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1、高中数学：函数解析式的十一种方法 一、定义法 二、待定系数法 三、换元（或代换）法 四、配凑法 五、函数方程组法 七、利用给定的特性求解析式. 六、特殊值法 八、累加法 九、归纳法 十、递推法 十一、微积分法 一、定义法： 【例 1】设23)1( 2 xxxf，求)(xf. 2 1) 1(3 1) 1(23)1( 22 xxxxxf = 6) 1(5) 1( 2 xx 65)( 2 xxxf 【例 2】设 2 1 )( x x xff，求)(xf. 【解析】设 x x x x x xff 1 1 1 1 11 1 2 1 )( x xf 1 1 )( 【例 3】设 3 3 2 2 1 ) 1
2、(, 1 ) 1 ( x x x xg x x x xf，求)(xgf. 【解析】2)(2) 1 ( 1 ) 1 ( 22 2 2 xxf x x x x x xf 又xxxg x x x x x x x xg3)() 1 (3) 1 ( 1 ) 1 ( 33 3 3 故2962)3()( 24623 xxxxxxgf 【例 4】设)(sin,17cos)(cosxfxxf求. 【解析】) 2 (17cos) 2 cos()(sinxxfxf xxx17sin)17 2 cos()17 2 8cos(. 二、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。 【例 1】设)(xf是一次函数
3、，且34)(xxff，求)(xf 【解析】 设baxxf)()0(a，则 babxabbaxabxafxff 2 )()()( 3 4 2 bab a 3 2 1 2 b a b a 或 32)(12)(xxfxxf 或 【例 2】已知1392)2( 2 xxxf，求)(xf. 【解析】显然，)(xf是一个一元二次函数。设 )0()( 2 acbxaxxf 则 cxbxaxf)2()2()2( 2 )24()4( 2 cbaxabax 又 1392)2( 2 xxxf 比较系数得： 1324 94 2 cba ab a 解得： 3 1 2 c b a 32)( 2 xxxf 三、换元（或代换）
4、法：已知复合函数 ( )f g x 的表达式时，还可以用换元法求 ( )f x 的 解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。 【例 1】 已知xxxf2) 1(，求)1(xf 【解析】 令 1xt ，则1t， 2 ) 1(tx xxxf2) 1( , 1) 1(2) 1()( 22 ttttf 1)( 2 xxf) 1(x xxxxf21)1() 1( 22 )0(x 【例 2】已知, 11 ) 1 ( 2 2 xx x x x f 求)(xf. 【解析】 设, 1 t x x 则 1 1 t x则 xxxx x x x ftf 11 1 11 ) 1 ()( 22 2 1) 1()
5、1(1 1 1 1 ) 1 1 ( 1 1 22 2 tttt tt 1)( 2 xxxf 【例 3】设xxf 2 cos)1(cos，求)(xf. 解：令1cos, 1costxxt又0201cos2, 1cos1txx即 0, 2,) 1()()02(,) 1()( 22 xxxftttf即 【例 4】若x x x fxf1) 1 ()(（1） 在（ 1）式中以 x x1 代替x得 x x x x x x f x x f 1 1) 1 1 1 () 1 ( 即 x x x f x x f 12 ) 1 1 () 1 ( （2） 又以 1 1 x 代替（ 1）式中的 x得： 1 2 )()
6、1 1 ( x x xf x f（3） )1( 112 1 2 1)(2:)2()3() 1( 23 xx xx x x x x xxf得 ) 1(2 1 )( 23 xx xx xf 【例 5】设)0,() 1 ()()(ba，cbacx x bfxafxf且均不为其中满足，求)(xf。 【解析】cx x bfxaf) 1 ()(（1）用 x 1 来代替 x，得 x cxbf x af 1 )() 1 (（2） 由 x bcacx xfbaba 2 22 )()(:)2()1(得 xba bcacx xfba )( )( 22 2 【例 6】已知 2)( 21 xaf x ，求 )(xf .
7、 【解析】设 0 1x at ，则 tx a log1 即 1log tx a 代入已知等式中，得： 3log2log2)1(log)( 22 ttttf aaa 3log2log)( 2 xxxf aa 四、配凑法 已知复合函数( )f g x的表达式，要求( )f x的解析式时， 若 ( )f g x表达式右边易配成( )g x的运 算形式，则可用配凑法，使用配凑法时，要注意定义域的变化。 【例 1】已知 (1)2,fxxx 求( )f x的解析式。 【解析】2xx 可配凑成 可用配凑法 由 2 (1)2()1fxxxx 令1tx 0 1 x t 则 2 ( )1f tt即 2 ( )1(
8、1)f xxx 当然，上例也可直接使用换元法 令1tx则1tx 得 2 22 (1) ( )(1)2(1)1 xt f tttt 即 2 ( )1(1)f xxx 由此可知，求函数解析式时，可以用配凑法来解决的，有些也可直接用换元法来求解。 【 例 2 】已知 2 2 11 (),f xx xx 求( )f x. 【解析】此题直接用换元法比较繁锁，而且不易求出来，但用配凑法比较方便。 由 22 2 111 ()()2fxxx xxx 令 2 1 10txxtx x 由0即 2 40t得tR 2 ( )2ftt 即： 2 ( )2()f xxxR 实质上，配凑法也缊含换元的思想，只是不是首先换元
9、，而是先把函数表达式配凑成用此复合 函数的内函数来表示出来，在通过整体换元。和换元法一样，最后结果要注明定义域。 五、函数方程组法。 函数方程组法适用的范围是：题高条件中，有若干复合函数与原函数( )f x混合运算，则要充分 利用变量代换，然后联立方程组消去其余部分。 【 例 1】设( )f x 满足 1 ( )2 (),f xfx x 求( )fx的解析式。 【解析】要求( )f x可消去 1 ()f x ,为此，可根据题中的条件再找一个关于( )f x与 1 ()f x 的等式， 通过解方程组达到消元的目的。 1 ( )2()f xfx x 显然，0x,将 x 换成 1 x 得 11 (
10、)2 ( )ff x xx 由 1 ( )2( ) 11 ()2( ) f xfx x ff x xx 消去 1 ()f x ，得 12 ( ) 33 f xx x 小结：函数方程组法适用于自变量的对称规律。互为倒数，如f(x) 、 1 ()f x ；互为相反数，如f(x)、 f(-x) ，通 过对称代换构造一个对称方程组，解方程组即得f(x) 的解析式。 【 例 2 】已知2)( 21 xaf x ，求)(xf. 【解析】设0 1x at，则tx a log1即1log tx a 代入已知等式中，得：3log2log2)1(log)( 22 ttttf aaa 3log2log)( 2 xx
11、xf aa 【例 3 】设)(xf为偶函数，)(xg为奇函数，又, 1 1 )()( x xgxf试求)()(xgxf和的解析式 【解析】)(xf为偶函数，)(xg为奇函数， )()(),()(xgxgxfxf 又 1 1 )()( x xgxf ， 用x替换x得： 1 1 )()( x xgxf 即 1 1 )()( x xgxf 解联立的方程组，得 1 1 )( 2 x xf， xx xg 2 1 )( 六、特殊值法：（赋值类求抽象函数） 【例 1】设)(xf是定义在 N上的函数，满足1)1 (f，对于任意正整数yx,，均有xyyxfyfxf)()()(， 求 )(xf . 解：由1)1(f，xyyxfyfxf)()()( 设1y得：xxfxf)1(1)( 即：1)()1(xxfxf 在上式中，x分别用1, 3 ,2 ,1t代替，然后各式相加 可得：tttttf 2 1 2 1 1)1)(2( 2 1 )( 2 )( 2 1 2 1 )( 2 Nxxxxf 【例 2】 已知：1)0(f，对于任意实数x、y，等式) 12()()(yxyxfyxf恒成立，求)(xf