的现象 . 例 2 如图，求圆环形绿化区的面积. 解：35 2152 =(35 2152) =(35+15)(3515) =5020 =1000(m 2) 这个绿化区的面积是1000m2 说明：在这里列出算式后可以让学生自己讨论怎么计算，要让学生解释他的解法， 可能解释为逆运用乘法结合律，也可能解释为合并同类项，都要予以肯定，在这儿不要 怕浪费时间，通过比较得出上述解法和前一节的提取公因式是一致的，从而为分解因式 的一般步骤打下伏笔，即：先提公因式，再运用公式. 例 3 把下列多项式分解因式： 1.
9、(x+p) 2(x+q)2 2. 9(a+b) 24(ab)2 分析：在这里，尤其要重视对运用平方差公式前的多项式观察和心算，而后是进行变形 . 这一点在这儿尤为重要 . 解： (x+p) 2(x+q)2 =(x+p)+(x+q)(x+p) (x+q) =(2x+p+q)(pq) 9(a+b) 24(ab)2 =3(a+b) 22(ab)2 =3(a+b)+2(ab) 3(a+b)2(ab) =(5a+b)(a+5b) 说明：设计本题的目的是让学生加深平方差公式中的a、b 不仅可以表示数字、单 项式，也可以是多项式，进一步渗透整体、换元的思想. 例 4.（供选择）观察下列算式回答问题： 3 2
10、1=8 5 21=24=83 7 21=48=86 9 21=80=810 问：根据上述的式子，你发现了什么？你能用自己的语言表达你所发现的结论吗？ 你能用数学式子来说明你的结论是正确的吗？ 解： 任意一个奇数的平方与1 的差是 8 的整数倍 . (2n+1) 21 =(2n+1)+1(2n+1) 1 = (2n+2) 2n =2(n+1) 2n =4n(n+1) 因为 n 是整数，所以 n、n+1 是两个连续的整数，而两个连续的整数一定有一个是 偶数，即 n(n+1)是 2 的倍数，因此 4n(n+1)是 8 的倍数 . （四）练习 1.下列分解因式是否正确： （1）x2y2=(x+y)(x
11、 y) （2）925a 2=(3+25a)(3+25b) （3）4a2+9b2=(2a+3b)(2a3b) 2.把下列各式分解因式： （1） 36x 2 （2）a 2 9 1 b 2 （3） x 216y2 （4） x 2y2z2 （5） (x+2) 29 （6）(x+a) 2(y+b)2 （7） 25(a+b) 24(ab)2 （8） 0.25(x+y) 20.81(xy)2 3.在边长为16.4cm 的正方形纸片的四角各剪去一边长为1.8cm 的正方形，求余下的纸片的面积. 4.已知 x 2y2=1 ， x+y= 2 1 ，求 xy 的值. （五）小结 学生自己说出通过本节课的学习进一步理解了整式的乘法与因 式分解的关系 .能用自己的语言说出平方差公式的特点.能体会出公式中的字母a、b 不仅 可以表示数字，而且可以是单项式、多项式. （六）作业 1.课本 P95习题 9.6 第一题 . 2.课本 P95习题 9.6 第二题 . 3.课本 P95习题 9.6 第六题的第一题 选做 利用因式分解计算： （1） 22 20012003 1001 （2）(1 2 2 1 )(1 2 3 1 )(1 2 4 1 )(1 2 9 1 )(1 2 10 1 ) （3）已知： 4m+n=90，2m3n=10，求(m+2n) 2(3mn)2 的值.