最新人教版八年级下册初二数学《第十六章二次根式》导学案教学案.pdf

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1、第 1 页 16.1 二次根式 学习目标、重点、难点 【学习目标】 1、理解二次根式的概念，并利用 a（a0）的意义解答具体题目 . 2、理解a（a0）是一个非负数和（a） 2=a（a0），并利用它们进行计算和化简 . 【重点难点】 1、二次根式的性质 . 2、能确定二次根式中字母的取值范围. 知识概览图 （ a） 2=a（a0） 新课导引 如右图所示，电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得就越远，从而能收到电 视节目的区域就越广如果电视塔高h km，电视节目信号的传播半径为 r km，则它 二次根式的性质 二次根式的有关概念 二次根式：一般地，形如(0 )aa的式子叫做二次根式 代数式：由基

2、本运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式 二 次 根 式 二次根式的双重非负性 2 ()(0 )aa a 被开方数a 非负，即 a0 a本身非负，即a0 二次根式的有关公式 22 ()(0 )aaa 2 (0) 0(0 ) (0) a a aaa a a 第 2 页 们之间存在近似关系式， r= 2 R h ，其中 R 是地球半径， R6400 km若某个电视塔高为200 km， 则从塔顶发射出的电磁波的传播半径为多少? 【问题探究】因为 R6400 km， h200 km， 所以求传播半径 r， 实际上就是求26 40 020 0 的值，即求 25 6 00 0 0 的值怎么求

3、25 6 00 00 的值呢? 【解析】因为 1600 22560000，所以 25 6 00 001600 所以 r 264 0 02 0 0=1600(km) 教材精华 知识点 1 二次根式的概念 一般地，我们把形如 a (a0)的式子叫做二次根式其中“” 读作“ 二次根号 ” 拓展 (1)二次根式必须含有二次根号“” 如 3，1 6等都有 “ ” ，虽然 1 6=4，但是 4 是 二次根式1 6的计算结果，因此1 6，1 21，1.4 4， 9 4 等也都是二次根式 . (2)二次根式中的被开方数a既可以表示一个数，也可以表示一个代数式， 但前提是必须保证a 有意义，即 a0，也就是说，

4、被开方数必须是非负数例如： 2 a，因为无论a 取什么实数，都 有 a 20，所以 2 a是二次根式 而 2 1x， 2 21x都不是二次根式， 因为它们虽然都有 “” ， 但是它们的被开方数都是负数，是没有意义的 因此判别二次根式时， 不仅要从表达形式上看是否 存在“” ，而且应注意看被开方数是否是非负数，如果被开方数中含有字母，那么就要考虑字母 的取值范围 (3) “ ” 的根指数为 2，即“ 2 ” ，我们常省略根指数 2，写作“” ，不要误把 “” 的根指数当 做 0如 3 2就不是二次根式，因为它的根指数是3 (4)有理数 (不是 0)与二次根式相乘，把有理数写在二次根式的前面，省略

5、乘号若有理数是分 数，一定要化成假分数再与二次根式相乘，比如： 2 2 3 与 5相乘，要写成 8 5 3 的形式，此时的有 理数称为二次根式的系数. 第 3 页 知识点 2 确定二次根式中字母的取值范围 要使 a有意义，被开方数 a 就必须是非负数，即a0，由此可以确定被开方数中字母的取值 范围，如21x， 只有当 2x+10， 即 x 1 2 时， 二次根式21x才有意义 . 再如， 对于式子 3 1 x x 来说，只有当 30, 10, x x 即-1x3 时，二次根式才有意义 . 拓展对于既含有二次根式， 又含有分母的代数式， 写字母的取值范围时， 既要保证二次根式 有意义，又要保证分

6、母不为零. 知识点 3 二次根式的性质 二次根式的双重非负性 : a0，a0，因为a（a0）表示非负数 a 的算术平方根，所以 由算术平方根的定义可知a0，如3， 3 2 等都是非负数 . （ a)2=a（a0）. 由于 a（a0）表示非负数 a 和算术平方根，将非负数a 的算术平方根 平方，就等于它本身a，因此有（ a)2=a，例如：（ 3)2=3，（6)2=6，（1.5)2=1.5. 拓展 （1）（ a)2=a（a0），可以看做是系数为 1 的二次根式的平方运算，结果等于被开 方数. （2）把（ a)2=a（a0）逆用，写成 a=（a) 2（a0）. 即任何一个非负数都可以写成它 的算术平

7、方根平方的形式，利用这一特性，我们可以在实数范围内分解因式，比如：x 2-2 在有理数 范围内无法分解，但在实数范围内，2 可以写成（2)2，所以 x2-2=x2-（2)2=（x+2）（x-2）. （3）有理数的运算律和运算法则在有关二次根式的计算中仍然适用. 比如： （3 2)2=32 （ 2)2=9 2=18. （ 1 6 2 ) 2=（1 2 ) 2 （ 6)2= 1 4 6= 3 2 等，则用到了积的乘方法则 第 4 页 （ab)2=a2b2. 知识点 4 2 a的化简 由于 2 a表示 a2的算术平方根，所以 2 a的化简结果必须是个非负数. 而当 2 a有意义时 a2 （a0），这

8、里 a 可以正，可以负，也可以是0. 为了保证 2 a的化简结果非负，所以在化简结果 中添加绝对值符号，即 2 aa，然后再根据a 的符号化简绝对值 . 比如： 2 (5 )55. 也可 以先把被开方数写成非负数的平方的形式，再化简，比如 22 (5 )55. 如果 2 a 中 a 的符号 不确定，那么要讨论 . 即 2 a = (0 ), 0(0 ), (0 ). a a aa a a 拓展（ a ) 2 与 2 a的区别与联系，如下表所示： （a)2 2 a 字母 a 的取值 范围 不同 被开方数 a 的取值范围为 a0， 即 a 是一个非负数，且（a)2=a. 例如： 2 (2 )2，

9、2 (0 )0， 2 (2 )无意 义 被开方数 a2中的 a 可取一切实数， 也就是 说，a 既可以是正数，也可以是负数，还 可以是零 . 2 a= (0 ), (0). a a a a a 例如当 a=3时 ， 2 333， 当a=-3时 2 (3)33 意义 不同 （ a ) 2=a（a0）表示 a 的算术平 方根的平方 . 例如 2 (5 )5表示 5的 算术平方根的平方，结果等于5 2 aa表示 a 的平方的算术平方根 . 例 如： 2 393 表示 3 的平方的算术平 方根，结果等于3 形式 不同 2 ()aa（a0），其结果只有一 种形式，就是非负数a 本身 2 aa，其结果有两

10、种形式，与a 的取 值有关，当a0 时， 2 aa，当 a0 第 5 页 时， 2 aa 联系 2 ()aa（a0 ）是一个非负数 2 aa 0 是一个非负数 当 a0 时， 22 ()aa 知识点 5 代数式 用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来 的式子叫做代数式，单独一个数或字母也是代数式. 例如： 5，a，a+b，ab， s t (t0) ，x 3，2 1x， 33(3)xxx 等都是代数式 . 拓展代数式中不含有 “ ” “ ” “ ” 等符号，只有运算符号 . 课堂检测 基本概念题 1、下列式中，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？ （1）

11、 3； （2） 2 (3)； （3） 3 (3)；（4） 3 7； （5） x； （6） 4 4； （7） 2 21a ；（8） 2 1 (3)x ； （9） 2 (4)a；（10） 2 21.mm 第 6 页 基础知识应用题 2、当 x 取何值时，下列各式有意义？ （1） 3 xx； （2） 2 2 x x x ； （3） 2 (1)x；（4） 1 23 x ； （5） 24 2 x x ；（6） 2 3 3 x x ； （7） 12 1 x x ；（8） 2 2 1 a a a . 3、实数 a，b 在数轴上的位置如图21-1所示，化简 222 ()abab. 综合应用题 4、（1）三角形

12、的高是底的 1 2 ，底为 xcm，则这个三角形的面积是cm 2; （2）第一圆的半径是第二个圆的半径的4 倍，则这两个圆的周长之和是（设第一个 圆的半径为 r）. 图 21-1 第 7 页 探索创新题 5、甲同学和乙同学做一道相同的题目：化简求值 2 2 111 2 ,. 5 aa aa 其 中 甲同学的做法是： 原式 2 11112149 ()1 0. 55 aaa aaaaa = 乙同学的做法是： 原式 211111 (). 5 aaa aaaa = 谁的做法是正确的？说明理由. 体验中考 1、若代数式 1 2 x x 有意义，则 x 的取值范围是（） A. x1 且 x2 B. x1

13、C. x2 D. x1 且 x2 2、若 x，y 为实数，且 230xy ，则（ xy） 2010的值为 . 学后反思 第 8 页 附： 课堂检测及体验中考答案 课堂检测 1、分析本题考查二次根式的概念，判断一个式子是否是二次根式应满足两个条件：一是看是否 含有二次根号 “” ；二是看被开方数是否是非负数. 解：（ 1）-30， 3不是二次根式 . （2）(-3) 20， 2 (3)是二次根式 . （3）(-3) 3=-270，3 (3)不是二次根式 . （4） 3 7的根指数 3， 3 7不是二次根式 . （5）由于 x中的-x 的符号不能确定，因此应分两种情况讨论 . 当 x0 时， x是

14、二次根式； 当 x0 时， x不是二次根式 . x不一定是二次根式 . （6） 4 4的根指是 4， 4 4不是二次根式 . （7）-2a20，-2a2-10， 2 21a不是二次根式 . （8）(x+3) 20，当分母 x+3=0 时，原式没有意义， 当 x -3 时， 2 1 (3)x 是二次根式 . 2 1 (3)x 不一定是二次根式 . （9）-(a-4)20，只有当 a-4=0，即 a=4 时， 2 (4 )a是二次根式； 当 a4时，-(a-4) 20，2 (4 )a不是二次根式 . 综上， 2 (4 )a不一定是二次根式 . （10）m2+2m+1=(m+1)20 ， 2 21m

15、m是二次根式 . 第 9 页 【解题策略】本题主要考查对二次根式的概念的理解，一定要注意当被开方数中含有字母时， 应考虑字母的取值范围，即二次根式 a中的 a 必须是非负数，本题体现了分类讨论思想，在具体 解题时，对一个较复杂的问题往往采取分类讨论的思想，以达到化难为易的目的. 2、分析本题考查二次根式有意义的条件，要使二次根式有意义，则被开方数必须是非负数， 如果分母是二次根式，那么被开方数必须为正数，因为零不能作分母. 解：（ 1）欲使 3xx有意义，则必有 30 0 x x x ， 0 , . 当 x=0 时，3 xx有意义 . （2）欲使2 2 x x x 有意义，则必有 20 0 2

16、 x x x ， 0 , ，且 x -2. 当 x0，且 x -2 时，2 2 x x x 有意义 . （3）(x-1) 20，无论 x 取何实数，2 (1)x都有意义 . （4）欲使 1 23 x 有意义，则必有 2-3x0，x 2 3 . 当 x 2 3 时， 1 23 x 有意义 . （5）欲使 24 2 x x 有意义，则必有 240 2 x x x ， - 2 0, ，且 x2. 当 x-2，且 x2 时， 24 2 x x 有意义 . （6）欲使 2 3 3 x x 有意义，则必有 2 30 3 x x x ， 3 0 , . 当 x3时， 2 3 3 x x 有意义 . （7）欲

17、使 12 1 x x 有意义，则必有 120 1 12 x x x ， 0 , ，且 x -1. 第 10 页 当 x 1 2 ，且 x -1 时， 12 1 x x 有意义 . （8）欲使 2 2 1 a a a 有意义，则必有 20 1 a a a ， 2 0, ，且 a -1. 当 a2，且 a -1 时， 2 2 1 a a a 有意义 . 【解题策略】本例中的（ 2）及（ 4）（8）小题应充分考虑到分母不能为零的情况，（6） 小题中，由 x-30，得 x3，由 x 2-30 ，得 x3 ，而3均不在 x3 的范围内，所以只需满足 x3 即可. （7）小题中，由 1-2x0，得 x 1

18、 2 ，由 1x 0 ，得 x1，只有 x=-1 在 x 1 2 的范围 内，而 x=1 不在 x 1 2 的范围内，所以只需满足x 1 2 ，且 x -1 即可. 3、分析本题考查二次根式的性质，利用公式 2 aa将形如 2 a的式子化简 . 解：由数轴可知 a0，b0，a-b0， 222 ()abab=abab=-()abab=abab=2b. 【解题策略】解决此题的关键是牢记并理解公式 2 aa = (0 ), 0 (0 ), (0 ). aa a a a 4 、分析由面积公式或周长公式写出代数式即可. （1）底为 xcm，则高为 2 x cm，所以三角 形的面积为 2 1 224 xx

19、 x（cm2）. （2）因为第一个圆的半径为r，所以第二个圆的半径为 4 r ，所以 这两个圆的周长之和为 5 22 42 r rr. 答案：（ 1） 2 4 x （2） 5 2 r 5、分 析本题 主要 考查 二次 根式 的性 质的 创新 应用 .因 为 1 5 a， 所以 1 a a ，所 以 2111 ().aaa aaa = 第 11 页 解：甲同学的做法是正确的，理由如下： 22 2 11111 2(). 5 aaaa aaaa =， 且， 即=5 1111 ,0 ,.aaaa aaaa - 乙同学在去掉绝对值符号时，忽略了 a与 1 a 的大小关系，导致错误 . 【解题策略】 利用

20、 2 aa进行化简时，0a的条件不能忽略，否则 2 .aa 体验中考 1、分析 本题考查二次根式有意义的条件，被开方数为非负数及分母上含有字母的式子有意义 的条件（即分母 0 ），由题意知 1 12. 20 , x xx x 0, 且 故选 D. 2、分析 本题主要考查非负数的性质以及二次根式的非负性.由 230xy 知 x20， 且 y30，所以 x2，y3，所以 (xy)2010（ 23）2010120101.故填 1. 16.2 二次根式的乘除 第 12 页 学习目标、重点、难点 【学习目标】 1、最简二次根式概念； 2、二次根式的乘除法法则及其逆用； 【重点难点】 1、最简二次根式概念

21、； 2、二次根式的乘除法法则及其逆用； 知识概览图 最简二次根式的概念：被开方数中不含分母且不含能开得尽方的因数或因式 的二次根式，叫做最简二次根式 二次根式乘法法则： b(0)aa bab， 0 二次根式除法法则：(0) aa ab b b ， 0 二次根式乘法法则的逆用：=(0)a babab， 0 二次根式除法法则的逆用：(0) aa ab b b ， 0 新课导引 如右图所示，一个直角三角形ABC 中，两直角边 BC，AC 分别是 6 和10，那么由 勾股定理可知其斜边AB为 22 610361 001 3 6 ,设这个直角三角形斜边上的高 CD 为 x， 则 116 1 0 6 1

22、01 3 6, 2213 6 xx所 以，利用的是面积 “ 桥” 的方法 . 【问题探究】 61 0 13 6 是最简的结果吗？如果不是，如何对 610 1 36 进行化简呢？ 【点拨】 610 1 36 不是最简的结果， 13 6 可以进行化简，首先将136 分解因数，即 二次根式的乘除 法法则 二次根式乘除法 法则的逆用 二次根式 的乘除 第 13 页 1362 2 34，再将 1 3 6写成3 4234 2 2，进一步将分母中的根号化没即可， 61 0603 4153 4 . 2341 7 1 36 教材精华 知识点 1 二次根式的乘法 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即

23、(0 ,0 ).aba bab 拓展 （1）二次根式相乘的结果是一个二次根式或一个有理式. （2）二次根式的乘法运算公式中的被开方数的取值范围. aba b，公式中的 a，b 必须满足 a0 ，b0 ，否则a ， b就没有意义 . （3）由 abab，得(0 ,0)a babab ，即积的算术平方根等于积中各因式的算 术平方根的积，运用这个性质可以化简二次根式，即如果一个二次根式的被开方数中有因数（式） 是完全平方数（式），则可以利用性质 (0 ,0 )a babab 及 2 (0)aa a将这些因数（式） 开出来，进而将二次根式化简.例如 2 44626 , 32 2xxx 2 (1)(1)

24、(0 ).xxxxx （4）如果没有特别说明，本章中所有字母都为正 知识点 2 二次根式的除法 公式 a b a b ()ab 0, 0可通过二次根式的乘法公式得到：两个二次根式相除， 把被开方数 相除，根指数不变 .例如： 66 3. 22 拓展 （1）当被除式的被开方数能被除式的被开方数整除，可直接利用除法法则.比如： 8 4 8 42142. 2 1 （2）当被除式的被开方数不能被除式的被开方数整除时，或者是被除式是整数而除式是二次 第 14 页 根式时，可以利用分式的基本性质把分母中的根号化去.例如： 552 222 1 02232 ,3. 23333 等 （3）由 a b a b (

25、)ab 0, 0，得() aa ab bb 0 , 0.可以用语言叙述为： 商的算术平方根 等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. 在公式 aa b b 中：（ 1）a 必须是非负数， b 必须是正数；（ 2）如果被开方数是带分数，应 先化成假分数，如 1 3 4 必须先化成 1 3 4 ，以免出现 11 33 44 这样的错误 . （4）二次根式的除法运算结果要化到最简. 知识点 3 最简二次根式 被开方数中不含分母且不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式.也就是 说， 若二次根式有如下特点： 被开方数中不含分母， 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式， 则这个二次根式

26、就是最简二次根式.例如： 3 02 22 , 10 a a 等都是最简二次根式 . 拓展 （1）判断一个二次根式是否是最简二次根式，要紧扣最简二次根式的特点： 被开方数不含分母； 被开方数不能含开得尽方的因数或因式.即把每一个因数或因式都写成底数较小、乘方的形 式后，因数或因式的指数小于2. 若被开方数是和（或差）的形式，则先把被开放方数写成积的形式，再作判定，若无法写成 积（或一个数）的形式，则为最简二次根式.比如：因为 222 345，所以 22 34不是最简二 次根式 .因为 2222 222 ()xyxy，且因式 2 和 22 ()xy的指数都是 1，所以 22 22xy是最简 二次根

27、式 .而 22 ab中 22 ab 无法变成一个数（或因式），所以 22 ab是最简二次根式 . （2）化简二次根式一般例如为两步：一如果被开方数是分数或分式，利用分母有理化化简；二 化去被开方数中的分母之后， 再将被开方数分解成几个数相乘的形式或分解因式，然后利用积的算 第 15 页 术平方根的性质把能开得尽方的因数或因式开出来.若被开方数中不含分母，则只需第二步. 课堂检测 基本概念题 1、下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？为什么？ 2222 4140,8,22 ,44xxx（ x 2 ） ， -x 1 2 x , 2 0.7 5,abab(b 0 ， a 0), 222 91 6

28、,()()xyabab(ab0), 33 xx ，. 基础知识应用题 2、若(3)(3)33xxxx成 立 ， 则（） A. x3 B.x-3 C. -3x3 D x 为任意实数 3、如果 66 xx xx 成 立 ， 那 么（） A. x6 B. 0x6 C. x0 D. x6 综合应用题 图 21-4 第 16 页 4、如图 21-4 所示，飞行员在飞机B 处用雷达测得飞机和目标城市A 的距离为 4.5 10 2m,且测 得对这个目标的俯角 =45 ，C 为地面上位于飞机正下方的点，设地面是平的.求飞机此时的高度 h. 探索创新题 5、已知 a=7，b=70，请用含 a，b 的代数式表示4

29、.9从不同不的计算角度考虑，用两种 以上方法表示 . 体验中考 1、（1）有这样一个问题：2与下列哪些数相乘，结果是有理数? A. 32B. 2-2C. 23D. 3 2 E. 0 问题的答案是（只需填字母）：； （2） 如果一个数与 2相乘的结果是有理数， 那么这个数的一般形式是什么？ （用代数式表示） 2 、 对 于 任 意 不 相 等 的 两 个 数a ， b ， 定 义 一 定 运 算 如 下 ： ab 32 3251 24 32 ab ab ， 如， 那 么 . 学后反思 第 17 页 附： 课堂检测及体验中考答案 课堂检测 1、分析本题主要考查最简二次根式的概念. 解: 222 2

30、 28,91 6, 3 x xxy，是最简二次根式 . 22 4 14 0( 414 0)( 4 140 )819， 2 44xx= 2 (2 )x=x-2, 1 2 x x = 2 22 x x xx = 1 2 2 x, 0.7 5 a b=0.2 53a b=0.53a b, 2 a bba, 2 ()()abab=(a+b) ()ab, 3 x = 3 3 x , 22 4 14 0, 2 44xx(x2), 1 2 x x ,0.7 5a b, 2 ab( b0, a0), 2 ()()abab(ab0), 3 x 不是最简二次根式 . 【解题策略】判断最简二次根式主要看被开方数是否

31、有分母，另外，要看被开方数是否含有 能开方的因式 . 2、分析本题考查的知识点是二次根式的乘法公式成立的条件，要求x+30,且 x-30，由此 可得 x3，故选 A. 第 18 页 3、分析本题主要考查二次根式的除法公式成立的条件，要求x0，且 x-60，所以 x6. 故选 D. 规律方法求使等式成立的字母的取值范围，只需使等式的每一部分都有意义即可，这里 包括二次根式的被开方数非负，分母不为零，零次幂和负整数次幂的底数不为零等. 4 、分析本题综合考查勾股定理和二次根式的化简，解决此题的关键是将问题转化到一个直 角三角形中去分析 . 解 ： 因 为 =45 ，所以 A= 45 . 在 RtA

32、BC中， ACB=90 ，所以 ABC= 45 ，所以 AC=BC=h. 由勾股定理可知AC2+BC2=AB2，即 2h2=(4.5 102)2. 2 18 1 00 0 0 . 28 8 10 0 00 22 52 ( m ) 8 h h 22 所 以（ 4. 51 0 ） 所 以 答：飞机此时的高度为225 2（m）. 【解题策略 】 解决此题的方法是将问题转化到一个直角三角形中去，将求飞机的高度转化为 求直角边的长度，同时注意结果要化到最简. 5、分析解决本题的关键在于把4.9 用不同的形式表示出来 . 解法 1： 494 97777 4.9. 1 07 07 0 a b 解法 2： 4

33、9 071077 077 07 4.9. 1 0 0101 0710107 b a 解法 3： 49 0770 4.9. 1 0 01 010 ab 【解题策略】根据 4.9= 4 9 1 0 = 4 90 1 00 及二次根式的性质化简，化简后使其与a，b 相关，然后将 能用 a，b 代替的用 a，b 代替，表示出结果 . 第 19 页 体验中考 1、分析本题考查二次根式的乘法运算，对所有的选项亲自算一下，就会得到所有答案. 解：（ 1）A，D，E. （2）设这个数为 x,则 x2=a(a 为有理数 )， 所以 x= 2 a (a 为有理数 )， 2、 分析 本题考查对新运算的理解， 以及对

34、二次根式的化简能力， 124= 124411 1 24822 故 填 【解题策略】对于新定义的运算， 要看清它的计算实质， 利用例子把新运算转化为普通的运 算. 16.3 二次根式的加减 学习目标、重点、难点 【学习目标】 1、同类二次根式的概念； 2、二次根式的加减； 第 20 页 3、二次根式的混合运算； 【重点难点】 1、同类二次根式； 2、二次根式的混合运算； 知识概览图 同类二次根式 二次根式的加减二次根式的加减 二次根式的混合运算 新课导引 如图所示，要在圆形的花坛的中心种花，外围栽草，并使得两个圆为同心圆，种花、草的面积 分别为 6.28 cm2，18.84 cm 2，求种草的宽

35、度 .（ 取 3.14） 【问题探究】由于种植花、草的面积分别为6.28 cm 2，18.84 cm2，所以花坛的大、小圆的面 积分别为 25.12 cm 2，6.28 cm2，求得它们的半径分别为 2 5.1 2 和 6.2 8 ，当 取 3.14时，它们的 值分别为 82和 ，这实际上是求 82，那么如何计算 错误！未找到引用源。 呢？ 【解析】 8222222.（ 2 - 1 ） 教材精华 知识点 1 同类二次根式 定义：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同， 这几个二次根式叫做同类二 次根式 .同类二次根式与同类项类似.例如： 3xy2和-xy2是同类项， -2333与是

36、同类二次根式， 322xyyxy与也 是 同 类 二 次 根 式 . 又 如 ： 1 22 7与 ， 需 要 化 简 后 再 判 断 ， 因 为 1223 ,2733， 所 以1 22 7与是 同 类 二 次 根 式 . 对1 218和来 说 ， 因 为 第 21 页 1 223 ,1 832，它们的被开方数不同，所以1 218与不是同类的二次根式 . 拓展对同类二次根式的理解应注意以下几点： （1）判断几个二次根式是否是同类二次根式时，首先将二次根式化为最简二次根式，其次看 被开方数是否相同 . （2）几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数和根指数有关，与根号外的系数无关. 全并同类二

37、次根式 . 将同类二次根式的系数相加减，根指数与被开方数保持不变. 例如： 113 332333233. 222 合并同类二次根式的方法与整式加减中合并同 类项类似，利用合并同类项的法则把二次根式的加减运算转化为系数（有理数）的加减运算. 拓展（1）二次根式的系数就是这个二次根式根号外的因式（或因数），它包含前面的符号. （2）当二次根式的系数为带分数时，必须将其化为假分数. （3）不是同类二次根式，千万不要合并. 知识点 2 二次根式的加减 二次根式的加减实质上就是合并同类二次根式. 即先将各个二次根式都化成最简二次根式；再把其中的同类二次根式进行合并. 对于没有合并的二次根式，一定不要丢弃

38、，要抄下来，它们也是结果的一部分. 二次根式的加减运算实质上是化成最简二次根式，再合并同类二次根式. 在运算过程中，与整式的加减类似.交换律、结合律以及乘法分配律，去括号法则在二次根式 的加减中仍然适用 . 二次根式的加减步骤： （1）先将每一个二次根式都化为最简二次根式. （2）判断哪些根式为同类二次根式，把同类二次根式合并为一组. （3）合并同类二次根式 . 例如：（ 1）5 03 2182852423242 (5434)282. （2） 2 7234 5332335335. 第 22 页 拓展二次根式的加减法与二次根式的乘除法的区别如下表所示： 运算二次根式的乘除法二次根式的加减法 系数

39、系数相乘除系数相加减 被 开 方 数 被开方数相乘除被开方数不变 化简结果 化成 最简 二次 根式 先化成最简二次根式，再合并同类二 次根式 知识点 3 二次根式的混合运算 二次根式的混合运算实质上是有理数与无理数的混合运算，是二次根式的加、减、乘、除、乘 方法则的综合应用 . 在进行二次根式的混合运算时，应注意： （1）二次根式的混合运算顺序和实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括 号的，先算括号里面的（或者先去括号）. （2）乘法运算的运算律以及乘法公式在二次根式中的运用. （3）二次根式运算的结果要最简，不能含有能合并的同类二次根式. 拓展在进行二次根式的运算时，能用乘法公

40、式的要尽量使用乘法公式，有时还需要灵活逆 用公式，这样可以使计算过程大大简化. 【规律方法小结】我们在学习同类二次根式的概念、二次根式的加减法时就是采用类比的 方法，类比整式中同类项的概念、整式的加减法来学习和掌握的. 探究交流“ 33545” 是否正确？为什么？ 点拨不正确，因为 335与 不是同类二次根式，不能合并，这与合并同类项一样，不是同类 的不能合并 . 课堂检测 第 23 页 基本概念题 1、下列二次根式中，哪些是同类二次根式？ 3 3 2 71 2 7. 1 83 aa a b babaa b 1213 23 2 ， -， b， 22 43， 3 52 79 基础知识应用题 2、

41、下列二次根式中，能够与 8合并的是（ ） A. 27B. 18C. 49D. 5 3 3、计算 . 33 (1)8 0205 ; 1 (2 )2 40.56; 8 (3)33(0 ,0); 11 (4 )4. 2 ba ba ba bab ab a abb ab 第 24 页 综合应用题 4、满足不等式 2 (1)5 218x 的最小整数解是（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 探索创新题 5、在化简 aaba aab 时，有下列两种不同的方法： 方法 1：原式 = ()()()()() ()()() aabababababab ab aabababab . ()()() . () a

42、b aabababab ab aababab 方 法 2： 原 式 = 这两种方法都正确吗？若有错误，说明理由. 体验中考 1、如果 2 (22 )2 (ababab，为 有 理 数 ） ， 那 么等于（） A.2 B.3 C.8 D.10 2、下列计算正确的是（） 2 422 A .233356B . 11 C .()D . 24 aaaxyxyxy - 1 (2 +1 ) ( 1-2 ) =1 （） 第 25 页 学后反思 附： 课堂检测及体验中考答案 课堂检测 1、分析要判断是否是同类二次根式，必须先化成最简二次根式，再判断. 解： 2 2 21 2 733332. 1 83 66 aa

43、 b a b bbb 2 32 2342 2 12 71273131 33. 555393 2213 23. 2 7819 32164 224 32931 83.22 993 a a aaa aaa baab a bbba bbbaaa a ba bab 22 323 21 2 332. a b a b aba ba b 3 3 1 2 7 , 224 3 3 23 23 2 ,3 189 1271 , 52 7 aa a b bba b b aa 是 同 类 二 次 根 式 ， 是 同 类 二 次 根 式 ， 是 同 类 二 次 根 式 . 【解题策略 】判断同类二次根式主要看被开方数和根指

44、数，与根式的系数无关. 第 26 页 2、分析首先将不是最简二次根式的化为最简二次根式，然后再判断，因为822 , 51 5 2 733 ,1 832 ,497 , 33 ，所以1 88B可 以 与合 并 ， 故 选. 【解题策略 】本题主要考查同类二次根式的概念以及化为最简二次根式的方法. |规律 方法| 合并同类二次根式的依据是逆用简乘法分配律，根号外的因式（或数）即为该根 式的系数，合并时只要把系数相加减，根指数与被开方数不变.若二次根式的系数为带分数，则需 化为假分数 . 3、分析本题主要考查的是二次根式的加减运算及运算法则、运算律的应用 .二次根式的加减 运算应先化简，再合并同类二次

45、根式. 解：（ 1） 802 054525535. （2） 1 240.56 8 33 2 221 266362. 244 (3 ) 23 2 3 223 13. 11 (4 )4 2 ba ba ba b ab a ba baabba b a aaab aba ba b aa a abb ab 22 2. 22 aa abbab 【解题策略 】（1）在书写的过程中一定要认真，别把二次根式的根号丢了. （2）合并时一定要看准，是同类二次根式的合并，不是同类二次根式的不能合并. 规律方法二次根式的加减法一般可按以下步骤进行： （1）将每个二次根式都化为最简二次根式，若被开方数中含带分数或小数，则

46、要先化成假分 数，进而化为最简二次根式； 第 27 页 （2）原式中若有括号，要先去括号，再应用加法交换律、结合律将被开方数相同的二次根式 合并在一起 . 4 、 分析本题综合考查二次根式的运算和不等式的解法.先解不等式，不等式两边同除以2， 得 12 6352 624xx，26 - 2 ，2 66 ，3 ，x 能取的最小整数是4，故选 C. 【解题策略 】解不等式求出 x 2 62后，必须先算出262的取出值范围，不仅要求出 2 623，同时必须求出2624.只有这样才能确定x 能取的最小整数是4.否则，得出的x 能取的最小整数值可能是错误的. 5、分析本题主要考查的是二次根式与乘法公式、分式性质的灵活应用. 解：方法 1 是错误的，方法 2 是正确的 .理由如下： 因为题中已知条件并没有给出a b 或隐含条件 a b，即“ ab” ，而方法 1 中，在约分以后 将分子、分母同乘 ab，事实上，当ab时，违背了分式的基本性质，虽然结论是正确的， 但运算过程是错误的，当 ab时，原式仍有意义，此时原式的值为 0，所以方法 1 是错误的 . 【解题策略 】解决知识性阅读理解题目的关键是真正读懂阅读材料，理解并掌握其思想， 进 而应用其方法解答题中设置的问题.