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1、课堂巩固训练 一、选择题 1.一个三角形的内角分别为45与 30，如果45角所对的边长是4，则 30角所对的边长为（） A.26B.36C.22D.32 答案C解析设所求边长为x,由正弦定理得， 30sin x = 45sin 4 ,x=22,故选 C. 2.已知 ABC 中， a=1,b=3,A=30,则 B=（） A. 3 B. 3 2 C. 3 或 3 2 D. 6 5 或 6 答案C解析由 A a sin B b sin ,得 sinB= a Absin ,sinB= 1 30sin3 = 2 3 ,B= 3 或 3 2 . 3.已知 ABC 的三个内角之比为A：B：C=3：2：1，那
2、么对应的三边之比a：b：c 等于（） A.3：2：1B. 3：2： 1C. 3：2： 1D.2：3： 1 答案DA=90,B=60,C=30 a：b：c=sinA： sinB：sinC=1： 2 3 ： 2 1 =2：3：1. 二、填空题 4.在 ABC 中，若 b=1,c=3,C= 3 2 ,则 a=. 答案 1 由正弦定理， 得 3 2 sin 3 = Bsin 1 , sinB= 2 1 . C 为钝角 B 必为锐角， B= 6 , A= 6 ,a=b =1. 5.在 ABC 中，a、b、c 分别是 A、B、C 所对的边， 若 A=105，B=45，b=22，则 c=. 答案2解析由已知
3、，得 C=180-105-45=30， B b sin = C c sin c= B Cb sin sin = 45sin 30sin22 = 2 2 2 1 22 =2. 三、解答题 6.在 ABC 中，已知A=45， B=30， c=10，求 b.解析A+B+C =180,C=105. B b sin = C c sin ,b= C Bc sin sin = 105sin 30sin10 , 又 sin105=sin(60 45) 2 3 2 2 + 2 1 2 2 = 4 26 ,b=5(26). 课后强化作业 一、选择题 1.在 ABC 中，下列关系中一定成立的是（） A.absinA
4、B.a=b sinAC.a0),从而解出a= 2 7 x,b= 2 5 x,c= 2 3 x. a：b：c=7：5： 3.sinA：sinB：sinC=7： 5：3. 3.已知锐角 ABC 的面积为33，BC=4，CA=3，则角 C 的大小为（） A.75 B.60C.45D.30 答案B解析由题意，得 2 1 4 3sinC33, sinC= 2 3 ,又 0b,A=150 ,故应有一解；对于C,ab,A=60,B 为锐角 .cosB=Bsin-1 2 = 2 3 3 1）（= 3 6 . 7.在 ABC 中， a=10,B=60 ,C=45 ,则 c 等于() A.10+3B.10（3-1
5、）C.10（3+1）D.103 答案B解析由已知得A=75,sinA=sin(30+45)=sin30cos45 +cos30sin45= 4 26 , c= A Ca sin sin = 75sin 45sin10 =10(3-1). 8.已知 ABC 中， a=x，b=2， B=45，若三角形有两解，则x 的取值范围是（） A.x2B.x2C.2x22D.2x23答案C 二、填空题 9.在 ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为a、b、c，已知 A 3 ,a=3,b=1,则 c=. 答案2 解析由正弦定理得sinB= a b sinA= 3 1 2 3 = 2 1 ,又 b=1a=3,B
6、A = 3 ,而 0B,B= 6 ,C= 2 , 由勾股定理得c= 22 ba=31=2. 10.在 ABC 中， A=60 ,C=45 ,b=2.则此三角形的最小边长为.答案23-2 解析A=60， C=45， B=75,最小边为c,由正弦定理，得 B b sin C c sin , 75sin 2 = 45sin c ,又 sin75 =sin(45 +30 )=sin45 cos30 +cos45 sin30= 2 2 2 3 + 2 2 2 1 4 26 , c= 75sin 45sin2 4 26 2 2 2 23-2. 11.ABC 的三内角A、B、C 的对边边长分别为a、b、c.
7、若 a= 2 5 b,A=2B,则 cosB=.答案 4 5 解析由正弦定理，得 b a = B A sin sin , a= 2 5 b 可转化为 B A sin sin = 2 5 .又 A=2B， B B sin sin 2 = 2 5 , cosB= 4 5 . 12.在 ABC 中，已知 tanB=3,cosC= 3 1 ,AC=36,求 ABC 的面积. 答案62+83解析设在 ABC 中 AB、BC、CA 的边长分别为c、a、b. 由 tanB=3,得 B60， sinB= 2 3 ，cosB= 2 1 .又 cosC= 3 1 ,sinC=C 2 cos1 2 22 . 由正弦
8、定理，得c= B Cb sin sin = 2 3 3 22 63 =8.又 sinA=sin(B+C )=sinBcosC+cosBsinC= 6 3 + 3 2 , SABC= 2 1 bcsinA= 2 1 368( 6 3 + 3 2 )=62+83. 三、解答题 13.在 ABC 中，已知 a=3,b=2,B=45，求 A、C 及边 c. 解析由正弦定理得，sinA= b Basin = 2 45sin3 2 2 2 3 = 2 3 ， ab,AB= 45A 为锐角或钝角（或asinB ba） ， A=60或A=120当A=60时， C=180-45-60 =75， sin75=si
9、n(45+30)= 2 2 2 3 + 2 2 2 1 = 4 26 , c= B Cb sin sin = 45sin 75sin2 = 2 2 4 26 2 = 2 26 ， 当 A=120时， C=180-45-120 =15，sin15=sin(45-30)= 4 26 , c= B Cb sin sin 45sin 15sin2 = 2 2 4 26 2 = 2 26 A=60 ,C=75 ,c 2 26 ， 或A=120 ， C=15 ， c= 2 26 . 14.在 ABC 中， a、b、c 分别是三个内角A、B、C 的对边，若a=2,C= 4 ,cos 2 B = 5 52 ，
10、求 ABC 的面积 . 解析由题意知cos 2 B = 5 52 ,cosB=2cos 2 2 B -1= 5 3 ，B 为锐角 , sinB= 5 4 ,sinA=sin(-B-C)=sin( 5 3 -B)= 10 27 由正弦定理，得c A Ca sin sin = 10 27 2 2 2 = 7 10 . SABC= 2 1 acsinB= 2 1 2 7 10 5 4 = 7 8 . 15.已知方程x 2 -(bcosA)x+acosB=0 的两根之积等于两根之和，且a、b 为 ABC 的两边， A、B 为 a、b 的对角，试判 断 ABC 的形状 . 解析设方程的两根为x1、 x2
11、,由韦达定理得 x1+x2=bcosA,x1x2=acosB,由题意得 bcosA=acosB, 由正弦定理得2RsinBcosA=2RsinAcosB, sinAcosB-cosAsinB=0. 即 sin（A-B）=0.在 ABC 中， A、B 为其内角，0A ,0B ,- A-B. A-B=0，即 A=B . ABC 为等腰三角形. 16.在 ABC 中， A、 B、 C 所对应的边为a、b、c.且 b=acosC,且 ABC 的最大边长为12，最 小角的正弦值为 3 1 .（1）判断三角形的形状；（ 2）求 ABC 的面积 . 解析（1）因为 b=a cosC,所以由正弦定理得：sinB=sinAcosC, 从而 sin(A+C )=sinAcosC,所以 sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC；所以 cosAsinC=0.由于 sinC0.所以 cosA=0 所以 A= 3 ,所以 ABC 为直角三角形 . (2)斜边 a=12.不妨设 C 最小， 则 C c sin =12,且 sinC= 3 1 ,c=4,从而 b= 22 ca=82,SABC= 2 1 bc=162.