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1、2017 年中考数学冲刺复习资料:二次函数压轴题 面积类 1如图，已知抛物线经过点A（ 1， 0） 、B（3， 0） 、C（0，3）三点 （1）求抛物线的解析式 （2）点 M 是线段 BC 上的点（不与B，C 重合），过 M 作 MNy 轴交抛物线于N，若点 M 的横坐标为m，请用 m 的代数式表示MN 的长 （3）在（ 2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使 BNC 的面积最大？若存在，求m 的值；若不存在，说明理由 考点：二次函数综合题 专题：压轴题；数形结合 分析： （1）已知了抛物线上的三个点的坐标，直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式 （2）先利用待定系数法求出直线BC 的
2、解析式，已知点M 的横坐标，代入直线BC、抛物 线的解析式中，可得到M、N 点的坐标， N、M 纵坐标的差的绝对值即为MN 的长 （3）设 MN 交 x 轴于 D，那么 BNC 的面积可表示为：SBNC=SMNC+SMNB=MN（OD+DB） =MN?OB，MN 的表达式在（ 2）中已求得，OB 的长易知，由此列出关于S BNC、m 的函 数关系式，根据函数的性质即可判断出BNC 是否具有最大值 解答： 解： （1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1） （x3） ，则： a（0+1） （ 03）=3，a=1； 抛物线的解析式：y=（ x+1） （ x3）=x2+2x+3 （2）设直线BC 的解
3、析式为：y=kx+b，则有： ， 解得； 故直线 BC 的解析式： y=x+3 已知点 M 的横坐标为m，MNy，则 M（m， m+3） 、N（m， m2+2m+3） ； 故 MN=m2+2m+3（ m+3） =m2+3m（0m3） （3）如图； SBNC=SMNC+SMNB=MN（ OD+DB） =MN?OB， SBNC=（ m2+3m）?3=（ m） 2+ （0m3） ； 当 m=时， BNC 的面积最大，最大值为 2如图，抛物线的图象与x 轴交于 A、B 两点，与y 轴交于 C 点，已知 B 点坐标为（ 4，0） （1）求抛物线的解析式； （2）试探究 ABC 的外接圆的圆心位置，并求出
4、圆心坐标； （3）若点 M 是线段 BC 下方的抛物线上一点，求MBC 的面积的最大值，并求出此时M 点的坐标 考点：二次函数综合题. 专题：压轴题；转化思想 分析： （1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将B 点坐标代入解析式中即可 （2）首先根据抛物线的解析式确定A 点坐标，然后通过证明ABC 是直角三角形来推导出 直径 AB 和圆心的位置，由此确定圆心坐标 （3） MBC 的面积可由SMBC=BC h 表示，若要它的面积最大，需要使 h 取最大值，即点 M 到直线 BC 的距离最大，若设一条平行于BC 的直线，那么当该直线与抛物线有且只有一 个交点时，该交点就是点M 解答： 解： （1
5、）将 B（4，0）代入抛物线的解析式中，得： 0=16a 42，即： a=； 抛物线的解析式为：y=x2x 2 （2）由（ 1）的函数解析式可求得：A（ 1，0） 、 C（0， 2） ； OA=1，OC=2，OB=4， 即： OC2=OA?OB，又： OCAB， OAC OCB，得： OCA=OBC； ACB=OCA+OCB=OBC+OCB=90 ， ABC 为直角三角形，AB 为 ABC 外接圆的直径； 所以该外接圆的圆心为AB 的中点，且坐标为： （， 0） （3）已求得： B（ 4，0） 、C（ 0， 2） ，可得直线BC 的解析式为： y=x2； 设直线 lBC，则该直线的解析式可表示
6、为：y=x+b，当直线l 与抛物线只有一个交点时， 可列方程： x+b=x 2x2，即： x 22x2b=0，且 =0； 44 （ 2b）=0，即 b=4； 直线 l：y=x4 所以点 M 即直线 l 和抛物线的唯一交点，有： ，解得：即 M（2， 3） 过 M 点作 MNx 轴于 N， SBMC=S梯形OCMN+SMNBSOCB= 2 （2+3）+ 2 3 2 4=4 平行四边形类 3如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x 2+mx+n 经过点 A（3，0） 、B（0， 3） ，点 P 是直线 AB 上的动点，过点P 作 x 轴的垂线交抛物线于点M，设点 P 的横坐标为t （1）分别求出直线
7、AB 和这条抛物线的解析式 （2）若点 P 在第四象限，连接AM、BM，当线段PM 最长时，求 ABM 的面积 （3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O 为顶点的四边形为平行四边形？若存在， 请直接写出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由 考点： 二次函数综合题；解一元二次方程因式分解法；待定系数法求一次函数解析式；待 定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的判定. 专题：压轴题；存在型 分析： （1）分别利用待定系数法求两函数的解析式：把 A（3，0）B （0，3）分别代入 y=x2+mx+n 与 y=kx+b，得到关于m、n 的两个方程组，解方程组即可； （2）设点 P
8、 的坐标是（ t，t3） ，则 M（t，t2 2t 3） ，用 P 点的纵坐标减去M 的纵坐标 得到 PM 的长，即PM=（t 3）（ t22t 3）=t2+3t，然后根据二次函数的最值得到 当 t=时， PM 最长为=，再利用三角形的面积公式利用 SABM=SBPM+SAPM计算即可； （3）由 PMOB，根据平行四边形的判定得到当PM=OB 时，点 P、M、B、O 为顶点的四 边形为平行四边形，然后讨论：当P 在第四象限： PM=OB=3，PM 最长时只有，所以不可 能；当 P 在第一象限： PM=OB=3， （t22t3）（t3）=3；当 P 在第三象限： PM=OB=3， t 23t=
9、3，分别解一元二次方程即可得到满足条件的 t 的值 解答： 解： （1）把 A（3，0） B（0， 3）代入 y=x2+mx+n，得 解得，所以抛物线的解析式是y=x22x3 设直线 AB 的解析式是y=kx+b， 把 A（ 3，0）B（0， 3）代入 y=kx+b，得，解得， 所以直线 AB 的解析式是y=x3； （2）设点 P 的坐标是（ t，t3） ，则 M（t，t2 2t 3） ， 因为 p 在第四象限， 所以 PM=（t3）（ t2 2t3）=t 2+3t， 当 t=时，二次函数的最大值，即PM 最长值为=， 则 SABM=SBPM+SAPM= = （3）存在，理由如下： PMOB， 当 PM=OB 时，点 P、 M、B、O 为顶点的四边形为平行四边形， 当 P 在第四象限： PM=OB=3，PM 最长时只有，所以不可能有PM=3 当 P 在第一象限： PM=OB=3， （t22t3）（t3）=3，解得 t1= ，t2=（舍 去） ，所以 P 点的横坐标是； 当 P 在第三象限： PM=OB=3，t23t=3，解得 t1= （舍去），t2=，所以 P 点的横坐标是